钢筋混凝土原理和分析 第三版课后答案

思考与练习

1.基本力学性能

1-1

混凝土凝固后承受外力作用时，由于粗骨料和水泥砂浆的体积比、形状、排列的随机性，弹性模量值不同，界面接触条件各异等原因，即使作用的应力完全均匀，混凝土内也将产生不均匀的空间微观应力场。在应力的长期作用下，水泥砂浆和粗骨料的徐变差使混凝土内部发生应力重分布，粗骨料将承受更大的压应力。

在水泥的水化作用进行时，水泥浆失水收缩变形远大于粗骨料，此收缩变形差使粗骨料受压，砂浆受拉，和其它应力分布。这些应力场在截面上的合力为零，但局部应力可能很大，以至在骨料界面产生微裂缝。

粗骨料和水泥砂浆的热工性能（如线膨胀系数）的差别，使得当混凝土中水泥产生水化热或环境温度变化时，两者的温度变形差受到相互约束而形成温度应力场。由于混凝土是热惰性材料，温度梯度大而加重了温度应力。环境温度和湿度的变化，在混凝土内部形成变化的不均匀的温度场和湿度场，影响水泥水化作用的速度和水分的散发速度，产生相应的应力场和变形场，促使内部微裂缝的发展，甚至形成表面宏观裂缝。混凝土在应力的持续作用下，因水泥凝胶体的粘性流动和内部微裂缝的开展而产生的徐变与时俱增，使混凝土的变形加大，长期强度降低。

另外，混凝土内部有不可避免的初始气孔和缝隙，其尖端附近因收缩、温湿度变化、徐变或应力作用都会形成局部应力集中区，其应力分布更复杂，应力值更高。

1-2

解：若要获得受压应力-应变全曲线的下降段，试验装置的总线刚度应超过试件下降段的最大线刚度。

采用式（1-6）的分段曲线方程，则下降段的方程为：

y??x?x? ，其中 ，x?1 y?20.8(x?1)?xfc?pd?dyfc?? d?dx?pdy的最大值： dx混凝土的切线模量Ect?考虑切线模量的最大值，即

dy0.8(x?1)2?x?x(1.6x?0.6)?0.8(x2?1)?? , x?1 dx[0.8(x?1)2?x]2[0.8(x?1)2?x]2

- 1 -

d2y1.6(x2?1)(1.6x?0.6)1.6x令2?0，即：??0 dx[0.8(x?1)2?x]3[0.8(x?1)2?x]2?1.6(x2?1)(1.6x?0.6)?1.6x[0.8(x?1)2?x]

整理得：0.8x3?2.4x?0.6?0 , x?1 ；解得：x?1.59

dy?0.8?(1.592?1)?dy????0.35 ???22?dx?maxdxx?1.59[0.8?(1.59?1)?1.59]fc26?d???dy??Ect,max?????0.35??5687.5N/mm2 ????31.6?10?d??max?dx?max?p试件下降段的最大线刚度为：

22A2100mmEct,max??5687.5N/mm??189.58kN/mm >150kN/mm L300mm所以试件下降段最大线刚度超过装置的总线刚度，因而不能获得受压应力-应变全曲线（下降段）。

1-3

解：计算并比较混凝土受压应力-应变全曲线的以下几种模型：(x??? , y?) ?pfc?y?2x?x2 ,0?x?1?① Hognestad：? （取xu?2） ?x?1?x?1?y?1?0.15?x?1? ,?u???y?2x?x2 ,0?x?1② Rüsch：?

x?1?y?1 ,?y?2x?x2 ,0?x?1?③ Kent-Park：? （取?0.5?2.5?p） 20.67?2fc?3?=?10 ,x?1?0.5fc?6.89?④ Sahlin：y?x?e1?x ⑤ Young：y?sin(?22x⑥ Desayi：y?

1?x2x)

- 2 -

?y?2xx?, 20?⑦ 式（1-6）：?xy?, 2?6(0.)1x??x?x?1?x1?

