机械优化设计习题集

7. 用K-T

?1??是否为以下约束最优化问题的最优解。2条件判断点x??（P42-47） ????3??3322minf(x)?3x1?x2?2x1x2?2x3?6x2?9x3?922x1?x2?3?0s.t.x1?x3?4?0x1?0x2?0

8. 用K-T

?0??是否为以下约束最优化问题的最优解。0条件判断点x??（P42-47） ????4??3342minf(x)?8x1?x2?x1x2?2x3?6x2?9x3?17s.t.22x2?x1?3?04?x1?x3?0x1?0x2?0

9. 用K—T条件判断x???是否为以下约束最优化问题的最优解。（P42-47）

2 minf(x)?(x1?5)2?x2

?2??0?2 g1(x)?x1?x2?4?0 g2(x)??x2?0 g3(x)??x1?1?0

210.用黄金分割法求函数f(x)?x?2x在区间[0.8 , 1.1]中的极小点，迭代终止使

b?a用点距准则（P52） ??，精度??0.15。

b

11.用黄金分割法求函数f(x)?x2?3x?5在区间[1，1.8]中的极小点，迭代终止使

b?a用点距准则??，??0.3。 （P52）

b

12.用黄金分割法求函数f(x)?x?20在区间[0.2 , 1]中的极小点和极小值，迭代x准则b?a??，精度ε=0.4。（P52）

13.利用阻尼牛顿法求解 f(x)?4(x1?1)2?2(x2?1)2?x1?x2?10的极小值，初始点为

?0?x0???0??，迭代终止采用梯度准则?f(x)??，精度????0.01。（P65）

214.利用阻尼牛顿法求解 f(x)?4(x1?1)2?2x22?x3?x1?x2?10的极小值，初始点为

?0??，精度?x0???0???0???0.15，迭代终止使用梯度准则?f(x)??。（P65）

2215.对于f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2?2，初始点x0???，求共轭梯度法在第二次

?2??2?迭代的搜索方向d。（一维搜索可使用解析法，提示d??g1?β0d, β0?（P70）

110g1g022 ）

216.用变尺度DFP法求解f(x)?4?x1?1?2?x2初始?x1x2?10x1?7的极小值和极小解，

点x0???。（提示：变尺度矩阵迭代公式：

1???1? Hk?1?Hk?????x???g?xk??xkkTT?Hk??gk???gk?T?Hkk??gk?T?Hk??gk，?gk?gk?1?gk，?xk?xk?1?xk，

迭代终止使用梯度准则?f( xk)??,精度??0.0015。一维寻优用解析法。）（P77-81）

17.用DFP法求解f(x)?2x12?x22?2x1x2?4x2的极小值，初始点x0???1??，第一次迭

???1??2?代H?I，得到x??2?，g0??f(x0)???，变尺度矩阵迭代公式：

????4??2?0?1?1Hk?1?Hk?????x???g?xk??xkkTT?Hk??gk???gk?T?Hkk??gk?T?Hk??gk，?gk?gk?1?gk，?xk?xk?1?xk，迭代终止

使用梯度准则?f(xk)??,精度??0.001。（一维寻优用解析法）。（P77-81）

2218.函数f(x)?4x1初?x2?40x1?12x2?136用DFP法迭代两次后的极小值和极小解，始点x0???。（提示：变尺度矩阵迭代公式：

Hk?1?Hk?8??9??????x???g?xk??xkkTT?Hk??gk???gk?T?Hkk??gk?T?Hk??gk，?gk?gk?1?gk，?xk?xk?1?xk，

一维寻优用解析法。）（P77-81）

19.用内点惩罚函数法求解以下数学优化问题的约束最优解。（无约束寻优部分用解析法）。（P160）

22??minf(x)?x1?2x2 ???s?t?g(x)?1?x1?x2?0

20.用内点惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）（P160）

22minf(x)?x1?x2?2x1?1s.t.g(x)?3?x2?0

21.用外点惩罚函数法求解以下数学规划问题的约束最优点。（无约束寻优部分用解析法）。（P163）

?min2f(x)?x1?x2Xx?D?R???D:g1(x)?1?x1?0 ? g(x)??x?012??

