2011年全国初中数学竞赛解答题汇编(含答案)(4)

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（1）由于

12?13?16?1，故有

18?11111?111?. 所以，能表示为????????8?236?16244883个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.

（2）不妨设a?b?c，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足由a?b?c，则有又有

18?1a2182?1a2?1b2?1c2

1c2?1b2?1a2，从而

18?1a2?1b2?1c2?3a,所以 a2?24.

，所以 a2?8，故a2?9或16.

1b2若a2?9，则有

?1c2?18?19?172，由于

172?1b2，并且

2b2?1b2?1c2?172，

所以b2?72，72?b2?144.

故 b?81，100或121. 将 b?81、100和121分别代入 c?181a?222272b22b?72，没有一个

是完全平方数，说明当 a2?9时，

若 a2?16，则

16b2??1b2?1c2无解.

1b22?1c2?18?116116. 类似地，可得： 16?b2?32，即 b2?25，

此时，c?182b?16?16?259不是整数.

综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和.

17、解：让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a。再设跑道长是L，

则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为L。

甲跑完第一圈，乙跑了L，乙再跑余下的L，甲已折

返，且以(1＋)＝的速度跑，所以在乙跑完第一

圈时，甲已折返跑了，这时，乙折返并以(1十)

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＝的速度跑着。从这时起，甲、乙速度之比是÷＝，即5∶3。所以在二人第二次

相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点×＝。可见两

次相遇点间的距离是答：跑道长为400米

L＝190(米)，即L＝190(米)，L＝400(米)

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SDF

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