数学物理方程 2008-2009第二学期试题(B)答案(2)

2 在初始条件 v(x,t)|t?0??(x),程的解。 （10分）

解 令

vt(x,t)|t?0??(x)????x???下求这个方

v(x,t)?e??tu(x,t) （1）

??t 则 vt?e?ut??u?,vtt?e??t?utt?2?ut??2u?,vxx?e??tuxx

代入到原方程，得

222 utt?auxx?2?????ut???2????u?0

??则上式变成标准波动方程

utt?a2uxx?0 （4） 将变换（3）代入到初始条件，得

v(x,0)?e???0u(x,0)??(x) vt(x,0)?即

d???t?eu(x,t)?|t?0??(x) ??dtu(x,0)?v(x,0)??(x)?? （5）

ut(x,0)??(x)???(x)?于是求解定解问题（1）--（2）就转化为求解定解问题（4）--（5）。由D’Alembert 公式有

11x?at??x?at????x?at?? u(x,t)????2a?x?at??????????????d? 2?代入（3）式得原定解问题的解为 u(x,t)?

11?x?at??x?at????????2ae?t2e?t??x?atx?at??????????????d?

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