22.用外点惩罚函数法求解约束优化问题。(无约束求优部分可使用解析法) （P163）

2minf(x)?x1?4x1?5x2s.t.2x1?x2?0

x1?2?0

23.用混合惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）

（P164）

2minf(x)?4x1?x2?5s.t.

g(x)?1?x1?0h(x)?2x2?1?0

24.用混合惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）

（P164）

minf(x)?x1?2x2s.t.g(x)?1?x1?0 h(x)?x2?0

五、作图题

1.用图解法标注以下最优问题的最优点的位置，解析求最优解的准确坐标。（P22）

22minf(x)?x1?x2?4x1?2x2?5 s．t．x12?x2?2?0 2x1?x2?1?0

22.对于优化问题 minf(x)?(x1?2)2?16x2

s.t. g1?(x1?1)2?1?x2?0 2g2?(x1?1)2?(x2?4)2?9?0

（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）;

（3）若取初始点为可行点x01???，标注出可能得到的约束最优点x?(1)的位置 ； （4）若取初始点为可行点x02???，标注出可能得到的约束最优点x?(2)的位置 。

?2?（P34、35、22）

3.对于优化问题 minf(x)??x1?4?2??x2?5?2

22?x2?16?0 s.t. g1(x)?x1?3??4???1?g2(x)?x1?x2?4?0g3(x)??x1?0

(1)画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

(2)画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）; (3)若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化x?(1) ; (4)若考虑约束，标注出本优化问题的约束最优点x?(2)的位置 ;

(5)若增加等式约束h(x)?x1?x2?0，标注出满足等式约束h(x)和以上不等式约束的最优点x?(3)的位置。（P22、34-35）

24. 对于优化问题 minf(x)?9?x1?4?2?x2

12s.t. g1(x)??x12?x2?1?0

2g2(x)?1x1?x2?1?0 2（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）; （3）标注出本优化问题的约束最优点x?可能出现的两个位置 。（P34-35、22）

5. 用图形表示以下优化问题（P34、35、22）

2minf(x)?25x1??x2?1?2s.t.22g1?x1?x2?16?0 2g2?x1?x2?1?0(1)画出可行域D，判断其是否为凸集（无需证明;

(2)画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明; (3)若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化x?(1)的位置;

6. 对于优化问题 minf(x)??x1?1?2??x2?1?2

s.t. g1(x)?(x1?3)2?(x2?1)2?1?0

g2(x)?2x1?x2?5?0 g3(x)??x1?0g4(x)??x2?0

（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）; （3）若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化x?(1)的位置; （4）若考虑约束，标注出本优化问题的约束最优点x?(2)的位置 。（P34、35、22）

六、综合题

1.如图所示，已知跨距为l，截面为矩形的简支梁，其材料密度为?，许用弯曲应力为[?b]，允许弯曲挠度为[?]，在梁的中点作用一集中载荷F，梁的截面宽度b不得小于bmin，现要求设计此梁，使其质量最轻。试写出该问题的规格化

2的优化设计数学模型（提示：矩形截面的抗弯模量为W?bh/6；简支梁的

23挠度为??Ml/48EI，其中，I?bh/12为矩形截面的极惯性矩 ，M为梁

的中间截面最大弯矩 ）。（P7-19、252-265）

2.有一个包装箱设计问题，要求它的体积为0.1立方米，为使包装箱尺寸比例匀称，它的长度不超过0.6米，设计该包装箱尺寸使其用材料最省。试建立该问题的优化设计规范化的数学模型。（P7-19、252-265）

3.如图所示，设计某单级标准直齿圆柱齿轮减速器参数，已知:要求输入扭矩T1?20Nm,齿轮的齿数比u?5,齿轮的许用接触应力为??H??600MPa，许用弯曲应力??F??480MPa,齿轮的齿宽系数?d?b?0.5~0.9（b为齿轮宽d1度，d1为小齿轮直径），该齿轮传动平稳，载荷系数K?1.2。试以体积最小

为目标优化设计该对齿轮传动，并要求满足齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度条件。（提示：齿面接触疲劳强度条件为

