动态数学软件GeoGebra使用教程

附录：以代数式建立对象之指令速查表

类别 数值 物件 数 自由点 交点 代数式范例 a=5 A=(3,2) A=Intersect[a, b] C=Midpoint[A, B] C=Midpoint[s] L=line[A,B] a=segment[A,B] a=Ray[A,B] u=Vector[A,B] u=Vector[A] a=Ray[A, u] Perpendicular[C,a] Perpendicular[C,u] L=line[C,a] L=LineBisector[A,B] L=LineBisector[s] L=AngularBisector[A,B,C] L=AngularBisector[a,b] f(x) = 3 x^2+1 A=point[f] L=tangent[A,f] poly1=Polygon[A,B,C,D,E] poly1=Polygon[A,B,n],n≧3 c=Circle[M,r] c=Circle[M,s] 简易说明 指定 a 变数值为 5 在坐标平面上建立点 A(3,2) 直线 a、b 的交点 A 点 A、B 之中点 C 线段 s 之中点 C 通过 A、B 两点的直线 通过 A、B 两点的线段 从点 A 通过点 B 的射线 a 从点 A 通过点 B 的向量 u 从原点通过点 A 的向量 u 从点 A 且方向为向量 u 的射线 a通过点 C 且垂直于线 a 的直线 通过点 C 且垂直于向量 u 的直 C 点且平行于线 a 的直线 线通过点 A、B 间的中垂线 线段 s 的中垂线 以 B 为顶点之角 ABC 角平分线 直线 a 和 b 的角平分线 函数 f(x) 函数 f(x) 上一点 A 函数 f(x) 在点 A 的切线 由给定点 A,B,C,D,E 所围成的多 A,B 为边长的正 n 边形 边形以线段以点 M 为圆心，数值 r 为半径的 M 为圆心，线段 s 的长度圆以点为 半径的圆以点 M 为圆心，M 点到 A 点长度 为半径的圆 通过三点 A、B、C 的圆 GeoGebra 使用入门 47 点 中点 直线 线段 射线 向量 射线 垂直线 线 并行线 中垂线 角平分线 切线 面 多边形 正多边形 圆 圆 c=Circle[M,A] c=Circle[A, B, C]

类别 物件 代数式范例 c=CircularSector[M,A,B] 简易说明 圆心为点 M，起点为 A，终点为 B 的扇形，注意 A、B 两点点选的顺 序，是采用逆时针方向的有向角 观念。 扇形 c= CircularSector[A,B,C] 圆 圆心为 A，起点为 B，终点为 C 的 扇形，且 C 点不必需在扇形上 圆心为点 M，起点为 A，终点为 B 的圆弧，注意 A、B 两点点选的顺 序，是采用逆时针方向的有向角 观念。 c=CircularArc[M,A,B] 弧 c=CircumcircularArc[A,B,C] 通过三点 A、B、C 的弧 方程 直线方程式 L:2 x - y=2 式 建立名为 L 之直线方程式，注意 以冒号区隔式子 建立名为 f 之一次函数 建立名为 f 之二次函数 利用内建三角函数建立名为 f 之 函数建立名为 SET 集合，内含五个数 值形态的元素 撷 取 SET 集 合 物 件 之 第 三 个 元 素，在本例中即为 a=8 建立名为 Pset 之集合对象，元素包含{2,4,6,8,10}，即变数 n 由 1 到 5，依序代入 2n 这个表达式所 求出之值所成的集合 建立名为 Pset 之集合对象，元素 包含{4,6,8}，即变量 n 由 a 到 b， 依序代入 2n 这个表达式所求出之 值所成的集合 建立出点(2cos(0),2 sin(0)) ，到 点 (2cos(3),2 sin(3))的所有 点集合，并以 c(1)= (2cos(1),2 sin(1))这个点的函数形态应用 一次函数 函数 二次函数 f(x)=2x-2 f(x)=2x^2-2 f(x)=sin(x)+cos(x) SET={2,5,8,3,4} 复合型态 集合 集合 集合元素 a=Element[SET,3] 撷取 Pset=sequence[2n,n,1,5] 离散型集合 对象范例 1 序列 a=2 离散型集合 b=4 对象范例 2 Pset=sequence[2n,n,a,b] r=2 c=Curve[r cos(t), r sin(t), t,0,2] 参数 参数式无序 曲面 性点集合

