理论力学课后习题答案 第11章 达朗贝尔原理及其应用

第11章 达朗贝尔原理及其应用

11－1 均质圆盘作定轴转动，其中图（a），图（c）的转动角速度为常数，而图（b），图（d）的角速度不为常量。试对图示四种情形进行惯性力的简化。

?????????≠?????????????≠????（a） （b） 习题11－1图

（c） （d）

FI O O FIn FIt ????????MIO ??O ??O ???≠??MIO ?≠????????（a） （b） （c） （d） 习题11-1解图

解：设圆盘的质量为m，半径为r，则如习题11-1解图： （a）FI?mr?2，MIO?0

n2t （b）FI?mr?，FI?mr?，MIO?JO??32mr? 2 （c）FI?0，MIO?0 （d）FI?0，MIO?JO??

11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg，由两个销子 A、B悬挂。若突然撤去销子B，求在撤去的瞬时平板的角加 速度和销子A的约束力。

12mr? 2A C B 解：如图（a）：设平板的质量为m，长和宽分别为a、b。 FI?m??AC?3.375?

0.20m 习题11－2图

0.15m

1MIA?JA??[m(a2?b2)?m?AC2]??0.5625?

12?MA(F)?0；MIA?0.1mg?0；??47.04rad/s2

FAy FI FAx A MIA C aC B ??mg ???Fy?0；FIcos??FAy?mg?0；sin??4?0.8

5

— 1 —

0.20m （a）

0.15m ?Fx?0；FIsin??FAx?0；其中：sin??3?0.6

5FAx?3.375?47.04?0.6?95.26N

FAy?27?9.8?3.375?47.04?0.8?137.6N

11－3在均质直角构件ABC中，AB、BC两部分的质量各为3.0kg，用连杆AD、DE以及绳子AE保持在图示位置。若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD、BE所受的力。连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m，φ = 30o。 C 解：如图（a）：设AB、BC两部分的质量各为m = 3.0kg。 直角构件ABC作平移，其加速度为a = aA，质心在O处。

FI?2ma

l B φ D φ E

习题11－3图

?MO(F)?0；

l3llFBcos??FAcos??(FA?FB)sin??0 （1）

444?FAD?0；

FA?FB?2mgcos??0 （2） 联立式（1）和式（2），得：FB?mg?3FA

1FA?(3?1)mg?5.38N；

4FB?mg?3?5.38?45.5N

解：1、图（a）：

① JO?a?Wr mr2?a?Wr

2W ?a?

mr12FOy

A C 3l/4 3l/4 O A aA FA FI B FB 2mg φ φ （a）

11－4 两种情形的定滑轮质量均为m，半径均为 r。图a中的绳所受拉力为W；图b中块重力为W。

试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。

l FOy

FOx

MIO

?b

FOx

（1） （2） （3） （4） （5） （6）

?a

②绳中拉力为W ③?Fx?0，FOx?0 ?Fy?0，FOy?W 2、图（b）： ① MIO?mr2?b

FI?WWa?r?bgg12FI a W

习题11-4图

?MO?0，MIO?FIr?Wr?0 （5）、（6）代入，得

2Wg ?b?

r(mg?2W)（7）

Tb②绳中拉力（图c）： ?Fy?0，Tb?FI?W Wmga?W gmg?2W③轴承反力： ?Fx?0，FOx?0

FI Tb?W?（8） （9）

a ?Fy?0，FOy?FI?W?0 FOymgW?mg?2W

(a)

W

（10）

— 2 —

由此可见，定滑轮的角加速度?a、?b，绳中拉力，轴承反力均不相同。

11－5 图示调速器由两个质量各为m1的圆柱状的盘子所构成，两圆盘被偏心地是悬于与调速器转动轴相距a的十字形框架上，而此调速器则以等角速度?绕铅垂直轴转动。圆盘的中心到悬挂点的距离为l，调速器的外壳质量为m2，放在这两个圆盘上并可沿铅垂轴上下滑动。如不计摩擦，试求调速器的角速度?与圆盘偏离铅垂线的角度?之间的关系。

解：取调速器外壳为研究对象，由对称可知壳与圆盘接 触处所受之约束反力为m2g/2。

取左圆盘为研究对象，受力如图（a），惯性力

FI?m1?(a?lsin?)?2

mg由动静法

2m2g)lsin??FIlcos??0 ?MA?0，(m1g?2OA?将FI值代入，解出 F2y

习题11－5图

xFAyFAx2m1?m2?2?gtan?

2m1(a?lsin?)Im1g

(a)

11－6图示两重物通过无重滑轮用绳连接，滑轮又铰接在无重支架上。已知物G1、G2的质量分别为m1 = 50kg，m2 = 70kg，杆AB长l1 = 120cm，A、C间的距离l2 = 80cm，夹角θ = 30?。试求杆CD所受的力。

FB FAy B A B A FAx θ C B FFI1 I2 θ C

G1 FB′ FCD D G2 a G1

G2 m1g m2g

习题11－6图

（b） （a）

解：取滑轮和物G1、G2如图（a）所示，设物G1、G2的加速度为a，则其惯性力分别为： FI1?m1a；FI2?m2a

m2?m120gg?g?

m2?m1120610g350F???120g?g ；；F?F?F?mg?mg?0F?0B?yBI1I21233?MB(F)?0；(FI1?FI2?m1g?m2g)r?0；a?取杆AB为研究对象，受力如图（b）所示，

?MA(F)?0；FCDsin?l2?FB?l1?0；FCD?

