交错级数敛散性判别判别探究

交错级数敛散性判别探究

摘 要: 交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法在教材中并不多，关于交错级数的敛散性判别文中总结出一些判别准则，包括教材以外的其它判别准则，利用其中一些准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛，并选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验．

关键词: 交错级数；判别准则；收敛；发散

Convergence and Divergence of Alternating Series

Exploring Discriminate

Abstract Alternating series is one of important contents in mathematical analysis, at the present, there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established several criterions to decide convergence or divergence of alternating, during phase criterions, some of them are outside the teaching material. Based on these convergence criterions can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series. Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.

Key words alternating series; criterion; convergence; divergence

-I-

1 引言及预备知识

在许多数学分析和高等数学教材中，对级数敛散性的判别是一个重要内容，特别介绍了一类特殊级数．

定义1 考虑如下的级数

?(?1)n?1?n?1 un?u1?u2?????(?1)n?1un????（其中un?0） （1）

我们称这样的级数为交错级数．

交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法．

引理1 （莱布尼玆判别法）对于交错级数（1）若满足两个条件： ①数列{un}单调递减；②n?0时un?0， 则交错级数（1）收敛．

对于莱布尼玆判别法的证明在教材中都已给出，在这里就不作介绍，但在应用莱布尼玆判别法时应注意以下两点：第一注意莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件，如果数列{un}不满足单调递减性时不能判定级数（1）式发散．第二根据莱布尼玆判别法我们需要判别数列{un}是否单调递减，判别数列{un}是否单调递减常用的方法有3种：一是讨论un?un?1的的符号情况；二是讨论比值unun?1与1的大小情况；三是构造函数u(x)使得u(x)?un，利用函数的单调性得到数列{un}的单调性．但莱布尼玆判别法在使用是存在着局限性，对于交错级数敛散性的判别除了我们比较熟悉的莱布尼玆判别法之外,还有其它一些判别方法．

2 最一般情形的判别方法对交错级数敛散性的判别

最一般情形的判别方法就是满足所有级数敛散性判别的方法，常见的方法有定义法，即判断级数部分和数列{Sn}是否收敛来判断交错级数是否收敛．同时，柯西收敛准则的推论也是非常有用的，即级数收敛的必要条件是：如果limun?0，则级数发散．

n??12n??????????的敛散性． 例1 判别级数

101201100n?1?n11??0，所以级数?(?1)n?1解 此级数为交错级数，因为limun?发

n??100n?1100100n?1n?1散．

?(?1)n例2 判别级数?的敛散性． nn?2n?(?1)解 此级数为交错级数，但不满足un?un?1，设S2n为级数的部分和，先证S2n单调递减，再证其有下界． 111111S2n?(?)?(?)?????(?)，括号内各项均小于0，因而S2n单调递减，又因为

32542n?12n1111111S2n???(?)?????(?)???，即S2n有下界，故limS2n存在，设S2n?Sn??2342n?12n2n?12

-1-

又limun?limn??1?0，因此limS2n?lim(S2n?U2n?1)?S，从而limS2n?S，故原级数

n??n??n??n??n?(?1)n收敛．

111111?????????????的敛散性． 2?12?13?13?1n?1n?1解 此级数为交错级数,设S2n为级数的部分和．

11111111S2n?(?)?(?)?????(?)?2(1??????)

2n2?12?13?13?1n?1?1n?1?1?111而级数?发散，故limS2n?lim2(1??????)???，所以原级数发散．

n??n??2nn?1n

例3 判别级数3 绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别

根据文献[1]与[2]中介绍的绝对收敛的级数一定收敛，则可以把判别交错级数（1）的敛散性转变为判别正项级数的敛散性，在文献[1]与[2]中对正项级数敛散性的判别方法 介绍了很多种，比如定义法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等．