48 GeoGebra 使用入门 类别 物件 对称点 代数式范例 C=Mirror[A,B] L=Mirror[g,B] 简易说明 以点 B 为对称中心，做出点 A 的 对应点 C为对称中心，作直线以点 B g 之 点对称直线 L 以点 B 为对称中心，作多边形 p 之点对称多边形 q 以直线 a 为对称轴，做出点 A 的 为对称轴，作直线 g 对应点以直线 Ca之 线对称直线 为对称轴，作多边形L 以直线 a p 之线对称多边形 q b 的布尔变建立一名为 a 及量， 且指定其值为真及假 将 s 设为数值 3，a 设为数值 5，再判断 a 是否等于 s，再把结果传 回 e，本例中，结果为 e=false 双引号内的字符串即为 T 的值，在 此情形下，也可省略双引号 一段双引号再加上一段判断式，对称线 对称多边形 q=Mirror[p,B] 对称点 对称线 C=Mirror[A,a] L=Mirror[g,a] 几何 转换 对称多边形 q=Mirror[p,a] a=true b=false s=3 a=5 e=(a==s) T= \一串你想显示在几何区的 的真假字符串T= \看 \a，再决定要显示 布 布尔变数 林 值 静态文字 文字 动态文字 真或假，结果是\ 为真 此时双引号不可省略 \ 为假\ 结果为: T=看 a 的真假，再决定要显示真 或假，结果是 a 为真 T=\看 a 的真假，再决定要显示 结果为： 3 或是 5，结果为\ T=看 a 的真假，再决定要显示 3 或是 5，结果为 3

GeoGebra 使用入门 49

GeoGebra 使用入门

数字式的坐标平面系统

GeoGebra 使用入门 1 目录

? 安装 ................................................ 3

? 基本概念 ............................................. 5

跨系统、跨平台 ........................................ 5 使用者接口............................................ 5 输出.................................................. 6 重要的网络资源 ........................................ 7 ? 基础操作 ................................................ 8

1- 新点、交点、中心点 ................................. 8

2- 直线、线段、向量 ................................... 10

3- 垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹 ............... 13

4- 多边形、正多边形 ................................... 20

5- 圆形、扇形、圆弧 ................................... 22

6- 角、斜率........................................... 26

7- 对称、平移、旋转 ................................... 28

8- 数值滑杆、文字 ..................................... 34

9- 对象的属性设定 ..................................... 37

? 进阶操作范例 ............................................ 38

1- 直线方程式、函数 ................................... 38

2- 动态文字处理、代数式定义处理：if 语法的应用 ........ 39

3- 参数曲面(Curve) .................................... 41

4- 序列物件(Sequence) ................................. 42

5- 自订工具列管理 ..................................... 45

? 附录：以代数式建立对象之指令速查表 ...................... 47

2 GeoGebra 使用入门 安装

Windows 接口下的安装

请先到 GeoGebra 的网站：http://www.GeoGebra.org/cms/

( 若要阅读中文画面，请将下拉式选单切换到 Chinese。)

这画面中包含大部分的资源，如「Help」、「中文讨论区」等。从「WebStart」

画面中进行安装，可以保证安装到目前最新的版本，而「下载」页面，则列出目 前最稳定的版本。本说明建议读者可以「WebStart」方式进行安装，点选「启用 GeoGebra」这个连结，画面会导向到「WebStart」页面，步骤如下页：

GeoGebra 使用入门 3

按下「GeoGebra WebStart」按钮后，因为 GeoGebra 是在「Java」环境下执

行的软件，若您的计算机没有安装「Java」环境，则画面会自动导向到「Java」安 装网页，若您的计算机没有「Java」环境，且浏览器没有导向到「Java」安装网页， 您可以自行输入网址：http://java.com/zh_TW/，来进行在线安装，该网站上有 详细的安装说明。

结束「Java」的安装后，若您是以「GeoGebra WebStart」按钮进行安装，则 会自动进行 GeoGebra 的安装，若浏览器没有自动进行安装，则您可以考虑切换到 「下载」页面下载 GeoGebra 的各系统版本进行安装。

