数学百大经典例题(4)

求P到交线a的距离．

解：作PA??于A，PB??于B， 设PA，PB所确定的平面为?，??a?Q， 连AQ，BQ，∵PA??， ∴PA?a．

同理PB?a，∴a?平面?， ∴a?PQ，则PQ是P到a的距离． 在四边形PAQB中，?A??B?90?， ∴PAQB是圆的内接四边形，且PQ?2R． 又∵?BQA?60?，?BPA?120?， ∴AB?3?5?2?3?5cos120??7，

PQ?2R?AB7?214??3．

sin60?33说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P、B、A、Q四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．

典型例题十八

例18 如图，四面体SABC中，?ABC是等腰三角形，AB?BC?2a，?ABC?120?，

且SA?平面ABC，SA?3a．求点A到平面SBC的距离．

分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A到SBC的垂线，先确定一个过点A和平面SBC垂直的平面，∵SA?平面ABC，故作AD?BC于D，连结SD，则平面SAD?平面SBC，平面SAD实际上就是二面角S?BC?A的平面角SDA所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角S?BC?A的平面角的作图过程完全相同．

解：作AD?BC交BC于D，连结SD，

∵SA?平面ABC，根据三垂线定理有SD?BC，又SD?AD?D，

∴BC?平面SAD，又BC?平面SBC，

∴平面SBC?平面ADS，且平面SBC?平面ADS?SD，

∴过点A作AH?SD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知：AH?平面SBC． 在Rt?SAD中，SA?3a，AD?AB?sin60??3a， ∴AH?SA?ADSA2?AD2?3a?3a(3a)2?(3a)23a． 2?3a， 2即点A到平面SBC的距离为

说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．

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