令x?0 , 0.5 , 1 … 5，计算y，结果如表1-3。

表1-3 几种混凝土受压应力-应变全曲线的计算结果

y x ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.75 0.75 0.75 0.82 0.71 0.80 0.75 1 1 1 1 1 1 1 1 1.5 0.93 1 0.83 0.91 0.71 0.92 0.91 2 0.85 1 0.67 0.74 0 0.80 0.77 2.5 0.78 1 0.50 0.56 0.69 0.65 3 0.70 1 0.33 0.41 0.60 0.56 3.5 0.63 1 0.20 0.29 0.53 0.48 4 0.55 1 0.20 0.20 0.47 0.43 4.5 0.48 1 0.20 0.14 0.42 0.38 5 0.40 1 0.20 0.09 0.38 0.34 将7种曲线在同一坐标图内表示出来，进行比较，见图1-3。

图1-3 几种混凝土受压应力-应变全曲线

1-4

解：棱柱体抗压强度fc采用不同的计算式计算结果如下：

（1）fc?(0.85?（2）fc?fcu30)fcu?(0.85?)?30?20.267N/mm2 172172130?fcu130?30fcu??30?20.426N/mm2

145?3fcu145?3?30（3）fc?0.84fcu?1.62?0.84?30?1.62?23.58N/mm2

- 3 -

峰值应变?p采用本书建议计算式，取fc?20.267N/mm2：

?p?(700?172fc)?10?6?(700?172?20.267)?10?6?1.474?10?3

受压应力-应变曲线关系采用分段式：

?y??ax?(3?2?a)x2?(?a?2)x3?x?y???d(x?1)2?x? 0?x?1 x?1

对于C30混凝土，?p?1.474?10?3，取?a?2.2，?d?0.4

?y?2.2x?1.4x2?0.2x3?即：?xy??0.4(x?1)2?x? 0?x?1 x?1

初始弹性模量E0??a?fc?p??2.2?20.267?3.025?104N/mm2 ?31.474?10峰值割线模量Ep?fc?p20.26742 ?1.375?10N/mm?31.474?102/3轴心抗拉强度ft?0.26fcu?0.26?302/3?2.510N/mm2

?y?1.2x?0.2x6?受拉应力-应变曲线为：?xy???t(x?1)1.7?x? x?1 x?1 ，其中x???，y?。

ft?t,p?t?0.312ft2?0.312?2.5102?1.966

?y?1.2x?0.2x6?即：?xy??1.966(x?1)1.7?x? x?1 x?1

0.57抗剪强度?p?0.39fcu?0.39?300.57?2.710N/mm2

剪应力-剪应变曲线为：y?1.9x?1.7x3?0.8x4，其中x???，y?。 ?p?p?P106??6720N/mm2 峰值割线剪切模量Gp??p83.56?176.82.710初始切线剪切模量G0?1.9Gp?1.9?6720?12768N/mm2

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2.主要因素的影响

2-1

解：①推导式2-3：

NeNe1?e0?h?fc132根据要求，弹性状态下，根据：bh，得： bh12fcbhNe?6e1?(0)

h②推导式2-4：

NeNe1?e0?hbh1bh32x?h12?eNeNe1xe?e0?h弹性状态下，根据：bh1bh32，得：

12xeh?0.5? h12e02-2

解：①偏心受压：根据研究得出的结论，偏心受压试验中，应力-应变全曲线的

形状与试件偏心距或应变梯度无关，即偏心受压与轴心受压可采用相同的曲线方

程：

x≤1时：y??ax?(3?2?a)x2?(?a?2)x3； x≥1时：y?x；

?d(x?1)2?x而根据我国的设计规范，采用?a?2,?d?0.6。据此得到的应力-应变全曲线如图2-2a所示：

- 5 -

设计规范采用的方程xy000.20.36000.40.64000.60.84000.80.9600111.20.98041.40.93581.60.88111.80.824220.7692?/fc1.210.80.60.40.2000.511.522.5?/?p 图2-2a 偏心受压应力-应变全曲线