4 GeoGebra 使用入门 基本概念

跨系统、跨平台

GeoGebra 是一个在「Java」虚拟机器环境上执行的解析几何作图程序，可以 说是一个数字式的平面直角坐标系统。所以用 GeoGebra 做出来的动态图文件，可以 轻易的在不同操作系统，如 Windows、Linux、FreeBSD、Mac 等不同的操作系统上 执行。或可以在不同执行平台，如 Microsoft IE、Mozilla Firefox 等不同的网 际网络浏览器上，完整而无碍的执行。

使用者接口

GeoGebra 使用入门 5

4. 序列物件 (Sequence)

范例 – 多边形内角和公式

序列对象，对绘制离散形集合对象，是一个好用的代数定义方法。图中以正 多边形为讲解范例，意图将正多边形内角和公式，用内部三角形切割方式拼凑出 来，图中我们用了二个数值滑杆 r、n，分别去控制这个正多边形半径的大小，及 正多边形的边数。一组控制观察角度的旋转对象、三个序列对象：n 个顶点、n 条 边、n － 3条切割线，及一组静态文字，一组动态文字，除静态文字较简单外，其 余对象之定义方法分别说明如下：

42 GeoGebra 使用入门

一、n 数值滑杆

为了方便学生观察各种多边形的内角切割情形，可定义一个名为 n 的数值滑杆，以控制多边 形边数。

二、r 数值滑杆 为了视觉效果是否清晰与观察单纯化的考虑，我们用正多边形为观察对象。定义

一个名为 r 之数值滑杆，控制这个正多边形中心到顶点的长度，亦即此正多边形外接圆的半径。

三、一组旋转控制对象

是为了要能从各种角度观察出此正多边形切割后的情形，所设计的一组对象。

3.1 一个基于圆心 B，半径为 1 的应变控制圆 c=circle[B,1]，其中 B 为一自变点对象。

3.2 一个在圆 c 上，圆心 B 的 x 坐标加一单位的观察角度基准点，应变对

象 C＝B＋(1,0)。

3.3 在圆 c 上建立一自由点 D=point[c]。虽然他被限制在圆 c 的圆周上游移，但其值并未被

限 制死，仍应视为一依附于圆 c 的自变对象。

3.4 建立一个应变角度对象 α=Angle[C,B,D]，以 B 为顶点，由基准点 C 转到 D 的有向角。

四、建立此正多边形的动态切割图

4.1 一个自变自由点对象 O，当作此正多边形的中心。

4.2 一组基于点 O、半径 r、观察角度 α，所动态产生的 n 个应变顶点对象，可用序列集合对象，

命名为 Pset，定义为 Sequence[O+(rcos(α+(i-1)360°/n),r sin(α+(i-1)360°/n)),i,1,n] 由于这部分比较复杂，说明如下：

我们希望建立的 n 数值滑杆在变动时，顶点数及相关位置也会跟着变动。例如当 n 变

成 5，则图形就出现正五边形的五个顶点，可以让我们藉此做出正五边形及切割线。而这五 个顶点我们将它视为一个对象。如此设计，使得不管 n 值滑到多少，这 n 个顶点都只算是 一个

对象，这样就可以很方便的控制它。而要达成这个目的， 可以使用 sequence。它包含 4 或 5 个参数，一是对象代数式 定义，二是变动指标，三是起始值，四是终值，五是增量，若 是第五个参数没写，则内定为 1。

GeoGebra 使用入门 43 例如：sequence[(i,i+1),i,1,5]，这个指令可以造出一个包含 5 个点的集合对象

｛(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)｝，如上页图中的点。若将第一个参数改成线段对象，则会 造出一个包含 5 条线段的集合，指令可改成 sequence[segment[(i,i),(i,i+1)],i,1,5]， 如上页图中的线段。

在本文中，第一个参数是点的代数定义式，其中 x 坐标为 rcos(α+(i-1)360°/n)，

y

坐标为 r sin(α+(i-1)360°/n)。将这二个式子用小括号包起来，则形成一个点。再加上原

点 O，表示以 O 为圆心，r 为半径，α 为起始的有向角度，依序每隔 360°/n，在这个没显 示出来的圆上，所画出的 n 个顶点。

4.3 切割线顶点 A＝Element[Pset,1]，表示 Pset 集合对象中的第一个元素。Element 是撷取

sequence 集合对象中某个元素的指令。

4.4 正多边形的各边对象命名为 slideset，定义如下：

Sequence[Segment[Element[Pset,Mod[i-1,n]+1],Element[Pset,Mod[i,n]+1]],i,1,n]， 表示依 Pset 集合对象中的点元素顺序，所依序画出正多边形的 n 个边。其中 Mod[i,n]， 表示 i 除以 n 之后的余数。这样可以让我回抓一整圈的顶点，以便造出所有的边。 4.5 基于切割顶点 A 的切割线，命名为 Crosslide 的对象，定义如下：

