选修1-1第三章《导数及其应用》同步测试题(2)

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分

17、(本题满分14分)求下列函数的单调区间：

(1)y＝x－lnx；(2)y＝

1. 2x

17、解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)． ………………1分

1x－1

其导数为y′＝1－ ＝. ………………3

xx分

令分

因此，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． ……7分

(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ………………8分

11

y′＝－2，所以当x≠0时，y′＝－2<0，

2x2x而当x＝0时，函数无意义， ………………10分

1

所以y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，

2x1

即y＝的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)． ………………14

2x分 18、(本题满分12分)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

18、解：f′(x)＝3x2＋2ax－9 ………………2分

∴设切点坐标为P（x0, y0）,则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率

2

aa2

＋2ax0－9＝3(x0＋)2－9－. ………………6k?f′(x0)＝3x0

33

分

aa2

当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－. ………………8

33

分

∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，

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x－1

x>0，解得x>1；再令

x－1

x<0，解得0

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a2

∴该切线斜率为－12，即－9－＝－12. ………………10

3

分

解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3. ………………12分

2x

19、(本题满分13分)求f(x)＝2－2的极值．

x＋119、解：函数的定义域为R. ………………2分

2?x2＋1?－4x2－2?x－1??x＋1?

f′(x)＝＝. ………………4

?x2＋1?2?x2＋1?2分

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.

当x变化时，f′(x)、f(x)变化状态如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－1) － ? －1 0 极小值－3 (－1,1) ＋ 1 0 极大值 －1 ………………8分

－2

所以当x＝－1时，函数有极小值f(－1)＝－2＝－3；

2

2

当x＝1时，函数有极大值f(1)＝－2＝－1. ………………13分

2

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