?H?2.5ZEZ??F?2KT1u?1????H?，齿根弯曲疲劳强度条件为2ubd12KT1YFaYSaY????F?,式中，ZE、Z?、Y?均为计算系数，本题中可以看

bd1m作为常数；YFa、YSa与大小齿轮的齿数有关）。（P7-19、252-265）

4.如图所示，要将某直径D=120mm圆棒原料加工成宽和高分别为b和h的矩形梁，

2并使其抗弯强度达到最大（矩形截面的抗弯模量为W?bh/6），并要求梁的

宽度b不小于60mm。试建立该优化问题的规范化的数学模型。（P7-19、252-265）

5.如图所示，设计一偏置曲柄滑块机构尺寸a、b、e，要求滑块的位移S与曲柄的转角? 之间满足S?F(?)的关系，要求滑块总行程H?200mm，机构运动过程中的最大压力角?max?30?。试建立该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）

6.某工厂共有两个车间并生产A、B两种产品。每生产A产品1台的产值为5万元，需占用一车间工作日2天，二车间工作日1天；每生产B产品1台的产值为3万元，需占用一车间工作日1天，二车间工作日1天。现在一车间可用于生产A、B产品的时间为10天，二车间可用于生产A、B产品的时间为8天，而且产品B的最大市场需求量为7台。如何组织安排A、B两种产品的合理投产数，以获得最大的总产值。试写出该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）

机械优化设计复习题

一、单项选择题

1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（ ）（P19-21）

A． 设计变量 B．目标函数 C．设计常量 D．约束条件 2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（ ）（P19-21） A．设计变量 B.约束条件 C.目标函数 D.最佳步长 3.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（ ）（P19-21）

A.边界设计点 B.极限设计点 C.外点 D.可行点 4.当设计变量的数量n在下列哪个范围时，该设计问题称为中型优化问题（P19-21）

A.n<10 B.n=10~50 C.n<50 D.n>50 5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（ ）（P19-24）

A.约束线性 B.无约束线性 C.约束非线性 D.无约束非线性 6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（ ）（P22-24） A.多变量无约束的非线性 B.多变量无约束的线性 C.多变量有约束的非线性 D.多变量有约束的线性

7. n元函数在x(k)点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目标函数值（ ）（P25-28）

A.变化最大 B.变化最小 C.近似恒定 D.变化不确定 8.?f(x)方向是指函数f(x)具有下列哪个特性的方向（ ）（P25-28）

A. 最小变化率 B.最速下降 C. 最速上升 D.极值 9. 梯度方向是函数具有（ ）的方向 （P25-28）

A．最速下降 B．最速上升 C．最小变化 D．最大变化率 10. 函数f(x)在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28）

A.最速上升方向 B.上升方向 C.最速下降方向 D.下降方向 11. n元函数f(x)在点x处梯度的模为（ ）（P25-28） A.?f??f?f?f?f?f?f??... B.?f? ??...?x1?x2?xn?x1?x2?xnC.?f?(?f2?f?f?f?f?f)?()2?...()2 D.?f?()2?()2?...()2 ?x1?x2?xn?x1?x2?xn12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（ ） （P25-31）

A．曲面或曲线 B．曲线或等值面 C．曲面或等值线 D．等值线或等值面 13.一个多元函数f(x)在x*点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件

（ ）（P29-31）

A.?f(x*)?0 B. G(x*)?0

C. 海赛矩阵G(x*)正定 D. ?f(x*)?0，G(x*)负定

14.f(x1,x2)在点x*处存在极小值的充分条件是：要求函数在x*处的Hessian矩阵（P29-31） G(x*)为（ ）

A.负定 B.正定 C.各阶主子式小于零 D.各阶主子式等于零 15.在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对于四维以上问题，构成了（ ）（P29-33）

A.等值域 B.等值面 C.同心椭圆族 D.等值超曲面 16.下列有关二维目标函数的无约束极小点说法错误的是（ ）（P31-32） A.等值线族的一个共同中心点 B.梯度为零的点

C.驻点 D.海赛矩阵不定的点

17.设f(x)为定义在凸集D上且具有连续二阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵G(x)在D上处处（ ）（P33-35）

A.正定 B.半正定 C.负定 D.半负定 18.下列哪一个不属于凸规划的性质（ ）（P33-35） A.凸规划问题的目标函数和约束函数均为凸函数 B.凸规划问题中，当目标函数f(x)为二元函数时，其等值线呈现为大圈套小圈形式

