2010年高考立体几何专题复习_3

2010年高考立体几何专题复习

岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟

高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合

1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法：

（1）根据定义——证明两平面没有公共点；

（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那

么它们的交线平行”。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．

空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概

????

念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，]，直线与平面所成的角θ∈?0,?，

2?2?

二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈?0，π?．

对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．

如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角?－l－?的平面角（记作?）通常有以下几种方法：

(1) 根据定义；

(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面?，设?∩?＝OA，?∩?＝OB，则∠AOB＝? ；

(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面?内一点A，分别作另一个平面?的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝? 或∠ACB＝?－?；

(4) 设A为平面?外任一点，AB⊥?，垂足为B，AC⊥?，垂足为C，则∠BAC＝?或∠BAC＝?－?； (5) 利用面积射影定理，设平面?内的平面图形F的面积为S，F在平面?内的射影图形的面积为S?，则cos?S'＝. S5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表

示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．

6.棱柱的概念和性质

⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。

⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。

⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。

⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。

⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．

7.经纬度及球面距离

⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球

⌒ P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地

⌒ 于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS

⌒

⌒ ∠POB=40°（线面角）。

⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。

例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。

⌒ 线段AP的长 ∠AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长 8.球的表面积及体积公式 S球表=4πR2 V球=πR3

⑴球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积＝Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以V球＝S球面·R＝·4πR2·R＝πR3. ⑵球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。 二、 空间向量

（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

（2）空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p?xa?yb?zc.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在x、y、z使 OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含x+y+z≠1).

（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则

a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3 ，

?a1a2a3??b1b2b3ODACB4313131343唯一的有序实数组

坐标），y轴是纵轴

a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R) 。

a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0。 a?a?a?a12?a22?a3a2?a?a?a?a?a2(用到常用的向量模与向量之间的转化：

)

??a1b1?a2b2?a3b3??a?bcos?a,b?????222222|a|?|b|a1?a2?a3?b1?b2?b3空间两个向量的夹角公式

（a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)）。 ②空间两点的距离公式：

d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

b.法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.

c.用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则

|AB?n|点B到平面?的距离为|n|.

???????|CD?n|?d??l,l|n|(12是两异面直线，②.异面直线间的距离 其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).

???????|AB?n|?d??|n|③.点B到平面?的距离 （n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）.

??????AB?m???????arcsin???|AB||m|(m为平面?的法向量). ④直线AB与平面所成角

⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）. ??????m?nm?n??arccos?????arccos????????l??|m||n||m||n|二面角的平面角或（m，n为平面?，?的法向量）.

三、注意事项

1.须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。

2.三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos?=

S射S原来求。

3.有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求。 四、考点剖析

考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图

【内容解读】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。

空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总

结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。

【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2007年、2008年广东、山东、海南的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。 例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

H B A I C G

侧视 B D

F

图1

E

F 图2 A C B

E

A．

B． B B B E D E

E C．

E

D．

解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A

点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。 例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ． 主视图 左视图

俯视图 解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可

得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。 点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。 考点二：空间几何体的表面积和体积

【内容解读】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。 把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。

【命题规律】柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此，题目从难度上讲属于中档偏易题。 例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S

解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD。

1V???8?6??4?643(1)

(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为

?8?h1?42????42?2? , 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

2

?6?h2?4????5?2?AB边上的高为

2211S?2(?6?42??8?5)?40?24222因此 点评：在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查。

例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） 2 A．9π C．11π

B．10π

3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

D．12π

解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆几何体，

柱组合而成的简单

22其表面及为：S?4??1???1?2?2??1?3?12?.，故选D。

点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。

例5、（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为?，则球的体积为（ ）

32?8?82?A. 3 B. 3 C. 82? D. 3

解：截面面积为??截面圆半径为1，又与球心距离为1?球的半径是2，

4?R382?V球??33，故B为正确答案． 所以根据球的体积公式知

点评：本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。

考点三：点、线、面的位置关系

【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。

【命题规律】主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系，多以选择题、填空题为主，难度不大。 例6、如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、

CFCG2G分别是边BC、CD上的点，且CB＝CD＝3，则（ ）

（A）EF与GH互相平行 （B）EF与GH异面

（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上

解：依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理

1FG2共面，因为EH＝2BD，BD＝3，故EH≠FG，所以，EFGH

图1

线AC上

2可知，E、F、G、H是梯形，EF与GH必

相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平

面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上。 选（D）。

点评：本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题。利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点。

