山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学（文）试题

2015．03

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21.集合A?x0?x?2,B?xx?x?0，则A?B?

????A.R

B. ???，0???12，?

C.?D. ?1，2?

2.已知t?R,i为虚数单位，复数z1?3?4i,z2?t?i，且z1?z2是实数，则t等于 A.

3 4 B.

4 3

C. ?4 3D. ?3 423.设a,b为实数，命题甲：a?b?0，命题乙：ab?b，则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知某几何体的三视图如右图，则该几何体的表面积是 A.24 C.36

B. 36?62 D. 36?122 ?y?x?5.已知x，y满足?x?y?2，且z?2x?y的最大值是最

?x?a?小值的4倍，则a的值是 A. 4

B.

3 4 C.

2 11 D.

o1 46.如右图，在?ABC中，AB?BC?4,?ABC?30,AD是边

- 1 -

uuuruuurBC上的高，则AD?AC的值等于

A.0 C.8

B.4 D. ?4

7.已知函数f?x??12x?cosx,f??x?是函数f?x?的导函数，则f??x?的图象大致是 48.函数f?x?????Asin??x????其中A?，0??，0???的图象如图所示，为了得到

2??g?x??sin2x的图象，则只需将f?x?的图象 ?个长度单位 6?B. 向右平移个长度单位

3?C. 向右平移个长度单位

6?D. 向左平移个长度单位

3A. 向左平移

9.已知抛物线y?2px?p?0?上一点M?1,m??m?0?到其焦点的距离为5，双曲线

2x2?y2?1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是 aA.

1 9 B.

1 25C.

1 5 D.

1 310.已知定义域为R的奇函数y?f?x?的导函数为y?f??x?，当x?0时，

f??x??f?x?1?0，若a?x2?1??1??1?f??,b??2f??2?,c??ln?f?ln?，则a,b,c的大小关?2??2??2?C. a?c?b

D. c?a?b

系正确的是

A. a?b?c

B. b?c?a

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在?ABC中，若b?1,c?3,?C?2?，则a? ________. 3

- 2 -

12.在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（左下图），但是年龄组为?25,30?的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在

?25,30?的人数为______.

13.运行如右上图所示的程序框图，则输出的结果S为________.

?2?2x,x??1,14.已知函数f?x???则满足f?a??2的实数a的取值范围是________.

?2x?2,x??1,15.已知数集A??a1,a2,a3,a4,a5??0?a1?a2?a3?a4?a5?具有性质p：

1?i?j?5，均有aj?ai?A.若a5?60，则a3?_________. 对任意i,j?Z，其中

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）

某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.

（I）求抽取的5人中男、女同学的人数；

（II）考核前，评估小组打算从抽取的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.

17. （本小题满分12分）

已知函数f?x??2asin?xcos?x?23cos2?x?3?a?0,??0?的最大值为2，且最小正周期为?.

（I）求函数f?x?的解析式及其对称轴方程； （II）若f??????4???,求sin?4???的值. 36??

- 3 -

18. （本小题满分12分）

如图，已知四边形ABCD是正方形，PD?平面ABCD，CD=PD=2EA,PD//EA，F，G，H分别为PB，BE，PC的中点.

（I）求证：GH//平面PDAE；

（II）求证：平面FGH?平面PCD.

19. （本小题满分12分）

?1?an?n,n为奇数，已知数列?an?中，a1?1,an?1??3

?an?3n,n为偶数.?（I）证明数列?a2n??是等比数列； （II）若Sn是数列?an?的前n项和，求S2n.

20. （本小题满分13分）

??3?2?x2y23已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，其中F1,F2为左、右焦点，且离心率e?，直线l

ab3与椭圆交于两不同点P?x1,y1?,Q?x2,y2?.当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为

?时，原点4O到直线l的距离为

2. 2（I）求椭圆C的方程；

uuuruuuruuur6（II）若OP?OQ?ON，当?OPQ面积为时，求2uuuruuurON?PQ的最大值.

