用配方法求值域

用配方法求值域

一、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域

二、例题讲解

1、求函数y?2??x2?4x(x??0,4?)的值域。

设：f(x)??x2?4x(f(x)?0)配方得：f(x)??(x?2)2?4(x??0,4?)利用二次函数的相关知识得f(x)??0,4?，从而得出：y???2,2?。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：f(x)?0。 2、求函数y?e?x2?4x?3的值域。

u2解答：此题可以看作是y?e和u??x?4x?3两个函数复合而成的函数，对u配方可得：

u??(x?2)2?1，得到函数u的最大值u?1，再根据y?eu得到y为增函数且y?0故

函数y?e?x2?4x?3的值域为：y?(0,e]。

3、若x?2y?4,x?0,y?0，试求lgx?lgy的最大值。

本题可看成一象限动点p(x,y)在直线x?2y?4上滑动时函数lgx?lgy?lgxy的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：

x?(0,4),y?(0,2),而lgx?lgy?lgxy?lg[y(4?2y)]?lg[?2(y?1)2?2，y=1时，

lgx?lgy取最大值lg2。

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