固体物理练习(2012)附答案

一、简要回答以下问题：(每小题6分，共30分)

1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。

另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

2.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。

解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r7成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。

3. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为?wj(q)的声子平均数为

nj(q)?1e?wj(q)/(kBT)?1

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

4. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？

解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第tN?j个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3?。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。

如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。

5. 金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，

因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分)

解：我们知体心立方格子的基矢为：

a?a??12(?i?j?k)?a?a?(i?j?k) （3分） ?22??a?a(i?j?k)3?2?根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：

2?[a2?a3]2??b??(j?k)?1?a?2?[a3?a1]2??b??(i?k) (5分) ?2?a??b?2?[a1?a2]?2?(i?j)3??a?由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒

格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。（2分）

三、已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为（10）

?(?)?2N?(???)2m2?12。

式中?m是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N。

解：由题意可知该晶格的振动模总数为

?mN??m??(?)d? (3分)

0??02N(???)2m2?12??md?（2分）

? ?arcsin??m2N?02N?(?0)?N （5分） ?2

四、利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（20分）

（1）简单立方

3?2?2??；（2）体心立方；（3）面心立方（4）六角密积；（5）

8666

金刚石

3?16。

解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?2R，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：

441??R31??R3???33?33? （4分）

6a(2R)（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数

a?4R/3，则体心立方的致密度为：

442??R32??R333????33a(4R/3)

3?8 （4分）

（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?22R，则面心立方的致密度为：

444??R32??R333????33a(22R)

2?6 （4分）

（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?2R，

c?(26/3)a?(46/3)R，则六角密积的致密度为：

446??R36??R333????223a3(2R)6?c6?(46/3)R44

2?6 （4分）

（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?(8/3)R，

则金刚石的致密度为：

448??R38??R33?3??33?? （4分） 3316a(8/3)R

五、用钯靶K?X射线投射到NaCl晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl晶胞中Na与Cl的距离为2.82×10-10m，晶体密度为2.16g/cm3。求： （1） X射线的波长；阿伏加德罗常数。（20分）

＋

－

解：（1）由题意可知NaCl晶胞的晶胞参数a?2?2.82?10?10?5.64?10?10m，又

应为NaCl晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为

da5.64?10?10?10111?m 12?12?12?3?3.26?10又根据布拉格定律可知：

??2d111sin??2?3.26?10?10sin5.9??6.702?10?9m （2）由题意有以下式子成立

Na3A?4??MNaCl （5分）

∴ N4MNaClA?a3??4?58.5(5.64?10?10)3?2.16?106?6.038?1023 （5分）

5分）

（5分）

（

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