3专题三 第1课时(力与物体的曲线运动)(4)

长L＝0.5 m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0＝4 m/s，g取10 m/s2.

图9

(1)若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向；

(2)在满足(1)的条件下，小球在最高点P突然离开轻杆沿水平方向飞出，试求小球落到水平轨道的位置到轴O的距离；

(3)若解除对滑块的锁定，小球通过最高点时的速度大小v′＝2 m/s，试求此时滑块的速度大小．

答案 (1)2 N 竖直向上 (2)15

m (3)1 m/s 5

解析 (1)设小球能通过最高点，且在最高点时的速度为v1.在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒，则 121mv1＋mgL＝mv2 220得v1＝6 m/s

v1>0，故小球能到达最高点．

设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则 v21F＋mg＝m L得F＝2 N

由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2 N，方向竖直向上 (2)小球飞出后做平抛运动，设运动时间为t 1由L＝gt2

2

落地点到轴O的水平距离x＝v1t 得：x＝

15 m 5

(3)解除锁定后，设小球通过最高点时滑块的速度为v 在上升过程中，系统的机械能守恒，则 111mv′2＋Mv2＋mgL＝mv2 2220代入数据得v＝1 m/s

11．如图10所示，水平地面和半径R＝0.5 m的半圆轨道面PTQ均光滑，质量M＝1 kg、

长L＝4 m的小车放在地面上，右端点与墙壁的距离为s＝3 m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m＝2 kg的滑块(可视为质点)以v0＝6 m/s的水平初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上．已知滑块与小车上表面的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.

图10

(1)求小车与墙壁碰撞时滑块的速率； (2)求滑块到达P点时对轨道的压力；

(3)若圆轨道的半径可变但最低点P不变，为使滑块在圆轨道内滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径的取值范围．

答案 (1)4 m/s (2)68 N 竖直向下 (3)R≤0.24 m或R≥0.60 m

解析 (1)滑块滑上小车后，小车将做匀加速直线运动，滑块将做匀减速直线运动，设滑块加速度为a1，小车加速度为a2，由牛顿第二定律得： 对滑块有－μmg＝ma1 对小车有μmg＝Ma2

当滑块相对小车静止时，两者速度相等，设小车与滑块经历时间t后速度相等，则有 v0＋a1t＝a2t

1

滑块的位移s1＝v0t＋a1t2

21

小车的位移s2＝a2t2

2

代入数据得Δs＝s1－s2＝3 m

故小车与墙壁碰撞时的速率为v1＝a2t＝4 m/s (2)设滑块到达P点时的速度为vP 112

－μmg(L－Δs)＝mv2P－mv1 22

2

vPFN－mg＝m

R

根据牛顿第三定律有滑块到达P点时对轨道的压力FN′＝FN＝68 N，方向竖直向下 (3)若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速率为vQ，临界条件为：

2vQ

mg＝m Rmax

112

－mg·2Rmax＝mv2Q－mvP 22代入数据得Rmax＝0.24 m

若滑块恰好滑至1/4圆弧到达T点时速度为零，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，此时有： 1－mgRmin＝0－mv2

2PRmin＝0.6 m

所以，若滑块在圆轨道运动过程中不脱离圆轨道，则半圆轨道的半径必须满足R≤0.24 m或R≥0.60 m

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