C.凸规划问题中，可行域D?{x|gi(x)?0j?1,2,...,m}为凸集 D.凸规划的任何局部最优解不一定是全局最优解

19.拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种（ ）（P36-38）

A．降维法 B.消元法 C.数学规划法 D.升维法 20.若矩阵A的各阶顺序主子式均大于零，则该矩阵为（ ）矩阵（P36-45） A.正定 B.正定二次型 C.负定 D.负定二次型 21.约束极值点的库恩-塔克条件为?f(x)????i?gix，当约束条件()i?1q和?i?0时，则q应为（ ）（P39-47） gi(x)?0(i?1,2,m...A.等式约束数目 B.起作用的等式约束数目 C.不等式约束项目 D.起作用的不等式约束数目

22.一维优化方法可用于多维优化问题在既定方向上寻求下述哪个目的的一维搜索（ ）（P48-49）

A．最优方向 B.最优变量 C．最优步长 D．最优目标 23.在任何一次迭代计算过程中，当起始点和搜索方向确定后，求系统目标函数

的极小值就是求（ ）的最优值问题（P48-49）

A.约束 B.等值线 C.步长 D.可行域 24.求多维优化问题目标函数的极值时，迭代过程每一步的格式都是从某一定点

x(k)出发，沿使目标函数满足下列哪个要求所规定方向d(k)搜索，以找出此方向的极小值x(k?1)（ ）（P48-49）

A.正定 B.负定 C.上升 D.下降 25.对于一维搜索，搜索区间为[a,b],中间插入两个点a1、b1，a1?b1，计算出

（P49-51） f(a1)?f(b1)，则缩短后的搜索区间为（ ）

A. [a1,b1] B. [b1,b] C. [a1,b] D. [a,b1] 26.函数f(x)为在区间[10,20]内有极小值的单峰函数，进行一搜索时，取两点13和16，若f（13）

A.[10,16] B.[10,13] C. [13,16] D. [16,20]

27.为了确定函数单峰区间内的极小点，可按照一定的规律给出若干试算点，依次比较各试算点的函数值大小，直到找到相邻三点的函数值按（）变化的单峰区间为止 （P49-52）

A．高-低-高 B．高-低-低 C．低-高-低 D．低-低-高 28.0.618法是下列哪一种缩短区间方法的直接搜索方法（ ）（P51-53） A.等和 B.等差 C.等比 D.等积

29.假设要求在区间[a,b]插入两点?1、?2，且?1??2 ，下列关于一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是（ ）（P51-53） A.其缩短率为0.618 B.?1?b??(b?a)

C.?1?a??(b?a) D.在该方法中缩短搜索区间采用的是区间消去法。 30.一维搜索方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度（ ）（P51-56） A.慢 B.快 C.一样 D.不确定 31.一维搜索试探方法---黄金分割法比二次插值法的收敛速度（ ）（P51-58）

A.慢 B.快 C.一样 D.不确定 32.关于一维搜索的牛顿法，下列叙述错误的是（ ）（P53-58） A.牛顿法属于一维搜索的插值方法 B.牛顿法的特点是收敛速度很慢

C.牛顿法中需要计算每一点的函数二阶导数

D牛顿法要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化序列发散 33.关于一维搜索方法的叙述，下列说法错误的是（ ）（P48-58） A．黄金分割法是最常用的一维搜索试探方法

B．在试探法中，确定试验点的位置时没有考虑函数值的分布 C．当函数具有较好的解析性质时，试探法比插值法的效果好

D．插值法中的牛顿法是利用一点的函数值、一阶导数值等构造二次函数的 34.下列多变量无约束优化方法中，属于直接法的是（ ）（P59-60）

A.变量轮换法 B.牛顿法 C.共轭梯度法 D.变尺度法 35.最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1之间关系为（ ） （P60-63）

A．相切 B．正交 C．成锐角 D．共轭 36.下面四种无约束优化方法中，哪一种在构成搜索方向时要使用到目标函数的二阶导数（ ）（P59-90）

A.梯度法 B.牛顿法 C.变尺度法 D.单行替换法 37.下列多变量无约束优化方法中,算法稳定性最好的是（ ）（P59-89） A.坐标轮换法 B.原始共轭方向法 C.鲍威尔法 D.梯度法 38.下述哪个方法的主要优点是省去了海赛矩阵的计算，被公认为是求解无约束优化问题最有效的算法之一（ ）（P59-89）

A.变尺度法 B.复合形法 C.惩罚函数法 D.坐标轮换法 39.通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是（ ）（P59-89）