21. （本小题满分14分）

已知函数f?x??sinx,g?x??e?f??x?，其中e为自然对数的底数.

x（I）求曲线y?g?x?在点0,g?0?处的切线方程； （II）若对任意x????????,0?，不等式g?x??x?f?x??m恒成立，求实数m的取值范围； ?2?

- 4 -

（III）试探究当x???????,?时，方程g?x??x?f?x?的解的个数，并说明理由. ?22?

- 5 -

2015年高三模拟考试

文科数学参考答案与评分标准 2015. 03

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

答案：DDABD BACAC 1.答案D .解析:

A?[0,2],B??x|x?0或x?1??A?B?(1,2],故选D.

2.答案D.解析: 复数z1?3?4i，z2?t?i，所以z1? z2?(3t?4)?(4t+3)i， 又z1·z2是实数，所以4t+3?0，所以t=?3.故选D. 43.答案A.解析: 由命题甲成立即a?b?0，可得ab?b2?(a?b)b?0，即ab?b2命题乙成

立，而当命题乙成立时即ab?b2，可取a?2,b?1，显然a?b?0不成立，故选A . 4.答案B.解析：由题意知该几何体为四棱锥，底面是长为4、宽为3的长方形，一条侧棱和底

=24+62，底面积12，所以表面积面垂直.又故侧面积为（4?4+3?4+4?5+42?3）为36+62.故选B.

5.答案D. 解析:先画出可行域如右图：

由?12?x?a?y?x ，得B(1，1)，由?，得C(a，a)，

?y?x?x?y?2当直线z?2x?y过点B(1，1)时，目标函数z?2x?y取得最大

值，最大值为3；当直线z?2x?y过点C(a，a)时，目标函数z?2x?y取得最小值，最小值为3a；由条件得3?4?3a，所以a=

1，故选D. 46.答案B.解析：因为AB?BC?4,?ABC?30，AD是边BC上的高, AD=2，所以

AD?AC?AD?(AB?B)C?AD?A?B1A?DB?2C4??24?,故选B.

7.答案A.解析：本题可用排除法，f?(x)?又f?()?1x?sinx．∴函数f?(x)为奇函数，故B、D错误；2π?1?0，故C错误；故选A． 4ππ8.答案C .解析:由图象可得A?1,??2,??所以f(x)?sin(2x?)，将f(x)的图象向右

33π平移个单位可得g(x)的图象，故选C.

6

π2- 6 -

9. 答案 A.解析: 由抛物线定义可得M点到准线的距离为5，因此p?8,故抛物线方程为

y2?16x，所以M(1,4)，点A(?a,0)，由AM的斜率等于渐近线的斜率得

解得a?41?，

1?aa1，故答案为A. 910. 答案 C.解析:构造函数h(x)?xf(x)，∴h?(x)?f(x)?x?f?(x)，

∵h(x)是定义在实数集R上的偶函数， y?f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴

a?当x＞0时，h?(x)?f(x)?x?f?(x)?0，∴此时函数h(x)单调递增．∵

111f()?h()，222111b??2f(?2)?2f(2)?h(2)，c?(ln)f(ln)?h(ln)?h(?ln2)?h(ln2)，

2221又?ln2?2，?a?c?b.．故选C． 2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

答案：11.1 12.160 13.?1007 14.(??,?1][0,??) 15.30

2211.答案：1.解析：在?ABC中，由余弦定理，得a?1?2?a?1?cos2π?(3)2，又a?0，3解得a?1.

12.答案：160.解析：设年龄在

?25,30?的志愿者的频率是p，则有

5?0.0?p1??5，解得0.?07?5?0.?06?p?0.2，故区间?25,30?内的人数是

800?0.2?160.

13.答案：?1007.解析：由程序框图可知

S?1?2?3??2013?2014?1007?(?1)??1007.

