河北省石家庄市2012届高三补充题、压轴题数学试题(3)

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

514?18k232?(1?k2)??9k??22 21?2k21?2k59?(1?2k2)?22?7, 21?2k152?(9t?)?7在[1,??)单调递增， |EM|?|EN|1?2k?t?1令，则

2t1?(9?5)?7?14, |EM|?|EN|所以

22t?1时取得最小值，此时k?0,

|EN|的最小值为14. 所以|EM|?，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，?APB?2?，若20.【文科】设动点P到点A(?1d1d2cos2??1．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

?????????（Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，若E(4,0)，求EM?EN的取值范围.

2解：（Ⅰ）在?PAB中 由余弦定理得|AB|2?d12?d2?2d1d2cos2?，

因为|AB|?2， d1d2cos2??d1d2(2cos2??1)?2d1d2cos2??d1d2?2?d1d2, 所以d1?d2?22?|AB|?2，

x2?y2?1. 点P的轨迹C是以A、B为焦点的椭圆，其方程为2（Ⅱ）(1)当直线l的斜率不存在时，其方程为x?1，

x222?y2?1得M(1,代入)，N(1,?), 222??????????????????11722)，EM?EN?9??； EM?(?3,)，EN?(?3,?2222（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y?k(x?1)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)

11

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

?x2??y2?1,由?2消去y得 (1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0， ?y?k(x?1).??=16k4?4(1?2k2)(2k2?2)

?8k2?8?0，

4k22k2?2, x1x2?所以x1?x2?, 221?2k1?2k?????????EM?(x1?4,?y1)，EN?(x2?4,?y2),

????????? 1)EM?EN?(x1?4)(x2?4)?y1y2 ?x1x2?4(x1?x2)?16?2k(x(2?1?1)x2k2?24k222?(4?k)?16?k ?(k?1)x1x2?(4?k)(x1?x2)?16?k =(k?1)221?2k1?2k22221117k?1417???22， 21?2k21?2k11112?11，所以17?17?2?17?11?14 ， 由于0?221?2k2221?2k22当k?0时取等号,

?????????17综上知EM?EN的取值范围为[,14].

23a21．【理科】已知函数f(x)?lnx,g(x)?? (a?R).

2x2(I)当a?1时，求函数?(x)?f(x)?g(x)在x?[4,??)上的最小值； (Ⅱ)若方程e2f(x)?g(x)1(e为自然对数的底数）在区间[,1]上有解，求a的取值范围；

2n51(Ⅲ)证明：n????2f(2k?1)?f(k)?f(k?1)??2n?1,n?N* （参考数据：

460k?1ln2?0.6931）

解：（Ⅰ）当a?1时，?(x)?f(x)?g(x)?lnx?1?1x?113?，?'(x)??2?2，令x2x.xx?'(x)?0，又x?0，

12

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

??(x)在x?(0,1]上单调递减，在x?[1,??)上单调递增．

?当x?4时，?(x)??(4)?ln4???(x)的最小值为ln4?135??ln4?． 4245． 41(Ⅱ) e2f(x)?g(x)在x?[,1]上有解，

23a131?e2lnx??在x?[,1]上有解?a?x?x3在x?[,1]上有解．

2x222313令h(x)?x?x,x?[,1]，

223122因为h?(x)??3x?3(?x)，

22令h'(x)?0，又x?0，解得：0?x?2． 2?h(x)?2312x?x3在x?[,]上单调递增，x?[2,1]上单调递减， 22212212)，即?h(x)?， 222又h(1)?h()，?h(1)?h(x)?h(故a?[,122]． 2(Ⅲ)设ak?2f(2k?1)?f(k)?f(k?1)，

4k2?4k?1 ak?2ln(2k?1)?lnk?ln(k?1)?lnk(k?1)，

由（Ⅰ），?(x)min?ln4?5?0(x?4)， 4?lnx?31?(x?4)， 2x4k2?4k?1??4．

k(k?1)?ak?3k(k?1)511511?2????24k?4k?144(2k?1)244(2k?1)(2k?3)，

13

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

?5111?(?)． 482k?12k?3n??ak?k?I51111111n?(???????)4835572n?12n?35111511151n?(?)?n?(?)?n?． 4832n?3483546011?x构造函数F(x)?lnx?x?2(x?4),F'(x)??1?，

xx1?x?0． ?当x?4时，F'(x)?x??F(.x)在[4,??)上单调递减，即F(x)?F(4)?ln4?2?2(ln2?1)?0．

?当x?4时，lnx?x?2．

111111?ak?ln(4??)?4???2．即ak?2??．

kk?1kk?1kk?1??ak?2n?1?k?1ri1?2n?1． n?1所以

n,n?N* 51n????2f(2k?1)?f(k)?f(k?1)??2n?1460k?121．【文科】已知函数f(x)?ex?ax?1(a?R，e为自然对数的底数)． （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a?0时，若方程f(x)?0只有一解，求a的值； （Ⅲ）若对任意的，均有f(x)≥f(?x)，求a的取值范围．

x??0,???解：（Ⅰ）f?(x)?ex?a，

当a≥0时，f?(x)?0，f(x)在(??,??)上是单调增函数． 当a?0时，

由f?(x)?0，得x?ln(?a)，f(x)在(ln(?a),??)上是单调增函数； 由f?(x)?0，得x?ln(?a)，f(x)在(??,ln(?a))上是单调减函数． 综上，a≥0时，f(x)的单调增区间是(??,??)．

a?0时，f(x)的单调增区间是(ln(?a),??)，单调减区间是(??,ln(?a))．

14

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a?0，x?ln(?a)时，f(x)最小，即f(x)min?f(ln(?a))， 由方程f(x)?0只有一解，得f(ln(?a))?0，又考虑到f(0)?0， 所以ln(?a)?0，解得a??1． （Ⅲ）当x≥0时，f(x)≥f(?x)恒成立，

即得ex?ax≥e?x?ax恒成立，即得ex?e?x?2ax≥0恒成立， 令h(x)?ex?e?x?2ax（x≥0），即当x≥0时，h(x)≥0恒成立．

又h?(x)?ex?e?x?2a，且h?(x)≥2ex?e?x?2a?2?2a，当x?0时等号成立． ①当a??1时，h?(x)?0，

所以h(x)在[0,??)上是增函数，故h(x)≥h(0)?0恒成立． ②当a??1时，若x?0，h?(x)?0， 若x?0，h?(x)?0，

所以h(x)在[0,??)上是增函数，故h(x)≥h(0)?0恒成立． ③当a??1时，方程h?(x)?0的正根为x1?ln(?a?a2?1)， 此时，若x?(0，x1)，则h?(x)?0，故h(x)在该区间为减函数．

所以，x?(0，x1)时，h(x)?h(0)?0，与x≥0时，h(x)≥0恒成立矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是[?1,??)． 选做题：

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，E是?O中直径CF延长线上一点，弦AB?CF,AE交?O于P,PB交CF于D，连接AO、AD. 求证：（Ⅰ）?E=?OAD；

APCBODFEOE. （Ⅱ）OF?OD?2 15

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库河北省石家庄市2012届高三补充题、压轴题数学试题(3)在线全文阅读。