A.牛顿法 B.梯度法 C.共轭梯度法 D.变尺度法 40.下列约束优化问题的求解方法中，属于间接解法的是（ ）（P59-89）

A．随机方向法 B.惩罚函数法 C.复合形法 D.广义简约梯度法 41.下列无约束优化方法中，哪一个需要计算Hessian矩阵（ ）（P60-89） A.鲍威尔法 B.梯度法 C.牛顿法 D.共轭梯度法 42.哪种方法在确定优化搜索方向时，不需用目标函数的一阶或二阶导数信息

（ ）（P60-90）

A.梯度法 B.牛顿法 C.变尺度法 D.鲍威尔法 43.下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是（ ）（P70-73） A．共轭梯度法具有二次收敛性

B. 共轭梯度法的第一个搜索方向应取为负梯度方向 C. 共轭梯度法需要计算海赛矩阵

D．共轭梯度法的收敛速度比最速下降法快

44.变尺度法的迭代公式为xk?1?xk??kHk?f(xk)，下列不属于Hk必须满足的条件是（ ） （P74-80）

A．Hk之间有简单的迭代形式 B．拟牛顿条件 C．与海赛矩阵正交 D．对称正定 45.梯度法和牛顿法可看作是下列哪种方法的一种特例（ ）（P74-80）

A.坐标转换法 B. 共轭方向法 C. 变尺度法 D.复合形法 46.坐标轮换法之所以收敛速度很慢，原因在于其搜索方向与坐标轴的关系是下述哪种情况，不适应函数的变化情况（ ） （P81-82）

A．垂直 B．斜交 C．平行 D．正交 47.在无约束优化方法中，直接利用目标函数值构成的搜索方法是（ ） （P83-85） A．梯度法 B．鲍威尔法 C．共轭梯度法 D．变尺度法 48.关于鲍威尔方法，叙述错误的是（ ）（P83-88）

A．鲍威尔法是利用函数的一阶导数来构造共轭方向的 B．鲍威尔法又称为方向加速法

C．鲍威尔法是一种有效的共轭方向法

D．对于非二次函数且具有连续二阶导数的优化问题，用鲍威尔法是有效的 49.下列说法不正确的是（ ）（P95-102）

A.线性规划问题中目标函数和约束函数都是线性的

B.目标函数是线性函数，而约束条件不是线性的优化问题也属于线性规划问题

C.线性规划问题中目标函数的最优解位于凸多边形（或凸多面体）的顶点上 D.线性规划问题中目标函数的最优解不必在可行域整个区域内搜索 50.下列关于随机方向法的叙述，错误的是（）（P140-143） A.随机方向法是一种原理简单的直接解法 B.对目标函数的性态无特殊要求 C.此算法的收敛速度慢

D.是求解小型优化问题的十分有效的算法

51.关于约束优化问题的解法，下列说法正确的是（ ）（P138-158） A.直接解法通常适用于仅含等式约束的问题

B.若目标函数为凸函数，可行域为凸集，间接法可保证获得全局最优点 C.间接解法可有效地处理具有等式约束的约束优化问题 D.可行方向法属于间接解法

52.用复合形法求解约束优化问题时，下面哪种搜索方法不能用来改变初始复合形的形状（ ） （P144-148）

A．反射 B．扩张 C．收缩 D．映射 53.用可行方向法求解约束优化问题时，下面哪个不是产生可行方向的条件（ ）（P149-158）

A.按可行方向得到的新点是可行点 B.目标函数值有所下降

C.可行方向的起始点在可行域外 D.可行方向的起始点在可行域内 54.关于惩罚函数法，下列说法错误的是（ ）（P159-165） A．惩罚函数法是一种直接解法

B．使用内点时，初始点应选择一个离约束边界较远的点 C．外点法的迭代过程在可行域之外进行

D．混合惩罚函数法可用来求解同时具有等式约束和不等式约束的优化问题 55.内点惩罚函数法可用于求解下列哪类优化问题（ ） （P159-162）

A．无约束优化问题 B．只含有不等式约束的优化问题 C．只含有等式的优化问题 D．含有不等式和等式约束的优化问题 56.下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是（ ）（P159-162）