Sequence[Segment[A, Element[Pset,i+2]],i,1,n-3]，表示以 A 为顶点，依序画出 n-3 条 从

A 点到除了自己及其相邻顶点之外的各顶点联机段之切割线集合对象。

五、动态说明文字

由于参用到 n 数值滑杆，所以此段说明文字，也属于应变对象。

其中的 + 号，是代表将前后字符串，串在一起的连接指令。呈现如下：

\以 A 为顶点，连到除自己及相邻两顶点以外的\ +(n - 3)+ \个顶点\

+ \将此多边形切成\ +(n - 2)+ \个三角形\ + \可得此正\

+ n + \边形内角和为 180°×(n – 2)=\ +180+ \×\ +(n - 2)+ \ +(180(n - 2))+ \ ° \

六、对象属性

以能明显观察为准则，调整各对象属性，如显示与否、颜色、大小等，以利观察与操作。

44 GeoGebra 使用入门

5. 自订工具列管理

当使用者设计了一个对象时，一般来说，可将此对象的成份，分析归类成自 变对象及应变对象，以及一些中间过程参用到的辅助对象，这些辅助对象其本质 也大概都是应变对象。若此时使用者认为设计出的对象具有常用的价值，就可以 将他包装成一个新工具。尔后再次使用到时，就会非常方便，不用再重新设计。 本单元以绘制等腰直角三角形为例说明之。

首先还是依照一般方式将等腰直 角三角形先造出来，其代数定义式程序 如下：

1. A=(2,3)

2. k=5

3. B=A+(k,0)

4. C=B+(0,k)

5. poly_1=Polygon[A,B,C]

图(一)

此时会在几何区造出一个等腰直角三角形，也会同时造出此三角形三边所成 的三条线段 a、b、c。仔细分析此三角形，可看出真正的自变对象为点 A、数值 k。 而最后造出的对象为三角形 poly_1，其余中间过程的应变对象有点 B、C，三角形 的三边 a、b、c 也可视为是中间过程的应变对象。接下来可点选菜单列的「工 具」，「新工具」后，出现新工具编辑窗口如图(一)。

GeoGebra 使用入门 45 此时需要设定三个部分，说明如下：

1. 输出对象：在下拉式选单中选取「三 角

形 poly1:多边形A,B,C」

2. 点选输入对象，会自动出现此三角

形所对应的输入对象，即其自变物 件，如图(二)，此时选取点Ａ，并 将之往上移，以控制新工具自变物 件的输入顺序。

图(二)

3. 在名称与图标的卷标页中，须设定

工具名称，指令名称，与工具说明 三项。其中工具名称为显示在功能 表列上的文字，指令名称则为代数 式的定义字符，工具说明则与工具 名称一起出现在菜单列上，是一 个提示使用者如何操作的功能说

明，如图(三)。

图(三)

以上三部份皆设定完成后，按下完成，则在功能按钮列的最右一格会出现此 等腰三角形的功能钮。使用者可以按此方式在一个档案中，造出多个工具。之后 也可以在菜单列中的「工具」、「工具管理」中编辑各自订工具的名称指令与 说明。

接下来便可以一般几何方式，或代数 方式直接运用此工具。例如输入 DDR=S1[G,5]，则会造出一名为 DDR，且以点 G 为左下角顶点，腰长为 5 的等腰直 角三角形。

注意：以此方法所造出的工具，只能随原档案一同存盘，若想在别的 GeoGebra 档案中使用此工具，必须将原檔另存成附檔名为 ggt 的档案，然后在想参用此工 具的 ggb 档中开启此 ggt 档，这个开档动作并不会影响此 ggb 档的内容，但是会 在功能按钮中出现汇入的新工具按钮。

