量子力学习题

填空 （18个题）

第一章 绪论 （3个题）

1、玻尔的量子化条件为 L?n?

??2. 德布罗意关系为 E???,p??k 。

戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为 E???,p??k 。

3. 戴微孙-革末实验验证了德布罗意假设，即微观实物粒子除了具有粒子性外，还具有 波动性 。

第二章 波函数和薛定谔方程 （3个题）

??1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。

2、?(x,y,z,t)的物理意义： 单位体积内发现粒子的几率与之成正比 。

23、?(r,?,?)rdr表示（?(r,?,?)为归一化波函数）： 在r—r+dr单位立体角的球22壳内发现粒子的几率 。

第三章 量子力学中的力学量 （7个题）

1.如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 0 。

有确定的值 ，

2、设体系的状态波函数为 则力学量算符

与态矢量

，如在该状态下测量力学量

?????______ 的关系为__F_。 3、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。 ? 4. 坐标和动量的测不准关系是_?x?px?_________________。

2 5. 设

为归一化的动量表象下的波函数，则

的物理意义为___在

p—p+dp范围内发现粒子的几率____________________________________________。 6、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。

?,L?]? i?L? ； ?x]? i? ； [L 7、[x,pxyz

第四章 态和力学量的表象 （2个题）

1.量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。

2. 力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的

简答 （11个题） 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程（4个题）

1、如果?1和?2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：

??c1?1?c2?2（c1，c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。

答，由态叠加原理知此判断正确

2、（1）如果?1和?2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：??c1?1?c2?2 （c1，c2是复数）是这个体系的一个可能状态吗？为什么？（2）如果?1和?2是能量的本征态，它们的线性迭加：??c1?1?c2?2还是能量本征态吗？为什么？

答：(1)是；由态叠加原理知此判断正确。

（2）不一定，如果?1，?2对应的能量本征值相等，则??c1?1?c2?2还是能量的本征态，否则，如果?1，?2对应的能量本征值不相等，则??c1?1?c2?2不是能量的本征态

3. 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？

答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的

几率分布； （ 2分）

（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观

粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变； （3分）

4、若?1(x)是归一化的波函数， 问： ?1(x)， ?2(x)?c?1(x)c?1 ?3(x)?ei??1(x) ?为任意实数

是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。

答：是描述同一状态。 （2分）

*W1(x)??1(x)??1(x)?1(x) （1分） *?2(x)?2(x)2W2(x)???(x) （1分） 1*?dx?2(x)?2(x)2*W3(x)??3(x)?3(x)??1(x) （1分）

2

第三章 量子力学中的力学量 （2个题）

1能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。

答：不一定，如果?1，?2对应的能量本征值相等，则??c1?1?c2?2还是能量的本征态，否则，如果?1，?2对应的能量本征值不相等，则??c1?1?c2?2不是能量的本征态

????2、在量子力学中，自由粒子体系，力学量p守恒；中心力场中运动的粒子力学量L守

恒；

答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。

???守恒 ?]?0所以力学量p?,H自由粒子体系，[p?????中心力场中运动的粒子[L,H]?0所以力学量L守恒.

第四章 态和力学量的表象（1个题） 1、

?n?为力学量F?的归一化本征矢，请用公式表示出它的正交归一性和封闭性。

答：正交归一关系为：

mn??mn （2分） 封闭关系为：

?nnn?1 （3分）

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