A.可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题 B.惩罚因子是不断递减的正值

C.初始点应选择一个离约束边界较远的点 D.初始点必须在可行域内

57.在用惩罚函数法求解约束优化问题时，下列说法错误的是（ ）（P159-164） A.惩罚函数法是一种很有效的间接解法

B.内点惩罚函数法只能用来求解具有等式约束的优化问题 C.外点惩罚函数法的迭代过程是在可行域之外进行

D.混合惩罚函数法可用于求解同时具有等式约束和不等式约束的优化问题 58.下列关于外点惩罚函数法的叙述，错误的是（ ）（P160-164） A.可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。 B.惩罚因子不断递增

C.新目标函数定义在可行域之内 D.初始点必须在可行域外

59.下列关于增广乘子法叙述错误的是（ ）（P165-173） A.增广乘子法在数值稳定性方面比惩罚函数好 B.增广乘子法可用于求解等式约束优化问题 C.增广乘子法只可用于求解不等式约束优化问题

D.增广乘子法的收敛条件可视乘子矢量是否稳定来决定 60. 关于多目标优化问题的叙述，下列说法错误的是（ ）（P202-205） A．多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最优是较难做到的 B．多目标优化问题的特点之一是任意两个设计方案的优劣较容易判别 C．多目标优化问题得到的非劣解往往不止一个

D．多目标优化方法中的主要目标法是将多目标优化问题转化为一系列单目标 优化问题来求解

二、填空题

1.机械优化设计中常把与设计的目标函数的变化关系比较紧密的设计参数定

为 。 （P19）

2.建立机械优化设计数学模型的三个基本要素是目标函数、约束条件 和 。（P19）

3.建立机械优化设计数学模型的三个基本要素是设计变量、目标函数

和 。 （P19-21）

4.建立机械优化设计数学模型的三个基本要素是设计变量、约束条件

和 。（P19-21）

5.约束条件根据数学表达式可分为：等式约束条件和 。 （P20） 6.约束条件根据数学表达式可分为：不等式约束条件和 。（P20） 7.目标函数是n维变量的函数，其图像只能在n+1维空间中表达，为了在n维空间中反映目标函数变化情况，常采用目标函数 的方法。（P21）

