2018届高中数学高考二轮复习专题三数列理教案含答案(全国通用)

来源：网络收集时间：2018-11-12 下载这篇文档手机版

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全，需要完整文档或者需要复制内容，请下载word后使用。下载word有问题请添加微信号:或QQ：处理（尽可能给您提供完整文档），感谢您的支持与谅解。

专题三数列教师用书理

第1讲等差数列、等比数列的基本问题

高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级.

真题感悟

1.(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a2＝－3，S5＝10，则a9的值是________.

解析设等差数列{an}公差为d，由题意可得：

a1＋（a1＋d）＝－3，????a1＝－4，

解得? ?5×4

?d＝3，5ad＝10，1＋??2?

则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20. 答案 20

?1?

2.(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N)，则数列??前10项的

?an?

和为________.

解析 ∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，?，an－an－1＝n，将以上n－1（2＋n）（n－1）n（n＋1）

个式子相加得an－a1＝2＋3＋?＋n＝，即an＝，

221

令bn＝，故bn＝

an2

n（n＋1）

1??1

＝2?－?，故S10＝b1＋b2＋?＋b10 ?nn＋1?11?20?111

＝2?1－＋－＋?＋－?＝.

1011?11?223答案

3.(2010·江苏卷)函数y＝x(x＞0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋

，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.

解析在点(ak，ak)处的切线方程为：y－ak＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝，所以ak21?n－11?，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＋1＝，故{an}是a1＝16，q＝的等比数列，即an＝16×??22?2?

akak＝21.

答案 21

4.(2013·江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋?＋an>a1a2?

an的最大正整数n的值为________.

1122

解析设数列{an}的公比为q(q＞0)，由已知条件得q＋q＝3，即q＋q－6＝0，解得q＝2，

22或q＝－3(舍去)，

an＝a5qn－5＝×2n－5＝2n－6，a1＋a2＋?＋an＝(2n－1)， a1a2?an＝222?2＝2

－5－4－3

12132

n－6

n2－11n2

，－2>2

－5－5

由a1＋a2＋?＋an>a1a2?an，可知2

n－5

n（n－11）

，由2

n－5

－2>2

－5

n（n－11）

，可求

得n的最大值为12，而当n＝13时，2－2<2，所以n的最大值为12. 答案 12

考点整合

1.等差数列

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d， (2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）

＝na1＋

n（n－1）

d，

(3)性质：①若m，n，p，q∈N，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d；

③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?，成等差数列. 2.等比数列

(1)通项公式：an＝a1qn－1

(q≠0)；

a1（1－qn）a1－anq(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；

1－q1－q(3)性质：①若m，n，p，q∈N，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m*

；

③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?，(Sm≠0)成等比数列. 3.求通项公式的常见类型

(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明.

??S1 （n＝1），

(2)利用前n 项和与通项的关系an＝?

?Sn－Sn－1 （n≥2）.?

(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.

(4)累加法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝an＋f(n)，把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.

(5)叠乘法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝f(n)an，把原递推公式转化为用叠乘法(逐商相乘法)求解.

(6)构造等比数列法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化

1－p为等比数列求解.

热点一等差、等比数列的基本运算

【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝________.

(2)(2016·连云港调研)在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a3＋a4＋?＋a8＝________. (3)(2015·湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________.

9（a1＋a9）9×2a5

解析 (1)由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因

22此公差d＝

an＋1

＝f(n)，再利anqa10－a5

10－5

＝1，

∴a100＝a10＋90d＝98.

(2)根据等差数列性质计算.因为{an}是等差数列，所以a3＋a4＋?＋a8＝3(a5＋a6)＝3. (3)由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1

＝3

n－1

答案 (1)98 (2)3 (3)3

探究提高 (1)等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a1和公差

d(公比q)，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量.

(2)在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

【训练1】 (1)(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.

(2)(2016·北京东城区模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于________.

(3)(2015·潍坊模拟)在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋?＋a87＝________.

解析 (1)因为a8＝a2q，a6＝a2q，a4＝a2q，所以由a8＝a6＋2a4得a2q＝a2q＋2a2q，消去

642642

a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.