2l1350?g?3430N?3.43kN l2311－7 直径为1.22m、重890N的匀质圆柱以图示方式装置在卡车的箱板上，为防止运输时圆柱前后滚动，在其底部垫上高10.2cm的小木块，试求圆柱不致产生滚动，卡车最大的加速度？ FIOmga0.102m0.61m

习题11－7图

AFN— 3 —

(c)

解：图（c）中 FI?ma ?MA?0

FI(0.61?0.102)?mg0.612?(0.61?0.102)2

ma?0.598?mg0.612?0.5982 amax?a?6.51m/s2

讨论：若a?amax，则惯性力引起的对A点的力矩会大于重力mg对A点的矩，使圆柱向后滚动。原文求amin不合理。

11－8 两匀质杆焊成图示形状，绕水平轴A在铅垂平面内作等角速转动。在图示位置时，角速度??0.3rad/s。设杆的单位长度重力的大小为100N/m。试求轴承A的约束反力。

解：（1）求A处约束力

重力：P?100?0.3?30N

质量：m?100?0.3/9.8?3.061kg 质心O点位置：r?0.1333m

210.133?30.3 =0.122N FIn?mr??3.06? FIτ?0 (??0)

轴承A的约束反力FAx?0.122N（?Fx?0）

FAy?30N （?Fy?0） （2）求B截面弯矩

考虑BD段受力，只有惯性力dFI，在y方向分量对B截面弯矩有贡献。

微段质量：??100N/m

?dm?dx

g?x2?0.22dx dFI?dmx2?0.22?2?0.3hdFIy?dFIcos?

1000.2?x2?0.22dx9.8x2?0.22

0.3?0.2?1006?dx?dx9.89.8?0.3?MA?C0.05mB

习题11－8图

FAyr?0.1333mFInOPAFAx0.05mD?0.2m

yB(a)

0.2mxA?RdFIydx?dFID

?0.050xdFIy?69.8?0.05xdx?061??0.0529.82

(b)

=0.000765N·m=0.765N·mm

11－9 图示均质圆轮铰接在支架上。已知轮半径r = 0.1m、重力的大小Q = 20kN，重物G重力的大小P = 100N，支架尺寸l = 0.3m，不计支架质量，轮上作用一常力偶，其矩M = 32kN·m。试求（1）重物G上升的加速度；（2）支座B的约束力。

l A C l B D FO MIO O FI Q M FA A l l FB B C D O M G G a O

P （a）

习题11－9图

FO′ （b） — 4 —

解：取滑轮和物G1、G2如图（a）所示，设物G1、G2的加速度为a，则其惯性力分别为： FI1?m1a；FI2?m2a

m2?m120gg?g?

m2?m1120610g350F???120g?g ；；F?F?F?mg?mg?0F?0B?yBI1I21233?MB(F)?0；(FI1?FI2?m1g?m2g)r?0；a?取杆AB为研究对象，受力如图（b）所示，

?MA(F)?0；FCDsin?l2?FB?l1?0；FCD?

2l1350?g?3430N?3.43kN l2311－10图示系统位于铅直面内，由鼓轮C与重物A组成。已知鼓轮质量为m，小半径为r，大半径R = 2r，对过C且垂直于鼓轮平面的轴的回转半径ρ = 1.5r，重物A质量为2m。试求（1）鼓轮中心C的加速度；（2）AB段绳与DE段绳的张力。 FDE E 解：设鼓轮的角加速度为?， E FAB

FIC 在系统上加惯性力如图（a）所示，

FIA ??MIC 则其惯性力分别为：

FIC?mr?；FIA?2m?r?

C D B C D B FIA A 2mg

A aA

MIC?JC??m?2??1.52mr2?

?MD(F)?0；

mg A

习题11－10图

2mg （b）

(mg?FIC?FIA?2mg)r?MIC?0 g4aC?r???g 23?1.521（a） ?Fy?0；FDE?FIC?FIA?mg?2mg?0；FDE?3mg?mr??取重物A为研究对象，受力如图（b）所示，

59mg 21?Fy?0；FAB?FIA?2mg?0；FAB?2mg?2mr??2(1?

434)mg?mg 212111－11 凸轮导板机构中，偏心轮的偏心距OA?e。偏心轮绕O轴以匀角速度?转动。当导板CD在最

低位置时弹簧的压缩为b。导板质量为m。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，试求弹簧刚度系数的最小值。

解：本题结果与?转向无关，因讨论加速度。 1、图（a），导板上点B的运动代表导板运动

yB?esin?t?r

?B??e?2sin?t a??yπ当?t?时，a取极值

2y2a??e?，方向向下。 2、导板受力：

π??时，导板上受惯性力FI kB2CFI?me?2，方向向上。

r此力力图使导板与凸轮脱开， A?为使不脱开，应使弹簧力F与板重 Oe力mg之和大于FI：

mg?F?FI

mg?k(2e?b)?me?2

— 5 —

(a)

习题11－11图 FImgDFamaxO x??π2x

(b)

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