f?x1,x2?=c8.在二维设计空间中， （c为常数）代表的是x1?x2设计平面上的 。（P21）

9.优化问题数值迭代方法（或数学规划方法）的基本迭代公式为 。 （P23）

10.优化设计问题的数学规划解法的两个基本核心一是建立搜索方向d，二是 确定 。（P23）

kk11.一维搜索起始点x???1?2?，搜索方向d???10?，搜索步长因子

TTk?k?1.5，则搜索得到的迭代点xk?1点为 。（P23）

12.优化问题常用的收敛准则中的模准则（或点距准则）其表达式 。

（P24）

13.优化问题常用的收敛准则中的梯度准则其表达式 。（P24） 和 。（P24）

15.优化问题常用的收敛准则中的函数值准则其表达式 。（P24）

2f?x?=x12?2x2?3x2?4x1x2?5在x0??11?处沿x1轴的方向导数值为 16.函数

14.优化问题常用的收敛准则有三种，它们分别为函数值准则、梯度准则和

T 。（P26）

?x?=x1?2x2?3x2?4x1x2?5在x0??11?处沿x2轴的方向导数值为 17.函数f

22T 。（P26）

02f?x?=3x12?2x2?4x1?5x2?2x1x2?5在点x??11?处的梯度向量18.函数

T为 。（P27）

02219.函数 f?x?=x1?2x2?4x1-8x2?5在点x??11?处的负梯度方向向量??f?x0?为 。（P27、61）

2f?x?=x12?2x2?4x1?2x1x2?5在x0??11?处的梯度向量 。20.函数

（P27、61）

TT002f?x?=x12?2x2?4x1?2x1x2?5在x??22?处的的海赛矩阵G(x)21.函数 为 。（P29）

?1?0220x?fx=x?2x?4x-8x?5????处的海赛矩阵G(x) 121222.函数 在点

?1?T

为 。（P29）

23.无约束优化问题中，n元函数在某点xk点处取得极值的充分条件

为 。（P32）

224.二元函数 （P31-33） f?x?=x12?x2?4x1?2x2?5的极值点为 。

25.无约束优化问题中，n元函数在某点x点处取得极值的必要条件 。

（P31-33）

f?x?=2x2?x?1的极值点为 26.函数 x=，该点是极大值还是极小值及原

4因 。 （P31-33）

k

127.约束优化问题中，目标函数在约束边界某点x处取得极值的必要条件为 。（P33-36）

28.约束函数g1(x)?x1?x2?9?0,g2(x)?x1?2?0,g3(x)??2?x2?0所构成的可行域的集合是 。（P34）

29.约束优化问题中，如果约束函数和目标函数均为凸函数，则优化问题的局部最优解即为 。（P33-36）

30.约束优化问题局部最优解为全域最优解的充要条件是目标函数为凸函数

和 。（P35-36）

31.约束优化问题中，目标函数在约束边界某点处取得极值的充分条件是：目标函数和约束函数必须满足 。（P42-44） 32.一维搜索的两个基本步骤分别是： 和利用区间消去法原理不断缩小区间。 （确定搜索区间）（P49） 33. 一维搜索一般包括两个基本步骤分别是：确定搜索区间和 。（P49） 34.一维寻优时，搜索区间可采用进退算法确定，它利用了一维连续单峰函

数的函数值随变量变化具有 的特点。（P49）

35.一维搜索的试探方法中最著名的方法是 。（P51-53） 36.一维搜索的插值方法有牛顿法和 等。（P55）

37.无约束优化方法中，梯度法的搜索方向及表达式为 。（P60-61） 38.无约束优化方法中，牛顿法的搜索方向及表达式为 。（P64） 39.无约束优化方法中，阻尼牛顿法的搜索方向及表达式为 。

（P65）

40.无约束优化方法的共轭方向中，每一次得到的共轭搜索方向都依赖于迭代点

处的负梯度而构造出来的，这种方法称为 。 （P70） 41.无约束优化方法中，变尺度法的搜索方向及表达式为 。（P76）

?Hk??f?xk?朝着目标函数值下降的方向，变尺度矩阵42.变尺度法中为使方向

22Hk必须满足的条件为 。（P76）

43.无约束优化方法中，鲍威尔法中的相邻两次的搜索方向dk和dk?1之间满足的

关系及表达式为 。（P83）

44.在优化问题中,如果目标函数和约束函数均是线性的，则该优化问题称为 。（P21-95）

45.二维线性规划问题的极值点一般在 位置。（P97） 46.线性规划优化问题的解法有 。（P107）

47.约束优化方法的直接解法有：随机方向法、复合形法和 。（P140、149）

12348.二维复合形平面上三个迭代点x???1?2?、x??05?、x??2?3?,

TTT三个点的形心点x为 。（P144-146）

49.约束优化方法中，复合形法的搜索方向为：复合多边形各顶点中目标函数值

的 相对于形心点的反对称方向。（P144-147）

50.约束优化方法的直接解法-可行方向法中的搜索方向除了要满足方向可行的

条件，还要满足方向的 。（P151）

51.约束优化方法的惩罚函数法法中，只适合求解不等式约束优化问题的方法

为 。（P159）

52.约束优化方法的间接解法中，将约束优化问题转化成新的一系列无约束优化问题的解法有：增广乘子法和 。（P159）

53.约束优化方法的惩罚函数法法中，适合求解同时具有等式和不等式约束优化问题的方法有外点惩罚函数法和 。（P159） 54.一般多目标优化问题一般得到的解为 。（P202-205）