(2)由已知得Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，故公比q＝－2，又Sm＝故a1＝－1，又am＝a1qm－1

a1－amq＝－11，1－q＝－16，代入可求得m＝5.

1－（q）

(3)法一 a3＋a6＋a9＋?＋a87＝a3(1＋q＋q＋?＋q)＝a1q·＝3

1－qq2a1（1－q87）4

＝×140＝80. 2·

1＋q＋q1－q7

法二设b1＝a1＋a4＋a7＋?＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋?＋a86，b3＝a3＋a6＋a9＋?＋a87，因为b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝140，所以b1(1＋q＋q)＝140，而1＋q＋q＝7，所以b1＝20，b3＝qb1＝4×20＝80. 答案 (1)4 (2)5 (3)80

热点二等差、等比数列的判定与证明

11【例2】 (2016·南师附中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且Sn＝Sn－1＋an－1＋

42119**

(n∈N，且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N).

4(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列.

(1)解由Sn＝Sn－1＋an－1＋，得Sn－Sn－1＝an－1＋，

221*

即an－an－1＝(n∈N，n≥2)，

则数列{an}是以为公差的等差数列，又a1＝，

2411

∴an＝a1＋(n－1)d＝n－. 24(2)证明 ∵3bn－bn－1＝n(n≥2)， 11

∴bn＝bn－1＋n(n≥2)，

331111∴bn－an＝bn－1＋n－n＋ 3324

13?1111?＝bn－1－n＋＝?bn－1－n＋?(n≥2).

24?3643?

bn－1－an－1＝bn－1－(n－1)＋＝bn－1－n＋(n≥2)，

∴bn－an＝(bn－1－an－1)(n≥2)，

3∵b1－a1＝－30≠0，∴12141234

bn－an1

＝(n≥2).

bn－1－an－13

∴数列{bn－an}是以－30为首项，为公比的等比数列.

3探究提高判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an?或

?an＋1?为同一常数.

??an?

(2)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N，n≥2)，则{an}为等差数列；②若an＝an－1·an＋1

(n∈N，n≥2)，则{an}为等比数列.

【训练2】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数. (1)证明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由. (1)证明由题设，anan＋1＝λSn－1，① 知an＋1an＋2＝λSn＋1－1，② ②－①得：an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. ∵an＋1≠0，∴an＋2－an＝λ.

(2)解由题设可求a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.

由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列. 热点三求数列的通项

[微题型1] 由Sn与an的关系求an

【例3－1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N)，a11

＝.求数列{an}的通项公式. 2

(2)(2016·岳阳二模节选)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－

Sn＋1＋3, n∈N*.

证明：an＋2＝3an；并求an.

解 (1)由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N)，得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，

?1?11*

所以－＝2(n≥2，n∈N)，故??是等差数列.

SnSn－1

?Sn?

又＝2，所以＝2n，

S1Sn1111*

故Sn＝，an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N)，

2n2n2（n－1）2n（n－1）1??2，n＝1，

所以a＝?

??－2n（n－1），n≥2.

n(2)由条件，对任意n∈N，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3. 两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.

又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈N，an＋2＝3an. 又∵an≠0，所以

an＋2

＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是ann－1

首项a2＝2，公比为3的等比数列.因此a2n－1＝3，a2n＝2×3

n－1

n－13??2，n为奇数，

∴a＝?

n－2??2×32，n为偶数.

n探究提高给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为

an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，

再求an.

[微题型2] 已知an与an＋1的递推关系式求an

n＋1?1?【例3－2】 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝?1＋?an＋n，求数列{an}的通项公式；

2?n?

(2)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)an＋1－(n＋1)an＋anan＋1＝0，求通项an； 2an(3)已知a1＝4，an＋1＝，求通项an.

2an＋1解 (1)由已知得a1＝1，且

an＋1an1

＝＋， n＋1n2na2a11a3a21anan－11∴＝＋1，＝＋2，?，＝＋n－1， 212322nn－12an1111

∴＝1＋＋2＋?＋n－1＝2－n－1(n≥2). n2222