?n例4 判别级数?(?1)n?1n?1的敛散性．

2n?1n?1?n?1|un?1|n?11n2解 lim?limlim??1，因为?n?1收敛，所以原级数收敛．

n??|u|n??nn??2n2n?12n2n?1?nn例5 判别级数?(?1)n()的敛散性．

2n?1n?1解 lim|un|?limn(n???n??nnn1)?lim??1，

n??2n?12n?12因为?(n?1nn)收敛，故原级数收敛． 2n?1?n2n例6 判别级数 ?(?1)lnn的敛散性．

3n?1nn?2222解 lim|un|?limnlnn?limlnn?0?2?1，因为?lnn发散，则原级数是否收敛

n??n??n??33n?133n需用其他方法进行讨论．

4 不绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别

利用绝对收敛的情形只能判定交错级数在绝对收敛的情况下收敛，如果交错级数不绝对收敛，那么我们并不能判定交错级数的敛散性，下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法．为了证明定理先看引理．

-2-

?引理2 设有级数?un若：①当n??时此级数的通项趋于0；②通过重新组合已给

n?1级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数?An也收敛；③在和式

n?1?An?pn?1?1n?1?u(pi1?p2?p3????)中相加项ui的数目是有限的，则级数?un收敛．

n?1?证明 设An中相加项的数目不超过某一固定的自然数m，即|pn?1?pn|?m(n?1,2,???)，

?任给??0，考察?1?由于un?0（当n??时），于是存在自然数N'，使得当n?N'2m?1时有|un|??1，再由?An收敛性知存在N1?N'，使得当n?N1及p为任意自然数时有

n?1?|An?An?1?????An?p|??1，

取N?pN1，当n?N时对任意自然数s，考虑

?ns?un?un?1?????un?s，

?，即知：当i?j时，若 注意到每一个ui必属于某一个Ak，记An的项ui的集合为An?，u?A?,则必有k?l在?中，显然u?A?(r?0)，再看以后的各项便有u?AikjlnnN?r?ns?B?AN1?r?1?????AN1?r?q?B'，其中

B?un?????upN1?r?1?1，B'?upN1?r?q?1?????un?s，

显然，B是AN1?r中一部分之和，B'是AN1?r?q?1中一部分之和，于是(记n?N?N1?N')．

|B|?(pN1?r?1?pN?r)?1?m?1，|B'|?(pN1?r?q?2?pN1?r?q?1)?1?m?1，|AN1?r?1?????AN1?r?q|??1 从而|?ns|?|B|?|AN1?r?1?????AN1?r?q|?|B|?(2m?1)?1??，由柯西收敛准则知级数?un收

'?n?1敛．

定理1 如果交错级数（1）满足（a）limun?0；（b）?un发散则有：①若?(u2n?1?u2n)n??n?1??n?1收敛，则级数（1）也收敛.②若?(u2n?1?u2n)发散，则级数（1）也发散．

n?1?证明 若?(u2n?1?u2n)收敛，limun?0，2n?(2n?1)?1，即和式相加项数有限，

n?1?n??由引理知级数

?(?1)n?1?n?1unu(n?0收)敛，若

?(un?1?2n?1?u2n)发散，利用反证法，假设

?(?1)n?1?n?1unu(n?0收敛，由收敛级数的性质知)?(un?1?2n?1?u2n)也收敛，这与已知条件矛盾,

故定理成立．

推论1 交错级数?(?1)n?1un(un?0)依次k项添加括号构成的级数记作（*）若满足条

n?1?件：①级数（*）收敛于A；②limun?0，则交错级数?(?1)n?1un(un?0)必收敛于A，若

n??n?1?级数（*）发散或limun?0，则交错级数?(?1)n?1un(un?0)发散．

n???n?1例7 判别级数

111111?????????????的敛散性． 2?12?13?13?1n?1n?1-3-

解 此级数为交错级数且一般项趋于0，该项的绝对值级数为

?11111111???????????????(?)， 2?12?13?13?1n?1n?1n?1n?1n?2???111显然该级数是发散的．考察?(u2n?1?u2n)??(?)??为发散级数，由