同时，建议采用混凝土偏心抗压强度（fc,e）和相应的峰值应变（?p,e）随偏心距的（e0）而变化的简化计算式：

fc,efc??p,e0.2?1.2? ?p1?(6e0/h)fc,efc?根据题设，此时，

?p,e0.20.2?1.2??1.2??1.1286 ?p1?(6e0/h)1?6?0.3?p,e2?p,e??1.1286,x?,??2?p,e,x??2.2572?p?p?p

S????ax?(3?2?a)x2?(?a?2)x3???dx??10 ??(2x?x2)dx??012.2572112.2572xdx?d(x?1)2?x

②偏心受拉：混凝土的偏心受拉仍采用轴心受拉的计算公式：

xdx?1.75810.6(x?1)2?xx≤1时：y=1.2x-0.2x6 x≥1时，y=

x2，其中。 ??0.312ftt1.7?t(x?1)?x此处假设采用C30混凝土，则ft?1.43MPa，得：

?t?0.312ft2?0.312?1.432?0.638

据此得到的应力-应变全曲线如图2-2b所示：

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设计规范采用的方程xy000.20.24000.40.47920.60.71070.80.9076111.20.96671.40.91241.60.85671.80.804820.7582?/ft1.210.80.60.40.2000.511.522.5?/?t,p 图2-2b 偏心受拉应力-应变全曲线

偏心受拉的抗拉强度和峰值应变取为

ft,eft?1.1??0.10.3，t,e?1.3?

1?(6e0/h)?t1?(6e0/h)根据题设，

?t,e0.30.3?1.3??1.3??1.1929 ?t1?(6e0/h)1?6?0.3?t,e2???1.1929,x?,??2?t,e,x?t,e?2.3858?t,p?t,p?t,p

S??2.3858016?y(x)dx???1.2x?0.2x?dx??10?2.385812.3858xdx1.7?t(x?1)?x

6? ???1.2x?0.2x?dx??10?xdx?1.73331.70.638(x?1)?x2-3

解：混凝土的弹性模量值随龄期（t/天）的增长变化，根据模式规范CEB-FIP MC90，采用了简单的计算式：Ec(t)?Ec?t，则

Ec(t)=?t。而?t?es(1?Ec28/t)，

式中，普通水泥和快硬水泥取为0.25，快硬高强水泥取为0.20。 s取决于水泥种类，

此处假定取普通水泥，则s?0.25；且为C30混凝土，则fc?14.3MPa，

Ec?3?104MPa。

0.25(1?E(t)故：c?eEc28)t

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???Ec(t)?0.4fc ,当28?t?90时；Ec?t0.6fc ,当t?90时；Ec?t???Ec(t)?作图如下图2-3：

t2890180210?Ec(t)/Ec10.000572Ec?t?/Ec1.23060.0004651.51.25830.00068211.26200.50050100150200250t?0.00080.00070.00060.00050.00040.00030.00020.00010050100150200t 图2-3 应变-时间变化曲线

3.多种结构混凝土

3-1

解：

表3-1 混凝土应力-应变曲线参数值 混凝土种类 普通混凝土 C20 C40 高强混凝土C60 轻骨料混凝土CL20 加气混凝土 钢纤维混凝土 fc N/mm2 20 40 60 20 3 25 εp ×10-3 1.469 1.788 2.032 2.045 2.0 3.0 αa 2.0 1.7 1.5 1.7 1.1 2.5 αd 0.6 2.0 3.0 4.0 6.0 0.2 Ω1 0.6667 0.6417 0.6250 0.6417 0.5917 0.7083 Ω2/2 0.7779 0.5616 0.4840 0.4312 0.3621 0.9059 (Ω1+Ω2)/3 0.7408 0.5882 0.5310 0.5014 0.4386 0.8400 （1）普通混凝土以及高强混凝土的受压峰值应变