46 GeoGebra 使用入门

各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 点选「旋转」，以鼠标点出已知 对A'= rotate[A,φ,B] 象如点、线、多边形等，再 点以 B 为旋转中心，将 A 旋转角度 选一旋转中心，并输入角度 建φ a'= rotate[a,φ,B] 旋转 立旋转后的对象。 以 B 为旋转中心，将线段 a 旋转角度 φ poly'= rotate[poly,φ,B] 以 B 为旋转中心，将多边形 poly 旋转角 度 φ

辅助说明

以几何操作方式建立旋转对象，需先选择工具按钮中的「旋转」按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其旋转中 心点，再输入一旋转角度后，建立出该已知点、直线或多边形之旋转后的图形。 相关的代数式输入为，旋转后对象名称 A'= rotate [原对象A,旋转角度φ,旋转中 心点 B ]，可建立将原对象以旋转中心点 B 为基准，旋转φ角度后，所建立之新的 旋转后对象。注意其旋转角度是以逆时针有向角度量的。

32 GeoGebra 使用入门

8. 数值滑杆、文字

GeoGebra 使用入门 33 范例图

各编辑区方法列表

方法 对象 几何建立 代数建立范例 点选「数值滑杆」，设 定无法由代数式建立。 数值滑杆 起始值、终值及增 量后建立。 点选「插入文字」，输 入点选「插入文字」后会出现一文字编辑视 窗，文字后建立。 文字 在其中可运用各式的代数对象，及以 类程序语法组成一文字字符串，并可选择是 否搭配 Latex 表示式来呈现。有关 Latex 表示式可参阅教学网页。网址为 http://edt1023.sayya.org/tex/latex123/latex123.html

34 GeoGebra 使用入门 输入 \第一句，这是静态文字\ \第二句，参用 A 点坐标 = \ + A 可能的输出结果 这是静态文字 A 点坐标= (3.05, 2.54 ) \第三句，参用线段 a = \ + a + \ 线段 a = 5.87 cm cm \ 1. 若全句皆没有双引号，则全句以纯字符串视之。 2. 与双引号一起运用时，可加入如 if[expression,\文字A\文字B\，

这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接以加号串接之。 3. 在文字输入窗口中，要使用 Latex 表示式，要点选 Latex 勾选框。 GeoGebra 使用入门 35 辅助说明

以几何操作方式建立数值滑杆对象，需先选择工具按钮中的「数值滑杆」按 钮，然后在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一数值滑杆设定窗口，其 中要填入者，有起始值、终值、增量及数值角度选择钮。其余属性如大小颜色等， 可随个人喜好设定，填妥后按确定，即建立一数值滑杆对象。此对象目前无法由 代数式建立。注意数值滑杆内之起始值、终值、增量等，皆无法以变量设定，须 以明确的数字设定之。这通常是给使用者控制各项数值大小的工具，以便能做出 各种动态呈现的图形。

以几何操作方式建立文字对象，需先选择工具按钮中的「文字」按钮，然后 在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一文字编辑窗口，在其中可运用各 式的代数式对象，及类程序语法组成一文字字符串，并可选择是否搭配 Latex 表示 式来呈现(有关 Latex 表示式请参阅相关教学网页)。注意，若全句皆没有双引号， 则视为纯字符串。若与双引号一起运用时，可加入如 if[expression,\文字A\

\文字B\，这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接须以加号串接。 在文字输入窗口中，要使用 Latex 表示式，记得一定要点选 Latex 勾选框，系统 才会将字符串转译成正确的数学式，以增加可读性，这对阅读者来说，是一个很方 便的界面。

36 GeoGebra 使用入门

9. 对象的属性设定

对于任何一个对象，都有其相对应的属性。这些属性大致包含有以下四类： 1. 一般：

包含对象名称、对象的代数式定义、显示与否、名称或数值的显示方式、 是否设定为辅助对象等。其中名称、代数式定义这二项在造出对象时，大概 就已经被使用者所指定好。例如圆 c=circle(A,2)，其中 c 就是这个圆的名称， circle(A,2)是这个圆 c 的定义。其余关于显示与否、名称或数值的显示方式、 是否设定为辅助对象等，则可随使用者设定勾选。(如下图一)

