江苏专转本高等数学_不定积分_例题加习题

创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印

第三章 不定积分

本章主要知识点：

? 不定积分的意义，基本公式 ? 不定积分的三种基本方法 ? 杂例 一、不定积分的意义、基本公式 不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。 1．性质 ??d?f(x)dx?f(x) ???f(x)dx??f(x)dx ?dF(x)?F(x)?C ?f?(x)dx?f(x)?C ?2．基本公式 f(n)dx?f(n?1)(x)?C 1n?11x?c(n??1)dx?ln|x|?c ，??xn?1axx?c，?exdx?ex?c （2）?adx?lna （1）xdx?n （3）sinxdx??cosx?c，cosxdx?sinx?c，

22secxdx?tanx?ccsc，??xdx??cotx?c

?? - 78 -

第三章 不定积分

（4）

?xdx?arcsin?c，

aa2?x21（5）

11a?xdx?ln|?a2?x22aa?x|?c

（6）?1x2?adx?ln|x?x2?a|?c （7）11x?arctan?c ?a2?x2aa二、不定积分的三种基本方法 1．凑微分法（第一类交换法） 基本原理：?(x)dx?d(?(x)dx)。 一些常见的固定类型 ???f(ax?b)dx?1f(ax?b)d(ax?b) ?a1f(e?x)e?xdx??f(e?x)de?x ?122f(x)dx ?21n?1nxf(x)dx?f(xn)dxn ??n1?xf(lnx)dx??f(lnx)dlnx 2xf(x)dx???sinxf(cosx)dx???f(cosx)dcosx ?cosxf(sinx)dx??f(sinx)dsinx 1?x2?1?f??dx????x??1??1?f??d?? ?x??x?2sec?xf(tanx)dx??f(tanx)dtanx

?tanxsecxf(secx)dx??f(secx)dsecx 等等。

- 79 -

创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印

22007dx 例3.1．x(2x?1)?1122007222008(2x?1)d(2x?1)?(2x?1)?c ?48032113sinx?1dx??e3sinx?1d(3sinx?1)?e3sinx?1?c 例3.2．?cosxe33解：原式=

23例3.3．xsin(5x?7)dx ?113333sin(5x?7)dx?sin(5x?7)d(5x?7) ??31513 ??cos(5x?7)?C 151lnxdx 例3.4．?x2lnx?1lnx12u?1?1dlnxu?lnx?du 解：原式??2lnx?122u?1解：原式?

?1?(1?21)du2u?1?1u?1ln2u?1?C?1lnx?1ln2lnx?1?C 2424例3.5．x?4?x4dx 1x2112解：原式=?2dx?arctan?C 4222?(x2)2例3.6．1?cos2x(2tan2x?1)dx sec2x11dx?dtanx?arctan(2tanx)?C 解：原式???1?2tan2x1?2tan2x2sin2(2x)例3.7．?dx x解：原式?2sin2xdxu?2x =例3.8．e?2111(1?cos2u)du?u?sin(2u)?C 2?241x?sin(4x)?C

4ex?x?dx

x解：原式?e?edx?ede?e?C

- 80 -

?ex?exxex第三章 不定积分

x3?3x?2dx 例3.9．?x?2解：利用综合除法知

x3?3x?212?x2?2x?7?

x?2x?121212)dx?x3?x2?7x?12lnx?2?C 原式??(x?2x?7?x?23x6?x3?x?3dx 例3.10．?x2?12x?242)dx 解：原式??(x?x?x?1?2x?115131211d(x2?1)?2?dx ?x?x?x?x??2532x?11?x21513122 ?x?x?x?x?ln(1?x)?2arctanx?C 53211dx,?dx 例3.11．?sinxcosx解： 1sinxdcosx11?cosxdx?dx?????sinx?sin2x?1?cos2x2ln1?cosx?C 1cosxdsinx11?sinxdx?dx???cosx?cos2x?1?sin2x2ln1?sinx?C 注：此例对于三角函数相当重要，请熟练掌握。 1?2?cosxdx 2?cosxdx 解：原式??(2?cosx)(2?cosx)2?cosx2dsinx??dx?dx? 222??4?cosx4?cosx3?sinx例3.12．dtanx1sinx2sec2x1sinx?2?arctan() ?? dx?arctan()2?4tanx?34sec2x?13333 ?d2tanx1sinx?arctan() ?(2tanx)2?(3)2331tanx1sinxarctan(2)?arctanx()?C 3333 ?- 81 -

创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印

sinx?sinx?cosxdx

1(sinx?cosx?sinx?cosx)11?d(cosx?sinx)dx=?dx??解：原式=??

2sinx?cosx22sinx?cosx11 =x?lnsinx?cosx?c

22cosxdx 例3.14．?2sinx?3cosx32f(x)?f?(x) 解：令f(x)?2sinx?3cosx，则f?(x)?2cosx?3sinx,cosx?131332f(x)?f?(x)321313dx?x?ln|2sinx?3cosx|?C 原式＝?f(x)1313例3.13．例3.15．1?2sin2x?cos2xdx sec2x11解：原式＝?dx?dtanx?arctan(2tanx)?C ?2tan2x?12tan2x?12例3.16．tanxdx 解：原式=[tanx?tanx?(tanx?1)?1]dx 2222 =tanx(1?tanx)dx?secxdx?dx=tanxdtanx?tanx?x?c ?4?422????13tanx?tanx?x?c 32x?3dx 例3.17．?2x?2x?2 =2(x?1)?5d(x?1)21dx解：原式=?=?5dx 222??(x?1)?1(x?1)?1(x?1)?1 =ln(x?2x?2)?5arctan(x?1)?c 2例3.18．

?x3?2x?x2dx

解：原式=

?1d(x?1)21??d(x?1) dx=?22224?(x?1)4?(x?1)4?(x?1)x?1?1 - 82 -

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库江苏专转本高等数学_不定积分_例题加习题在线全文阅读。