例7、（2008全国二10）已知正四棱锥S?ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ）

1A．3

2B．3 3C．3 2D．3

解：连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为异面直线SD与AE所成的角。设侧棱长与底

2面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1,AO＝2，AE=2?1?3，

cos?AEO?于是

(3)2?12?(2)22?3?1?13?33，故选C。

点评：求异面直线所成的角，一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法或正、余弦定理求解。

考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。

通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行为主，属中档题。

例8、（2008安徽）如图，在四棱锥O?ABCD中，底

?ABC?面ABCD四边长为

?4, OA?底面ABCD, OA?2,M1的菱形，

OMA

为OA的中点，N为BC的中点

（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。 方法一：（1）证明：取OB中点E，连接ME，NE

?ME‖AB,AB‖CD，?ME‖CDDNCB?NE‖OC,?平面MNE‖平面OCD?MN‖平面OCD

（2）?CD‖AB, ∴?MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）

∴CD?MP 作AP?CD于P,连接MP ∵OA?平面ABCD，∵?ADP??4,∴DP=DP1?2∴cos?MDP??,?MDC??MDP?MD23 所以 AB与2MD?MA2?AD2?2，

?MD所成角的大小为3

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 （3）∵AB‖平面OCD,AQ?OP 于点Q，∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP,∴AQ?CD

又 ∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?1322?AP?DP?22，2

2OA?AP2?2∴AQ??OP32322，所以点B到平面OCD的距离为3

2?方法二(向量法)

作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1?,,0)22244,

?????????????22222MN?(1?,,?1),OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)44222(1)

????????OP?0,n?OD?0 设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n??2y?2z?0??2???2x?2y?2z?0?2即 ?2 取z?2,解得n?(0,4,2)

?????22∵MN?n?(1?,,?1)?(0,4,2)?044

zOMAxBNCPDy?MN‖平面OCD

?????????22∵AB?(1,0,0),MD?(?,,?1)?22ABMD(2)设与所成的角为,

?????????AB?MD1?∴co?s????,?????????∴3AB?MD2? , AB与MD所成角的大小为3

????(3)设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,

????OB?n22d??????n3 由 OB?(1,0,?2), 得.所以点B到平面OCD的距离为3

点评：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。 例9、（2008江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.

（1）求证：GN?AC;

（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明.

证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN

又FD⊥AD FD⊥CD，?FD⊥面ABCD ?FD⊥AC ?AC⊥面FDN GN?面FDN ?GN⊥AC （2）点P在A点处

证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA ?G是DF的中点，?GS//FC,AS//CM ?面GSA//面FMC GA?面GSA

?GA//面FMC 即GP//面FMC

点评：证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键。 考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题。 例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：

（1）D1O//平面A1BC1; （2）D1O⊥平面MAC.

11于O,O1 证明: (1)连结BD,B1D1分别交AC,AC11D1中,对角面BB1D1D为矩形 在正方体ABCD?A1BC?O,O1分别是BD,B1D1的中点?BO//DO11

?四边形BO1D1O为平行四边形?BO1//D1O

?D1O?平面A1BC1,BO1?平面A1BC1?D1O//平面A1BC1

11D1的棱长为a, （2）连结MO,设正方体ABCD?A1BC11D1中,对角面BB1D1D为矩形且BB1?a,BD?2a 在正方体ABCD?A1BC ?O,M分别是BD,BB1的中点

BMBO2a2????BM?,BO?OD?aD1D2 22 OD

BOM??D1D O Rt?MBO?Rt?ODD1 ??

?MO ?90 ??BOM??DOD?90，即DO11??DOD11 ?在Rt?ODD1中，?DDO11D1中 在正方体ABCD?A1BC1?AC ?DD1?平面ABCD ?DD

?? 又?AC?BD，DD1?BD?D ?AC?平面BB1D1D

1O ?D1O?平面BB1D1D ?AC?D 又AC?MO?O ?D1O?平面MAC

点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线

线垂直有时要用勾股定理的逆定理．

例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P—ABCD中， PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点． (I) 求证：平面PDC?平面PAD； (II) 求证：BE//平面PAD．

CD?AD（已知）??PA?CD????PA?AD?AP E D A

B

C

证明：（1）由PA?平面ABCD

CD?面PAD???CD?面PAD?

