高考线性规划题型归纳

线性规划常见题型及解法

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

?2x?y?2?例1、设变量x、y满足约束条件?x?y??1，则z?2x?3y的最大值为 。

?x?y?1?解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标

函数z最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

?x?2?习题1、若x、y满足约束条件?y?2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

?x?y?2?A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

y 2 O B y =2 x l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

A 2 x + y =2 x=2 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

?x?1,?例2、已知?x?y?1?0,则x2?y2的最小值是 . ?2x?y?2?0? 1

图2

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2?y2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。x2?y2的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

?2x?y?2?0?习题2、已知x、y满足以下约束条件?x?2y?4?0 ，则z=x2+y2的最大值

?3x?y?3?0?和最小值分别是（ ） A、13，1 B、13，2

y 425C、13， D、13， 55解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即

A O x – 2y + 4 = 0 |AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，3x – y – 3 = 0 即为

x 2x + y - 2= 0 = 5 4，选C 5练习2、已知x，y满足?____________． 2，0

?x?2y?5?0，则

?x?1,y?0?x?2y?3?0?y的最大值为___________，最小值为x

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

?x?y?2?0例3、在平面直角坐标系中，不等式组??x?y?2?0表示的

?y?0?平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 ?x?y?2?0解析：如图６，作出可行域，易知不等式组??x?y?2?0表示的平面区域是一个三角

?y?0?形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S?|BC|?|AO|??4?2?4.从而选Ｂ。

1212 2

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

?2x?y?6?0?习题3、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为

?y?2?（ ）

A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

y x＋y – 3 = M A O B y =2 C x 2x + y – 6= 0 = 5 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线x2?y2?4的两条渐近线与直线x?3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

?x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0????(A)?x?y?0 (B)?x?y?0 (C) ?x?y?0 (D) ?x?y?0

?0?x?3?0?x?3?0?x?3?0?x?3????解析：双曲线x2?y2?4的两条渐近线方程为y??x，与直线x?3围成一个三角形区域（如图4所示）时有??x?y?0。

?x?y?0?0?x?3?点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是

（ ）

y??2y??2??y??2y??2????A．? B．3x?2y?6?0 C．?3x?2y?6?0 D．3x?2y?6?0 ????3x?2y?6?0????x?0x?0x?0x?0????C

五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

3

例

?x?05、在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数?y?0??y?x?s??y?2x?4C z?3x?2y的最大值的变化范围是（）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当3?s?4时, 目标函数z?3x?2y在B(4?s,2s?4)处取得最大值, 即

zmax?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8);当4?s?5时, 目标函数z?3x?2y在点E(0,4)处

取得最大值,即zmax?3?0?2?4?8,故z?[7,8],从而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m

的取值范围是 （ ）

A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）

解：|2x－y＋m|＜3等价于?y 2x – y + 3 = 0 2x – y = 0 O ?2x?y?m?3?0

?2x?y?m?3?0?m?3?3由右图可知? ,故0＜m＜3，选C

m?3?0?

习题6、不等式|2x?y?m|?3表示的平面区域包含点(0,0)和点(?1,1),则m的取值范围是

A．?2?m?3 A

（ ） B．0?m?6

C．?3?m?6

D．0?m?3

七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

4

例7、已知变量x，y满足约束条件??1?x?y?4。若目标

??2?x?y?2函数z?ax?y（其中a?0）仅在点(3,1)处取得最大值，则

a的取值范围为 。

解析：如图5作出可行域，由z?ax?y?y??ax?z其表示为斜率为?a，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数

z?ax?y（其中a?0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线

y??ax?z过Ａ点且在直线x?y?4,x?3（不含界线）之间。即?a??1?a?1.则a的取值范围为(1,??)。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘?a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

?x?y?5?习题7、已知x、y满足以下约束条件?x?y?5?0，使

?x?3?（ ）

A、－3 B、3 C、－1 D、1

y x – y + 5 = 0 x + y = z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 5 O x=3 x 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取

得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

八、研究线性规划中的整点最优解问题

例8、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束

?5x?11y??22,?条件?2x?3y?9,则z?10x?10y的最大值是(A)80 (B) 85

?2x?11.?(C) 90 (D)95

z，它表示为斜率为?1，纵截10z119距为的平行直线系,要使z?10x?10y最得最大值。当直线z?10x?10y通过A(,)z

1022解析：如图７，作出可行域，由z?10x?10y?y??x? 5

取得最大值。因为x,y?N，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Zmax?90.

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

九、求可行域中整点个数

例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

?x?y?2?x?y?2?解：|x|＋|y|≤2等价于???x?y?2???x?y?2(x?0,y?0)(x?0,y?0)

(x?0,y?0)(x?0,y?0)y 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选C

习题9、不等式x?y?3表示的平面区域内的整点个数为

O x （ ）

A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个 A

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