?2a14.答案：(??,?1][0,??).解析：当a??1时，f(a)?21解得a??，此时a??1； ?2，

2当a??1时，f(a)?2a?2?2，解得a?0，此时a?0. 故实数a的取值范围是(??,?1][0,??).

30.解析:由题意知，15.答案：60为集合中的最大数.令i?j?1，则可得集合中的最小数a1?0.

这样根据题意就有：60?a2?a4，60?a3?a3，60?a4?a2，可见，a3?30. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为5?3020?3，女同学的人数为5??2. ……4分 5050

- 7 -

（Ⅱ）记3名男同学为A1,A2,A3，2名女同学为B1,B2. 从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A3B1,A3B2,B1B2，共10个. ………7分 1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是：

A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2. ………………10分

所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率P(C)?17.解：（Ⅰ）f(x)?asin2?x?3cos2?x， 由题意f(x)的周期为π，所以

63?. ………………12分 1052π?π，得??1 ………………2分 2??f(x)最大值为2，故a2?3?2，又a?0，?a?1

∴f(x)?2sin(2x?) ………………4分

π3πππkπ??kπ，解得f(x)的对称轴为x??(k?Z). ……………… 6分

122324π4π2（Ⅱ）由f(?)?知2sin(2??)?，即sin(2??)?， ………………8分

33333 令2x?∴sin?4????π???π?π?π???sin22?????cos22??????? ………………10分 ??6?3?2?3????2π?1??2???1?2sin?2?????1?2????? ………………12分

3?9??3?2

18.解：（Ⅰ）分别取PD的中点M,EA的中点N.连结MH,NG,MN.

1CD因为G,H分别为BE,PC的中点，所以 = 2 ， .

MH

因为AB与CD平行且相等，所以MH平行且等于NG,

故四边形GHMN是平行四边形.所以GHMN. ????4分 又因为GH?平面PDAE，MN?平面PDAE， 所以GH平面PDAE. ??????6分

NG1=2AB(若通过面面平行来证明也可，酌情给分)

（Ⅱ）证明：因为PD?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD?BC.

因为BC?CD,PDCD?D,所以BC?平面PCD. 因为F,H分别为PB、PC的中点，所以FH所以FH?平面PCD.

BC.

- 8 -

因为FH?平面FGH，所以平面FGH?平面PCD. ……………12分 19．解：（Ⅰ）设bn?a2n?

33131，则b1?a2??(a1?1)???，………………2分 223263131131a2n?1?(2n?1)?(a2n?6n)?(2n?1)?a2n?bn?12?32?32?1. 2?3?因为

3333bn3a2n?a2n?a2n?a2n?2222311所以数列{a2n?}是以?为首项，为公比的等比数列.……………………………6分

263a2(n?1)?31?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn?a2n??????26?3?nn?11?1??????，

2?3?n1?1?3即a2n??????， …………………8分

2?3?2由a2n?1a2n?1??2n?1?， 3n?11?1?得a2n?1?3a2n?3?2n?1??????2?3??6n?15， …………………10分 2n?1nn1??1??1???1?所以a2n?1?a2n???????????6n?9??2????6n?9，

2??3???3???3??S2n??a1?a2???a3?a4??L??a2n?1?a2n??1???2????3??2n1??1????2L?n??n9??L?????6?13??3???

1??1??1???3??3????2?11?3nn?????6?n(n?1)?9n

2n2?1??1?????1?3n2?6n????3?n?1??2，……………………………………12分 ?3??3?20.解：（Ⅰ）因为直线l的倾斜角为

π，F2(c,0)， 4所以，直线l的方程为y?x?c，

由已知得c2?，所以c?1. 22- 9 -

又e?3，所以a?3，b?2, 3x2y2??1 . ………………4分 椭圆C的方程 32（Ⅱ））当直线l的斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称，则x1?x2,y1??y2，

x12y1266??1，而S?x1y1?由P?x1,y1?在椭圆上，则，则x1?,y1?1 3222知ON?PQ=26. ……………………………………5分

x2y2??1可得 当直线l的斜率存在时，设直线l为y?kx?m，代入32即(2x2?3(kx?m)2?6，2?3k)2x26?kmx3?m26?0?22，由题意??0，即3k?2?m.