2. 颜色：顾名思义，此即为对象颜色的设定。(如下图二) 3. 样式：包含线宽等级及填色的比例设定。(如下图三) 4. 进阶：

通常是伴随一个布尔变量或布尔表达式，去设定此对象要显示与否的条 件，若此条件被设定，则在前面一般设定中显示对象与否的勾选框便自动失 效。另外有随着不同对象会出现的不同属性，如代数式显示方式、数值滑杆 设定、文字字号等，使用者可逐一实验。(如下图四)

图一

图二

图三

图四

GeoGebra 使用入门 37 进阶操作范例

1. 直线方程式、函数

有些对象，无法由几何编辑接口建立，这时以代数式直接在 GeoGebra 下方输 入列中建立，是一个很方便的方法。例如指定系数的直线方程式、或一些自订函 数，如 L:2x-5y=-2，其中 L 为此直线方程式的名称，注意以冒号区隔式子。其中 系数与代数项 x 或 y 之间，须填入一空格，以代表不同的对象相乘，若没有以空 格隔开，系统会将其错认为另一代数变量对象。

函数的建立，通常遵循一般常用的表示法，例 如可在代数输入列中键入 f(x)=x^2+3x-1，其为一个二次拋物线函数，建立完成后，系统便直接将此函数在 几何区中绘出。其中「^」为次方的连接符号，例如在本例中，x^2就代表 x 的 2 次 方。

38 GeoGebra 使用入门 2. 动态文字处理、代数式定义处理：if 语法的应用

范例：四边形的种类

在文字的呈现处理中，可以搭配一些控制语法如 if 叙述，来强化其动态显示 的效果，例如在上例中，除了点 A 为唯一自由点以外，其余三个顶点分别以 z 数 值滑杆来决定四边形的长宽，用 α 角度数值滑杆来决定 A 点倾斜的角度。其定义 语法如下

B=If[z < 3.5, (x(A) + z cos(α), y(A) + z sin(α)), (x(A) + 3.5 cos(α), y(A) + 3.5 sin(α))]

表示点 B 位置为距 A 点 z 单位，且倾斜α角度的上方位置。

当 z 值小于 3.5 时，AB 长度随 z 值大小改变，若 z 值大于 3.5，则 AB 长度停留在

3.5，不随 z 值大小而改变。

C=If[z < 6, (x(B) + z, y(B)), (x(B) + 6, y(B))]

表示点 C 位置为距 B 点 z 单位的右方位置。

当 z 值小于 6 时，BC 长度随 z 值大小改变，若 z 值大于 6，则 AB 长度停留在 6， 不随 z 值大小而改变。

D=(x(A) + z, y(A))

表示 D 点在点 A 的右边 z 单位远。

GeoGebra 使用入门 39 这样的设定，可以让二个数值滑杆就变化出正方形、长方形、菱形、梯形、

平行四边形等不同的四边形类型。而在文字说明的呈现上，若搭配 if[布尔值,真 值的字符串,伪值时的字符串] 的语法，可显示出相对应的四边形类型名称。其中上图 红框中的语法为

\目前这个四边形是一个「 \ + (If[α

? 90°, If[z < 3.5, \正四边形(即正方形)

\ If[z > 6, \梯形\ \矩形(即长方形)\ If[z < 3.5, \菱形\ If[z < 6, \ 平行四边形\ \梯形\ + \」\

如此便能造出动态的文字呈现效果。

40 GeoGebra 使用入门 3. 参数曲面 (Curve)

这个范例是另一个比较简单的连续参数曲面，在上图中，我们用了二个数值 滑杆 r、t，及一个角度数值滑杆θ、分别控制这个圆的半径，及画出多少角度的 弧，t 滑杆则是为了突显参数曲面的函数性格。即当作是 L 参数区面中的定义域的 角度值，以计算出相对应的点坐标对象值，在本例中， A=L(t) ，会随 t 值变化计 算出在圆上的一个点坐标。其中红色的参数区面(圆弧)定义为：

L=Curve[r cos(t), r sin(t), t, 0, θ]

表示 L 为由半径为 r，且角度为 t 的极坐标点 (r,t) 所构成的无限点集合。 其中 t 是由 0 到 θ 的动态变量值。

此图形可随着不同的终值 θ ( 0 < θ < 2 pi ) 之变化，绘出不同大小的圆弧。

GeoGebra 使用入门 41

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