n?1?1n?1?1n?1nn?1n?1定理知原级数为发散级数．

111例8 判别级数1?a??a????的敛散性．

234解 此级数为交错级数且一般项趋于0，则该级数的绝对值级数为

?11111111?a??a???????????(?)， ?aa2342n?1(2n)(2n)n?12n?1????11111因为?发散，则?(发散．考察?)(u?u)?(?)． ??2n?12naa2n?12n?1(2n)2n?1(2n)n?1n?1n?1n?1???111当a?1时，级数?(u2n?1?u2n)??(为收敛级数，故原级数收敛． ?)??2n?12n2n(2n?1)n?1n?1n?1????1?11当a?1时，?(u2n?1?u2n)??,因为发散，故 ???an?1n?12n?1n?1(2n)n?12n?1???1?1(u?u)?? ???2n?12nan?1n?12n?1n?1(2n)发散，则原级数发散．

11??a1111(2n)2n?1(a?1)当a?1时，(u2n?1?u2n)?(，因为，而?)lim?aaan??12n?12n?1n?1(2n)n?1nan?????发散，所以由定理知原级数发散．由上讨论可知，级数1?收敛，a?1时发散．

111??a????当a?1时为条件a2345 拉贝判别法

下面以定理的形式介绍一种新的判别方法，该方法不仅能判定交错级数的敛散性，而且还能判别它是绝对收敛还是条件收敛，该定理的判别模式是极限的形式，运用起来极为方便，

定理2（拉贝判别法）对于级数（1）若limn(n??un?1)??则 un?1①当??1时，级数（1）绝对收敛； ②当0???1时，级数（1）条件收敛； ③当??0时，级数（1）发散； ④当??0时，级数（1）可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛；

⑤当??1时，级数（1）收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛．证明上述定理将用到两个引理．

?u引理3（拉贝审敛法）对于正项级数?un(un?0)，若limn(n?1)??则

n??un?1n?1

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?①当??1时，级数?un收敛； ②当??1时，级数?un发散；

③当??1时，级数?un可能收敛也可能发散．

n?1n?1?n?1?1un?1)??，则un??(???)(??0)．

n??nun?1对于引理3在[1]与[2]中已给出，引理4在[5]中也有介绍，这里就不作证明，下面证明定理．

?un证明 由引理3知道若un?0及limn(则当??1时，级数?un(un?0)收敛，?1)??，

n??un?1n?1引理4 若un?0(n?1,2,3,???)且limn(当??1时，级数?un(un?0)发散，当??0时，取??0使得????0，则存在自然数N，

n?1?un???un???，因此当n?N，?1)????或1?1???1?un?1nun?1n1?时有un?un?1，且un单调递减．由引理4知un??(???)(??0)，取??，于是n??时有

n2使得当n?N时有????n(un?0，因此当??1时，级数?(?1)un绝对收敛；当0???1时，级数?(?1)n?1un条件

n?1n?1n?1??收敛；当??0时，级数（1）发散；当??1时，级数?(?1)n?1un收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛；当??0时，级数?(?1)n?1un可能发散也可能条件收敛，

n?1?11但不会绝对收敛．例如?(?1)收敛，?(?1)n?1(1?)发散．

lnnnn?1n?1?(2n?1)!!例9 判别级数?(?1)n?1的敛散性．

(2n)!!n?1(2n?1)!!u1(2n)!!?1)??0， 解 因为??limn(n?1)?limn(n??n??(2n?1)!!un?12(2n?2)!!?(2n?1)!!故级数?(?1)n?1条件收敛．

(2n)!!n?1?a(a?d)???[a?(n?1)d]例10 判别级数 ?(?1)n?1(a?0,b?0,d?0)的敛散性．

b(b?d)???[b?(n?1)d]n?1ub?ndn(b?a)b?a解 ??limn(n?1)?limn(， ?1)?lim?n??n??n??un?1a?nda?nddb?ab?a?1即a?b?a?d时原级数条件收敛；当?1即b?a?d时原由定理可得：当0?dd?b?aa?1即b?a?d时原级数收敛，此时原级数为?(?1)n?1级数绝对收敛；当为条da?ndn?1n?1?n?1?? -5-