6km3m2?6x1?x2??,x1x2?. ……………………………………7分 222?3k2?3kPQ?1?kx1?x2?1?k22263k2?2?m2(x1?x2)?4x1x2?1?k 22?3k22d?m1?k22，S?POQ211263k2?2?m26, ??d?PQ?m?2222?3k2222222222化为4m(3k?2?m)?(3k?2)，(3k?2)?22m(3k?2)?(2m)?0， 即(3k?2?2m)?0.

22222则3k?2?2m，满足??0, ……………………………………9分

3k223k?2m?， 由前知x1?x2??，y1?y2?k(x1?x2)?2m??mmm9k241ON?(x1?x2)?(y1?y2)?2?2?2(3?2).

mmm22224(3k2?2?m2)2(2m2?1)1PQ?(1?k)??2(2?) ………………………11分

(2?3k2)2m2m222ON2PQ?4(3?21111)(2?)≤253??2?，当且仅当，即m??2时等号成2222mmmm

- 10 -

立，

故ONPQ≤5.

综上可知ONPQ的最大值为5. ……………………………………13分 21.解：（Ⅰ）依题意得，g?x??ex?cosx.g?0??e0cos0?1，

g??x??excosx?exsinx,

g?(0)?1.

……………………4分

所以曲线y?g?x?在点(0,g(0))处的切线方程为y?x?1．

?π?（Ⅱ）等价于对任意x???,0?，m≤[g?x??x?f?x?]min． ······································· 5分

?2??π?设h(x)?g?x??x?f?x??excosx?xsinx，x???,0?．

?2?则h??x??excosx?exsinx?sinx?xcosx?ex?xcosx?ex?1sinx

??π?因为x???,0?，所以?e?x?cosx≥0,?e?2?x???x?1sinx≤0，

??π?所以h??x?…································································· 6分 0，故h(x)在??,0?单调递增，

2??ππ?π?因此当x??时，函数h(x)取得最小值h?????； ··············································· 7分

222??π?π?所以m??，即实数m的取值范围是???,??． ······················································· 8分

22??ππ（Ⅲ）设H(x)?g?x??x?f?x??excosx?xsinx，x?[?,]．

22?π??π?①当x???,0?时，由（Ⅱ）知，函数H(x)在??,0?单调递增，

?2??2??π?故函数H(x)在??,0?至多只有一个零点，

?2?π?π??π?又H?0??1?0,H??????0，而且函数H(x)图象在??,0?上是连续不断的，

2?2??2??π?因此，函数H(x)在??,0?上有且只有一个零点． ···················································· 10分

2???π?②当x??0,?时，g?x??x?f?x?恒成立．证明如下：

?4?π?π?设?(x)?ex?x,x?[0,]，则??(x)?ex?1≥0，所以?(x)在?0,?上单调递增，

4?4??π?所以x??0,?时，?(x)??(0)?1，所以ex?x?0，

?4??π?又x??0,?时，cosx≥sinx?0，所以ex?cosx?xsinx，即g?x??x?f?x?，即H(x)?0．

?4??π?故函数H(x)在?0,?上没有零点． ·············································································· 11分

4???ππ??ππ?③当x??,?时，H?(x)?ex(cosx?sinx)?(sinx?xcosx)?0，所以函数H(x)在?,?上单

?42??42?

- 11 -

?ππ?调递减，故函数H(x)在?,?至多只有一个零点，

?42?π2ππππ?ππ?(e4?)?0,H()???0，而且函数H(x)在?,?上是连续不断的， 又H()?42422?42??ππ?因此，函数H(x)在?,?上有且只有一个零点． ······················································ 13分

?42??ππ?综上所述，x???,?时，方程g?x??x?f?x?有两个解． ······································· 14分

?22?

- 12 -

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