55.在多个目标函数中，取其中之一为主要目标函数，其余的目标函数作为约束这样的多目标优化方法称为 。（P205）

56.将多目标优化问题转化为统一单目标函数的一般方法有：极大极小法、理想

点法和 。（P206-209）

57.多目标优化方法主要有主要目标法、统一目标法、（宽容）分层序列法和 等方法。（P212）

58.工程实际中，经常有些参数要取整数值和离散值，这样的优化设计问题要用

方法求解。（P229）

59.在离散变量优化方法中，将变量的离散性看成是对目标函数的惩罚项，应用

系列连续变量的优化方法进行求解的方法称为 。（P235） 60.对优化设计的数学模型进行尺度变换的目的是为了 。（P62、74、254）

三、简答题

1.优化设计数学模型的三要素是什么？试写出其数学表达式（P19-21）

c

2.常用的迭代终止准则有哪些？ （P19-24）

3.二维优化问题极值点所处位置有哪几种情况? （P21-23）

4.优化设计问题的基本解法有哪两种？其各自的涵义是什么? （P22-24）

5.试写出二元函数f(x1,x2)在点x0(x10,x20)沿着某一方向d 的方向导数的表达 式（P25-28）

6.试写出二元函数f(x1,x2)在点x0(x10,x20)处的泰勒展开式（注：展开到二次项即可）（P29-30）

7.什么是凸函数? （P33-35）

8.简述凸规划的性质（P33-35）

9.什么是库恩-塔克条件？其几何意义是什么？ （P36-39）

10.拉格朗日乘子法求解等式约束优化问题的具体方法是什么? （P37-39）

11.一维搜索优化方法一般分为哪几步进行？ （P48-49）

12.黄金分割法要求两插入点相对于区间两端点具有对称性，并要求在保留下来的区间内再插入一点时，所形成的区间新三段与原来区间的三段具有相同的比例分布。试证明黄金分割法中区间缩短率为0.618。（P51-53）

13.试述两种一维搜索方法的原理（P51-58）

14.一维搜索方法中的二次插值法的原理是什么? （P53-58）

15.试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型法的优缺点（P60-65）

16.试写出梯度法（最速下降法）的迭代算法公式，并简要叙述该算法的特点（P60-64）

17.为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进? （P70-72）

18.变尺度矩阵Hk必须满足哪些条件? （P74-80） 19.坐标轮换法的基本原理是什么? （P81-82）

20.简述随机方向法的基本思路（P140-143）

21.改变复合形形状的搜索方法主要有哪四种? （P144-148）

22.用可行方向法求解约束优化问题时，产生可行方向的条件是什么? （P149-158）

23.约束优化方法中的可行方向法产生可行方向应满足什么条件？请用文字描述并用公式表达。（P149-158）

24.惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么? （P159-160）

四、分析计算题

221.求函数在f(x)?x1?x1x2?x2?5在点（1，1）处沿方向d的方向导数，d与x1的

夹角为α。求（P26）

（1）方向导数为最大值时，α=？ （2）向导数为最小值时，α=？ （3）方向导数为零时，α=？

222.（1）判断函数f(x)?2x1?4x1x2?1.5x2?x2的驻点是最大值、最小值还是鞍点。

2 （2）求函数f(x)?5ln(x1?x1?32)?10arctan?4?x2?1在x???点的梯度和模。（P31、

3x2?1??27）

T223.求二元函数f(x)?x1（P29） x2?x1x2?6x1?5在x0=[1，-1]处的二阶泰勒展开式。

224.用拉格朗日乘子法计算在两个等式约束条件h1(x)?x1?x2?1?0和

2222h2(x)?x1?x2?4x1?3?0下目标函数f(x)?x1（P39） ?x2?4x1?3?0的极值点坐标。

5.用K-T条件判断点x???是否为以下约束最优化问题的最优解。（P42-47）

minf(x)??x1?1?2??x2?1?2

?2??1?s.t. g1(x)?(x1?3)2?(x2?1)2?1?0

g2(x)?2x1?x2?5?0g3(x)??x1?0g4(x)??x2?0

26.用库恩-塔克条件检验点xk?[2,0]T是否为目标函数f(x)?(x1?3)2?x2，在不等式约束：g1(x)?x12?x2?4?0，g2(x)??x2?0，g3(x)?x2?0.5?0条件下的约束最优点。（P42-47）

4.如图所示，要将某直径D=120mm圆棒原料加工成宽和高分别为b和h的矩形梁，

2并使其抗弯强度达到最大（矩形截面的抗弯模量为W?bh/6），并要求梁的

宽度b不小于60mm。试建立该优化问题的规范化的数学模型。（P7-19、252-265）

5.如图所示，设计一偏置曲柄滑块机构尺寸a、b、e，要求滑块的位移S与曲柄的转角? 之间满足S?F(?)的关系，要求滑块总行程H?200mm，机构运动过程中的最大压力角?max?30?。试建立该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）

6.某工厂共有两个车间并生产A、B两种产品。每生产A产品1台的产值为5万元，需占用一车间工作日2天，二车间工作日1天；每生产B产品1台的产值为3万元，需占用一车间工作日1天，二车间工作日1天。现在一车间可用于生产A、B产品的时间为10天，二车间可用于生产A、B产品的时间为8天，而且产品B的最大市场需求量为7台。如何组织安排A、B两种产品的合理投产数，以获得最大的总产值。试写出该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）

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