上海海事大学高数A08-09_A卷_试题+答案(2)

3分

d2ysec2tsec3t??atdx2atcost，

　k?d2ydx2　?sec2tat?1，

?3?dy?22sec3tat??1?????dx?????5分

k1t???a?6分

7、解：令x?2sect　　dx?2sect?tantdt 　原式??2sect?tant4sec2t?2tantdt?14?costdt?14sint?C分

2?x?44x?C. ?8、l参数方程为?x?7?5t?y?4?t

??z?5?4t代入?方程，解得t??1，故l，?交点M0为(2,3,1)

3分

过M0与l垂直的平面方程为 5x?y?4z?17?0

5分

所求直线为 ??3x?y?2z?5?0?5x?y?4z?17?0

6

。 2分 5

6分

6分

99、解：设d??{x,y,z}，

??2x?3y?z?0 ??x?2y?3z?0， 4分

??2x?y?2z?3?14解答：x=-42，y=z=42，即d??{?42,42,42}。6分

10、左边????0f(x)sinxdx??0sinxdf?(x) 2分

=???0f(x)sinxdx?sinx?f?(x)|?0??0f?(x)cosxdx 3分

=??0f(x)sinxdx?f(x)cosx|??0??0f(x)sinxdx 5分

=f(?)?f(0)?3,?f(0)?2.

6分

四、应用与证明题（本大题共16分）

1、( 本 小 题8分 )

解:S??2?a2?0ydx??0a2(1?cost)2dt

?a2?2?0(1?2cost?cos2t)dt

2?

?a2(32t?2sint?14sin2t)?3a2?

0 V???2?a230ydx??a3?2?0(1?cost)dt

??a3?2?(1?3cost?3cos2t?cos30t)dt

??a3?2??5??2?3cost?32cos2t?(1?sin2t)cost?0??dt??a3?52?2??5?2a3.

7

2分4分5分8分

2、( 本 小 题8分 )

证明：存在性

设g(t)?A(t)?2009B(t)

2分

f(t)在[a,b]上连续，且单调增，

??(f(t)?f(x))dx?2009?(f(x)?f(t))dx

attbg(a)g(b)??2009?(f(b)?f(x))dx??(f(x)?f(a))dx?0aabb

由零点定理，至少有一点??(a,b),g(?)?0 5

分

唯一性：g?(t)?f?(t)(t?a)?2009f?(t)(b?t)?0 7分

所以g(t)严格单调增，故?唯一，

分

即必存在唯一??(a,b),使A(?)?2009 8B(?) 8

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