?p?(700?172fc)?10?6；

- 8 -

轻质混凝土的峰值应变不仅取决于其强度等级或抗压强度，还与骨料的种类和性质有关，变化幅度较大，建议的经验公式为

?p,l?(1.637?0.0204fc,l)?10?3

将上述?p未知的混凝土强度值分别代入上述两类计算公式进行计算得： 普通混凝土C20：?p?(700?17220)?10?6?1.469?10?3 普通混凝土C40：?p?(700?17240)?10?6?1.788?10?3 高强混凝土C60：?p?(700?17260)?10?6?2.032?10?3

轻骨料混凝土CL20：?p,l?(1.637?0.0204?20)?10?3?2.045?10?3 计算结果如表3-1中所示。 （2）应力-应变全曲线（其中：x?全曲线均可采用分段式表达：

?fc；y??）。表中混凝土的应力-应变?px≤1时：y??ax?(3?2?a)x2?(?a?2)x3； x≥1时：y?x；

?d(x?1)2?x而根据题目要求：

11 23??1????x?(3?2?)x?(??2)xdx???aaa?0?a12213??x?2????dx 1?(x?1)2?x?d?1）普通混凝土C20

x≤1时：y?2x?x2 x≥1时：y??1=0.6667 ?2=1.5558

x 20.6(x?1)?x?2/2=0.7779

(?1??2)/3=0.7408

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图3-1a 普通C20混凝土应力-应变全曲线

2）普通混凝土C40

x≤1时：y?1.7x?0.4x2?0.3x3

x≥1时：y?x 22(x?1)?x

图3-1b 普通C40混凝土应力-应变全曲线

?1=0.6414 ?2=1.1231

?2/2=0.5616

(?1??2)/3=0.5882

3）高强混凝土C60

x≤1时：y?1.5x?0.5x3

- 10 -

x≥1时：y?x 23(x?1)?x

图3-1c 高强混凝土C60应力-应变全曲线

?1=0.625 ?2=0.9680

?2/2=0.4840

(?1??2)/3=0.5310

4）轻骨料混凝土CL20

x≤1时：y?1.7x?0.4x2?0.3x3 x≥1时：y?x 24(x?1)?x图3-1d 轻骨料混凝土CL20应力-应变全曲线

?1=0.6417 ?2=0.8624

?2/2=0.4312

- 11 -

(?1??2)/3=0.5014

5）加气混凝土

x≤1时：y?1.1x?0.8x2?0.9x3 x≥1时：y?x 26(x?1)?x

图3-1e 加气混凝土应力-应变全曲线

?1=0.5917 ?2=0.7241

?2/2=0.3621

(?1??2)/3=0.4386

6）钢纤维混凝土

x≤1时：y?2.5x?2x2?0.5x3 x≥1时：y??1=0.7083 ?2=1.8117

x 20.2(x?1)?x?2/2=0.9059

(?1??2)/3=0.8400

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图3-1f 钢纤维混凝土应力-应变全曲线

3-2

解：依题意可知，应采用各混凝土在x≥1时的应力-应变曲线方程进行计算：

（1）普通C20混凝土，x≥1时：y?x； 20.6(x?1)?x??0.85fc时，y?0.85，解得x?1.7090，

?d1??px?1.469?10?3?1.7090?2.5105?10?3 ??0.5fc时，y?0.5，解得x?3.1721，

?d2??px?1.469?10?3?3.1721?4.6598?10?3

（2）普通C40混凝土，x≥1时：y?x； 22(x?1)?x??0.85fc时，y?0.85，解得x?1.3444，

?d1??px?1.788?10?3?1.3444?2.4038?10?3

??0.5fc时，y?0.5，解得x?2，?d2??px?1.788?10?3?2?3.576?10?3

（3）高强C60混凝土，x≥1时：y?x； 23(x?1)?x??0.85fc时，y?0.85，解得x?1.2737，

?d1??px?2.032?10?3?1.2737?2.5882?10?3

- 13 -

??0.5fc时，y?0.5，解得x?1.7676，

?d2??px?2.032?10?3?1.7676?3.5917?10?3

（4）轻骨料混凝土CL20，x≥1时：y?x；

4(x?1)2?x??0.85fc时，y?0.85，解得x?1.2333，