?b?ab?a?0即b?a时原级数发散；当?0即b?a时原级数为?(?1)n?1发件收敛；当ddn?1散．综上可得原级数当b?a时发散，当a?b?a?d时条件收敛，当b?a?d时绝对收敛．

6 其它判别方法

下面以定理的形式介绍两个新的判别交错级数敛散性的方法，最后通过例子说明这两个方法在判别交错级数敛散性的可行性．

un?定理3 对于交错级数（1）若lim?????，则①当1???e时，级数（1）条件收敛；n??u?n?1?n②当??e（包含??）时，级数（1）绝对收敛；③当??1时，级数（1）发散．证明上述

结论用到如下引理．

?u??u?引理5 对于正项级数?un(un?0)，令Hn??n?，若limHn?lim?n???，则当

n??n??un?1?un?1??n?1??nn??e时正项级数?un(un?0)收敛，当??e时正项级数?un(un?0)发散．

n?1n?1??下面证明定理.

?u??u?证明 当??1时，因为lim?n????1，则存在N，当n?N时有?n??1，所以

n??u?n?1??un?1?当n?N时有：un?un?1 (2)

nnnr?nr??un???u11??????rrnr?0???1又lim?，取，而，则lim?1????e?0，lim1??e????????n??un??n???un???n??n?1????n?1???nn所以存在自然数N，当n?N时有：

?un??1?unun?1?n??1??n?1??1???1?,即，所以因此有 ???????????unnunun?n?1??????n?1?n?1???n??n??n?1??n??n?1??N??N?0?un?1??u?u?...u?uN， nn?1N??????????????n?1??n?1??n??n?1??n??N?1??n?1?rrrrrrrnnrrrr?N?又因为r?0，则lim? uN?0，由夹逼定理得：limun?1?0 （3）

n??n??n?1???由(2)和(3)两式知数列?un?单调递减，且limun?0．由莱布尼玆判别法知级数（1）收敛．

n??r再由引理知：①当1???e时，级数（1）条件收敛；②当??e（包含??）时，级数（1）

?u??u?绝对收敛；③当??1时，因为lim?n????1，则存在N，当n?N时有?n??1，所

n??u?n?1??un?1?以当n?N时有un?un?1，因此limun?0，由级数收敛的必要条件知级数（1）发散．

n??nnuna?1?，a为un?1n常数，则①当a?0时，交错级数（1）收敛；②当a?0时，交错级数（1）发散．

ua证明 由于改变级数有限项后，不改变级数的敛散性，不妨设n?1?(n?1,2,???)，

un?1n定理4 对于交错级数（1）满足条件：存在自然数N，当n?N时，

-6-

una?1??1，所以数列?un?单调递减，又因为 un?1naaau1u1u2un?1aaa)???， ?.????(1?)(1?)???(1?),lim(1?)(1?)???(1?12n?1unu2u3un12n?1n??所以limun?0．由莱布尼玆判别法知,交错级数（1）收敛．

当a?0时，因为

n??una?1??1(n?1,2,???)所以数列{un}为单调递增数列，故limun?0，所以交

n??un?1n错级数（1）发散．

当a?0时，

例11 判别级数?(?1)n?1n?1?(2n?1)!!11?的敛散性．

(2n)!!nnn2n2解 令un??un??2n?2??n?2n?1?(2n?1)!!1,则， Hn??1??????2?(2n)!!n?un?1??2n?1??n?2n?11(2n?1)?221??由于??limHn?lim?1?n??n???2n?1??收敛．

1??1?2??n?2n??(n2?2n).1?12n?e，则由定理知原级数条件

12例12 判别级数?(?1)n?1n?1?n!的敛散性．

4?5?6?????(n?3)nnn?1?3?13?un??n?4??n!3?解 令un?,则Hn????1??????4?5?6?????(n?3)?un?1??N?1??n?1?n?1?3?13，

