三三线摆法测量物体的转动惯量

§2-4 三线摆法测量物体的转动惯量

学时安排：

讲解实验原理、仪器操作方式、操作步骤及数据处理0.8学时，学生测量、处理数据1.2学时

教学重点及难点：

重点：转动惯量的意义和验证方式 难点：仪器操作方式及测量过程 引入：

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布(即形状、大小和密度)有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它相对於特定轴的转动惯量。但在工程实践中，我们常常碰到大量的形状复杂，且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极其复杂，因而通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测量，一般都是令刚体以一定的形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。三线摆是测量物体转动惯量的数种方法中的一种，它的优点是仪器简单，操作方便，精度较高。

一、实验目的

1. 学会用三线摆测量物体的转动惯量。 2. 学会用累积放大法测量周期运动的周期。 3. 验证转动惯量的平行轴定理。

二、实验仪器

DH4601转动惯量测试仪，实验机架，水准仪，游标卡尺，米尺，圆环，圆柱体。

三、实验原理

图1 三线摆实验示意图

1. 测定悬盘绕中心轴的转动惯量I0

1

图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上(图上未画出)。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴O1O2作扭摆运动。下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看作简谐运动。根据能量守恒定律或刚体的转动定律均可以导出物体绕中心轴O1O2的转动惯量(推导过程见后)：

I0?式中各物理量的含义如下：

m0gRr2T0 (1)

4π2H0m0为下盘的质量；r、R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H0为平衡时上下

盘间的垂直距离；T0为下盘作简谐运动的周期；g为重力加速度。

(广州地区的重力加速度取g?9.788ms2) 2. 测定圆环绕中心轴的转动惯量I

将质量为m的待测的薄圆环放在下盘上，并使待测圆环的转轴与O1O2轴重合。测出此时扭摆运动的周期T1和上下圆盘间的垂直距离H。那么，可以求得待测刚体和下圆盘对中心转轴O1O2的总转动惯量为：

I1?(m0?m)gRr2T1 (2) 24πH如果不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有H?H0。那么，待测物体绕中心轴O1O2的转动惯量为：

I?I1?I0?gRr? (3) (m?m0)T12?m0T02?2??4πH因此，通过长度、质量和时间的测量，便可以求出刚体绕中心轴的转动惯量。

由理论上推得的圆环绕中心轴的转动惯量为

22 I??mR1 (4) ?R212??其中，R1,R2分别为圆环的内外半径。比较I,I?的大小是否相等。

3. 验证平行轴定理

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若轴O1O2通过质心，且质量为m的物体绕O1O2的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时(如图2)，则此物体对新轴

图2 平行轴定理

2

AB的转动惯量为I?Ic?mx2。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为m?，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上(下圆盘有对称的两个小孔)。按上面的方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴O1O2的转动周期Tx，则进一步可以求出单个圆柱体对中心转轴O1O2的转动惯量：

1?(m?2m?)gRr2?Ix??0T?Ix0? (5) 2?4π2H?如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，则由平行轴定理可计算得两个小圆柱体的总转动惯量为

?1?2??2??m?RxIx?m?x2? (6)

?2??,Ix的大小是否相等，可以验证平行轴定理。 比较Ix

四、实验步骤

1. 仪器操作方法

(1) 打开电源，程序预置的周期数为

转动惯量测试仪DH4601 n?30(数显)(如图3)。当计时开始时，计数达

到2n?1次时，计时停止并且显示具体时间(单R 位是秒)，这个时间即为n个周期的时间。例如，电源指示 复位 上调 返回 s 我们预置周期数为50，按下执行键开始计时，

数字显示 信号指示 置数 下调 执行 信号灯不停闪烁，即为计时状态。当这个计数

达到2×50+1=101次时计时停止，显示具体时图3 DH4601面板 间。

(2) 设置周期数的方法。若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调(或下调)改变周期数n,再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态。当物体经过光电门的次数达到设定值时，数字显示器将显示具体时间(单位是秒)。只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键即可第二次计时。

(3) 当断电后再开机，程序从头预置30次周期，须重复上述步骤。 2. 实验操作步骤

(1) 调节底座及下盘水平：将水准仪分别置于底座与下盘，调整上盘的三个旋钮，使水准仪的气泡居中，这时底座(下盘)水平。(2) 测出的上、下圆盘相邻两个悬孔间的距离a和b(如图4)，然后算出悬孔到中心的距离r和R。

ab,R? r? (7) 33(3) 用米尺测出两圆盘之间的垂直距离H0和放置两小圆柱体小孔间距2x；用游标卡尺测出圆环内外直径

图4 悬线孔

3

2R1,2R2和小圆柱的直径2Rx。

(4) 测量空盘绕中心轴O1O2转动的运动周期T0：轻轻转动上盘(上盘上有小转动杆)，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在5°以内。用累积放大法测出扭摆运动的周期(计时器设定n?50个周期)。

(5) 测量待测圆环与下盘共同转动的周期T1：将待测圆环置于下圆盘上，注意使两者中心重合，按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期T1。

(6) 测出两个小圆柱体(对称放置)与下盘共同转动的周期Tx。 (7) 记录各刚体的质量(各刚体质量在其表面上已有标注，单位为克)。

五、数据记录与处理

1. 实验数据记录

表1 有关长度测量的记录表

项目 次数 1 2 3 平均值 上盘悬孔间距 a/cm 下盘悬孔间距 b/cm 待测圆环 内直径 外直径 小圆柱体直径 2R1/cm 2R2/cm 2Rx/cm 放置小圆柱体两孔间的距离 2x/cm 下盘质量m0? ，待测圆环的质量m? ，圆柱体的质量m?? 。 两圆盘的垂直距离H0? ，根据公式(7)计算出R? ,r? 。

表2 累积法测周期的数据记录表

摆动50个周期所需时间/s 周期/s 下盘 1 2 3 4 5 平均 T0? 下盘加圆环 1 2 3 4 5 平均 T1? 下盘加两圆柱 1 2 3 4 5 平均 Tx? 2. 根据公式(3)计算出待测圆环绕中心轴O1O2的转动惯量I，并且根据公式(4)计算出理论值I?。将两者进行比较。

4

3. 根据公式(5)(6)分别计算出单个圆柱体对中心转轴O1O2的转动惯量的测量值与理论值，并进行比较。

六、思考题

1. 用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持底座及下盘水平？

2. 在测量过程中如果下盘出现晃动对周期的测量有影响吗？如果有，该如何避免？ 3. 三线摆的振幅受到空气的阻尼会逐渐变小，它的周期也会随时间变化吗？对测量结果影响大吗？为什么？

4. 测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ 5. 三线摆放上待测物体后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？ 6. 如何利用三线摆测定任意形状物体对特定轴的转动惯量？

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