?d1??px?2.045?10?3?1.2333?2.5221?10?3 ??0.5fc时，y?0.5，解得x?1.6404，

?d2??px?2.045?10?3?1.6404?3.3546?10?3

（5）加气混凝土，x≥1时：y?x；

6(x?1)2?x??0.85fc时，y?0.85，解得x?1.1868，

?d1??px?2?10?3?1.1868?2.3736?10?3 ??0.5fc时，y?0.5，解得x?1.5，

?d2??px?2?10?3?1.5?3?10?3

（6）钢纤维混凝土，x≥1时：y?x； 20.2(x?1)?x??0.85fc时，y?0.85，解得x?2.4790，

?d1??px?3?10?3?2.4790?7.4370?10?3 ??0.5fc时，y?0.5，解得x?6.8541，

?d2??px?3?10?3?6.8541?2.0562?10?2

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4.多轴强度和本构关系

4-1

解：由破坏准则：

f?f?f?0fc??oct?123

3?0fc??octcos??(f1?f2)2?(f2?f3)2?(f3?f1)2 ?32f1?f2?f3

32?oct其中，主应力f1、f2和f3分别对应于?1、?2和?3。

（1）将应力状态?1＞?2=?3（拉子午线）代入破坏准则计算式，得：

cos?=1，即?≡0°

（2）将应力状态?1=?2＞?3（压子午线）代入破坏准则计算式，得：

cos?=0.5，即?≡60°

（3）将应力状态?2=（?1+?3）/2或?1-?2=?2-?3（剪子午线）代入破坏准则计算式，得：

cos?=

3，即?≡30° 24-2

解：Ottosen准则的统一表达式为：?0?11?a2??0??0 , (1) 3b6b2b1??1kcos[cos(k2cos3?)] ,??30?1??3其中，???

?kcos[??1cos?1(?kcos3?)] ,??30?12?33?将参数值a?1.2759，b?3.1962，k1?11.7365，k2?0.9801代入以上表达式，

- 15 -

再由各试件主应力计算出?0和?，由上式得八面体强度?0的理论值，可与由主应力试验值计算出的八面体强度?0的试验值比较。

过－王准则的表达式为：?0?a(b??0d) , (2) c??0其中，c?ct(cos1.5?)1.5?cc(sin1.5?)2

将参数值a?6.9638，b?0.09，d?0.9297，ct?12.2445，cc?7.3319代入以上表达式，再由各试件主应力计算出?0和?，由上式得八面体强度?0的理论值，可与由主应力试验值计算出的八面体强度?0的试验值比较。

①试件A

?oct? ?(f1?f2)2?(f2?f3)2?(f3?f1)23(?40.5?40.5)?(?40.5?162)?(?162?40.5)?57.28N/mm23222

?0??octfc?57.28=2.338 24.5?oct?f1?f2?f3?40.5?40.5?162???81N/mm2 33?0??octfc??81=?3.306 24.5由于f1?f2?f3，由题4-1可知，???3用Ottosen准则计算多轴强度理论值如下：

?1??11.7365?cos(??cos?10.9801)?6.5318

33由式（1）可得，八面体强度理论值为：

?0?116.53181.2759 ???2.338??2.3382??2.937，比试验值偏小。

9.588663.19626.3924用过－王准则计算多轴强度理论值如下：

??c?12.2445?(cos1.5?)1.5?7.3319?(sin1.5?)2?7.3319

33由式（2）可得，八面体强度理论值为：

0.09?3.3060.9297?0?6.9638?()?2.409，比试验值偏大。

7.3319?3.306

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②试件B

?oct?(f1?f2)2?(f2?f3)2?(f3?f1)2312.41=0.573 21.66(15.2)2?(?15.2?30.4)2?(?30.4)2? 3 ?12.41N/mm2?0??octfc??oct?f1?f2?f3?15.2?30.4???15.2N/mm2 33?0??octfc??15.2=?0.702 21.66cos??2f1?f2?f315.2?30.4??0.8661