3???e3?e，则由定理知原级数绝对收敛． 由于??limHn?lim?1??n??n???n?1?n?n?1n例13 判别级数?(?1)的敛散性． n!n?1?nn??1n?nn1n???(1?)解 令un?则Hn??，由于??limH?lim(1?)?nn????n??n??(n?1)nn!n??????由定理知原级数发散．

n?n?n?0?1(2n)!的敛散性． n24?(n!)n?1un(2n)!4n?1?[(n?1)!]22n?21解 因为，即对于任意的自然数?n???1?2un?14?(n!)(2n?2)2n?12n?11N?0，只要n?N就有?0，根据定理4得原级数收敛．

2n?1

例14 判别交错级数?(?1)?n?17 一类特殊交错级数敛散性的判别

n(?1)在许多教材中，对莱布尼玆判别法只介绍了一种简单的形式，对于交错级数?，un?1n?只要满足：①un?1?un?0(n?1,2,???)；②limun???时级数也是收敛，下面我们将以此为

n??基础介绍关于一类特殊交错级数敛散性判别的方法．

-7-

?vn|v|(?1)n定理5 设交错级数?收敛，un?0，n?1,2,???，lim?0，若级数?n收敛，2n??unn?1unn?1un?(?1)则级数?收敛．

n?1un?vn??(?1)n(?1)n??(?1)nvn证明 考察级数 ?? （4） ????un?vn?n?1un(un?vn)n?1?un???|v|(?1)(?1)n级数?收敛，故级数?收敛的的充要条件是（4）收敛．由级数?n收敛2u?vuun?1nn?1n?1nnn??|(?1)nvnun(un?vn)|(?1)及lim，知级数（4）绝对收敛，于是级数收敛． ?1?2n??vnunn?1un?vnv定理6 设un?1?un?0，vn?0(n?1,2,???)，limun???，limn?0，则级数

n??n??un?vn?(?1n)收敛的充要条件是． ?2?nn?1unn?1un?(?1)vn?(?1)n??vn(?1)n证明 考虑级数?? （5） ????nnun?(?1)vn?n?1un(un?(?1)vn)n?1?un??(?1)n(?1)n级数?是收敛的，因此级数?收敛的充要条件是（5）收敛．注意到，nn?1unn?1un?(?1)vn??vnun(un?(?1)nvn)???un当n充分大时，级数（5）一般项非负，而lim??lim?n?????1，2nn??vnun???un?(?1)vn??v因此，级数（5）收敛的充要条件是?n收敛． 2n?1un(?1)n例15 讨论级数?p(p?0)的敛散性． nn?(?1)n?1??vn111p解 在本题中un?n，vn?1，?2??2p，当p?时该级数收敛，p?时发散，

22n?1unn?1n?11(?1)np?p?由定理知级数?p，当时收敛，当时发散． (p?0)n22n?1n?(?1)?(?1)n例16 讨论级数?p的敛散性． nn?2n?(?1)n????vnn1(?1)n解 ?2??2p??2p?1，由定理知级数?p当p?1时收敛，当p?1时nn?2unn?2nn?2nn?2n?(?1)n发散．

?(?1)n例17 讨论级数?p的敛散性，这里{vn}为任意有界数列．

n?vn?1n?|v|M|vn|?|vn|解 因为{vn}有界，则存在常数M，使得|vn|?M，级数?2??2p，又2np?2pnnn?1unn?1n???111|vn||v|于是当p?时，级数?2p收敛，当p?时?2np发散，即p?时原级数收敛，当

222n?1nn?1n -8-

p?1时，原级数发散． 2

8 结束语

本文以莱布尼兹判别法及交错级数自身特征，探究总结出了一些判别准则，利用其中一些准则不仅能判定交错级数的敛散性，还能判定其是绝对收敛还是条件收敛，且有些判别方法的判别模式是用极限形式，用起来极为方便有效，同时克服了莱布尼兹判别法的种种缺陷．

参考文献

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