?平面PDC?平面PAD；

（2）取PD中点为F，连结EF、AF，由E为PC中点， 得EF为△PDC的中位线，则EF//CD，CD=2EF． 又CD=2AB，则EF=AB．由AB//CD，则EF∥AB． 所以四边形ABEF为平行四边形，则EF//AF． 由AF?面PAD，则EF//面PAD．

点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．

例12、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，SA?底面ABCD，E是SC上一点． （1）求证：平面EBD?平面SAC；

（2）设SA?4，AB?2，求点A到平面SBD的距离； (1)证明：?SA?底面ABCD ?SA?BD

且BD?AC ?BD?平面SAC ?平面EBD?平面SAC (2)解：因为VA-SBD?VS-ABD，且

S?SBD1??22?322，

BEADCS4 可求得点A到平面SBD的距离为3

点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想． 考点六：空间向量

【内容解读】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．

【命题规律】空间向量的问题一般出现在立体几何的解答题中，难度为中等偏难． 例１３、如图1，直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA?CB?1，

?BCA?90°，棱AA1?2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

????求BN的长；

求

????????cosBA1，CB1的值．

解：如图1，建立空间直角坐标系O?xyz． （1）依题意，

1，，0)N(1，0，1)，得B(0，????∴BN?(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3．

，0，，2)B(0，1，，0)C(0，0，，0)B1(0，1，2)， （2）依题意，得A1(1????????????????????????∴BA·CB?3，BA?6，CB∴BA1?(1，?1，，2)CB1?(01，，2)．1111?5．

????????????????BA1·CB130∴cosBA1，CB1??????????10BA1CB1．

点评：本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识，考查了空间两向量的夹角、长度的计算公式．解

题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标

例１４、如图2，在四棱锥P?ABCD，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，E是AB上一点，PE?EC．已知

PD?2，CD?2，AE?12．求：

异面直线PD与EC的距离； 二面角E?PC?D的大小．

解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直系， 并

设

D?线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标

，则

?1?，(，，C?2，，?0?2?．

A(，，，a0，，，0，，，B)，，，aD)(P02E0a)(3????????????????a?∵PE?CE2∴PE·CE?0∴DE·CE?0，即DE?CE， （1），，解得．

又DE?PD，故DE是异面直线PD与EC的公垂线． 而

????DE?1，即异面直线PD与EC的距离为1．

（2）作DG?PC，并设G(0，y，z)，

????∵?(，0，y，)z DG?????????????????P，C，(0?2，且2)z?2y，，2)． DG·PC?0， 则，∴可取DG?(01

??????31∵EF???，m?，n??2?2F(0，m，n)EF?PC??， F再作于，并设，?????312?2EF????????????n?2m??2，，?222??． EF·PC?0∴且，则，又取

????????DG?PCEF?PC 由，，可知DG与EF的夹角就是所求二面角?的大小，

????????D·GEF2∴co?s??????????DGEF2π，即所求二面角为4．

点评：向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方式：①先作、证二面角的平面角?AOB，

????????OA·OBarccos????????OAOB再求得二面角的大小为

；②先求二面角两个半平面的法向量n1，n2（注意法向量的方向要分布在二

arccosn1·n2n1n2面角的内外），再求得二面角的大小为或其补角；③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂

足不重合），又可转化为求两条异面直线的夹角．

例１５、 如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1．

证明：建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz．设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则

?3a??3a??a?A(0，0，，0)B?a，，0，Ba，，b，C(0，a，b)，D0????1?0，，?22?1?22??2?????， ??????3a???????a??????3?∴AB1??a，，bBD??a，0，0，DC?0，，b???1???22??2??2???，??．

设平面DBC1的一个法向量为n?(x，y，z)，

?????3n·BD??ax?0，??x?0，?2???????aa??nz??y.·DC1?y?bz?0，?2b，?a)2b 不妨令y?2b，则n?(0，?2则?所以?．

??????????ABAB·由于1n?ab?ab?0，得1?n． 又AB1?平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．

点评：平面的法向量是空间向量的一个重要概念，它在解决立体几何的许多问题中都有很好的应用.

四、方法总结与2010年高考预测 （一）方法总结 1．位置关系：

（1）两条异面直线相互垂直

证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向

量相互垂直。

（2）直线和平面相互平行

证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 （3）直线和平面垂直

证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 （4）平面和平面相互垂直

证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。 2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （1）两条异面直线的距离 求法：利用公式法。 （2）点到平面的距离

求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。 3．求角

（1）两条异面直线所成的角

求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；

(0,]②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是2，向量所成的角范

?围是[0,?]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角 求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成

?的角α，那么所要求的角为2??或

???2。

（3）平面与平面所成的角 求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。 （二）2010年高考预测

从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解． 高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。

高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：

1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。

2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。

3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。 五、复习建议

1、三视图是新课标新增的内容，2007、2008、2009年课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。

2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.

3．空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°。

4．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用

5．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.

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