高中数学人教a版高二选修2-3章末综合测评2 含解析

高中数学人教a版高二选修2-3章末综合测评2 含解析

章末综合测评(二) 随机变量及其分布

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法不正确的是( )

A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量 B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0 C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值

D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布

【解析】 公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.

【答案】 C

2．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从

111C18C5＋C4C6

两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是1C1C1211

( )

A．P(X＝0) C．P(X＝1)

B．P(X≤2) D．P(X＝2)

111

C18C5＋C4C6【解析】 由已知易知P(X＝1)＝. 1C112C11

【答案】 C 3．若X的分布列为

X P 则E(X)＝( ) 4

A. 52C. 5

1B. 21D. 5

第1页 共11页

0 1 51 a 14144

【解析】 由＋a＝1，得a＝，所以E(X)＝0×＋1×＝. 55555【答案】 A

4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )

A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.04

【解析】 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.

【答案】 C

5．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于( ) (注：P(μ－2σ

11

【解析】 P(X≤2)＝(1－P(2

221

4)×＝0.022 8.

2

【答案】 B

1

6．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率

3为( )

4A. 94C. 27

2B. 92D. 27

1?241???1－【解析】 连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C1××33?＝9. 3?【答案】 A

4

7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为，那么成活棵数X的方差

5是( )

第2页 共11页

16A. 516C. 25

64B. 2564D. 5

4?4?4??

【解析】 由题意知成活棵数X～B?4，5?，所以成活棵数X的方差为4××?1－5?5????16

＝.故选C. 25

【答案】 C

8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )

3A. 51C. 10

11C13C116C96C5P(A)＝11＝，P(AB)＝11＝. C10C95C10C93

2

B. 55D. 9

【解析】 记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则

P?AB?5

故P(B|A)＝＝. P?A?9【答案】 D

9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函?x－80?2

数为f(x)＝e－，则下列命题中不正确的是( )

200102π

1

A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10

【解析】 利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选

【答案】 B

10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)

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B.

＝( )

A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2

【解析】 因为P(ξ＝k)＝

17

，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<，即ξ102

3

＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＝0.3.

10

【答案】 A

11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )

工人 废品数 概率 甲 0 0.4 乙 1 0.3 2 0.2 3 0.1 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的产品质量好一些

【解析】 ∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E(X甲)>E(X乙)，

∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些． 【答案】 B

12．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中12

A的各位数中a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ＝a1＋a2

33＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )

8

A. 2716C. 81

11B. 365D. 81

第4页 共11页

2????4，【解析】 记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B3?， ?28

E(η)＝4×＝.因为ξ＝1＋η，

3311

E(ξ)＝1＋E(η)＝.故选B.

3【答案】 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.

31

C4134＋C4C3

【解析】 P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝. C4357

【答案】

13

35

14．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，21

设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率

33为________．

【解析】 由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂42?2?2?1?1

????＝. 蚁在x＝1处的概率为C3

?3??3?9

【答案】

4 9

15．州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.

【解析】

如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(AB)＝1， n?AB?1

P(A|B)＝＝.

n?B?4

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【答案】

1 4

16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： 3

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；

5

4

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；

3③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次2

取到红球的概率为；

5

④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为其中所有正确结论的序号是________.

2C132C4【解析】 ①恰有一个白球的概率P＝3＝，故①正确；②每次任取一球，取C65

26. 27

2?2?42??????6，1－到红球次数X～B3?，其方差为6×3×?3?＝3，故②正确； ?

③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}． 4×322

则P(A)＝，P(AB)＝＝，

36×55∴P(B|A)＝

P?AB?3

＝，故③错； P?A?5

2

④每次取到红球的概率P＝，

3所以至少有一次取到红球的概率为 2?326?

1－?1－3?＝，

??27故④正确． 【答案】 ①②④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：

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(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？

【解】 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B：从1号箱中取出的是红球． P(B)＝

42＝. 2＋43

1

P(B)＝1－P(B)＝. 3(1)P(A|B)＝

3＋14

＝. 8＋19

31

(2)∵P(A|B)＝＝，

8＋13∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B) 421111＝×＋×＝. 933327

18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？

【解】 因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.

(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.

(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.

由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．

19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数

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相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.

X P

Y P 0 5 101 3 102 2 100 6 101 1 102 3 10【解】 工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为 E(X)＝0×

613

＋1×＋2×＝0.7， 101010

613

D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.

101010工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为 E(Y)＝0×

532

＋1×＋2×＝0.7， 101010

532

＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61. 101010

D(Y)＝(0－0.7)2×

由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．

20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望． (注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数) 【解】 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为

3

C354＋C3p＝＝. 3C984

(2)X的所有可能值为1,2,3，且

13

C2174C5＋C4

P(X＝1)＝＝， 3C942

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