32?oct32?12.41???0.5235，cos3??2.963?10?4

用Ottosen准则计算多轴强度理论值如下：

1??11.7365?cos[?cos?1(0.9801?2.963?10?4)]?10.1647

3由式（1）可得，八面体强度理论值为：

?0?1110.16471.2759比试验值偏大。 ???0.573??0.5732??0.705，

9.588663.19626.3924用过－王准则计算多轴强度理论值如下：

c?12.2445?(cos1.5?0.5235)1.5?7.3319?(sin1.5?0.5235)2?10.9471 由式（2）可得，八面体强度理论值为：

0.09?0.7050.9297?0?6.9638?()?0.574，比试验值偏大。

10.9471?0.705③试件C

?oct? ?(f1?f2)2?(f2?f3)2?(f3?f1)23(1.26?2.8)?(?2.8?6.9)?(?6.9?1.26)?3.33N/mm23222

?0??octfc?3.33=0.175 19?oct?f1?f2?f31.26?2.8?6.9???2.81N/mm2 33?0?

?octfc??2.81=?0.148 19- 17 -

cos??2f1?f2?f32?1.26?2.8?6.9??0.8649

32?oct32?3.33???0.5257，cos3???6.44?10?3

用Ottosen准则计算多轴强度理论值如下：

?1??11.7365?cos[??cos?1(0.9801?6.44?10?3)]?10.1517

33由式（1）可得，八面体强度理论值为：

?0?1110.15171.2759比试验值偏小。 ???0.175??0.1752??0.129，

9.588663.19626.3924用过－王准则计算多轴强度理论值如下：

c?12.2445?(cos1.5?0.5257)1.5?7.3319?(sin1.5?0.5257)2?10.9352 由式（2）可得，八面体强度理论值为：

0.09?0.1480.9297?0?6.9638?()?0.196，比试验值偏大。

10.9352?0.1485.钢筋的力学性能

5-1

解：f0.2?0.85fb?0.85?1860?1581N/mm2

?s??sEs?0.002(?sf0.2)13.5?13.5s ?0.002()51.95?101581?s?

5-2

钢筋在拉力重复加卸载作用下的应力-应变曲线如图5-2a，在钢筋的屈服点Y以前卸载和再加载，应力-应变沿原直线OY运动，完全卸载后无残余应变。

钢筋进入屈服段（???y）后，卸载过程为一直线（RO’），且平行于初始加

- 18 -

载线（OY），完全卸载后（?=0）有残余应变?res。残余应变值随卸载时的应变?r而增大。再加载时，应变增量和应力成比例增加，顺原直线（O’R）上升，达到原卸载点R后，成为曲线RH’B’F’。与原拉伸曲线（YRHBF）相比RH’段的应力提高，但明显的屈服台消失；最大应力与原极限强度值相近，但相应的应变?b和极限延伸率?5都减小了。

图5-2a 重复加卸载的钢筋应力-应变曲线 图5-2b 拉压反复加载的钢筋应力-应变曲线

钢材变形进入塑性阶段后，在拉、压应力反复加卸作用、且应力逐次增加的试验情况下，得到的应力-应变曲线如图5-2b。钢材受拉进入屈服段后，从T1点卸载至应力为零，反向加载（压应力）为O1C1曲线，再从C1点卸载至压应力为零，得到C1O2线。第二次加载（拉）时，从O2开始，经过与第一次加载最大拉应力相等的点T1'，进而达到T2。再次卸载T2O3和反向加载O3C1'C2，反向卸载

C2O4等。

6.钢筋与混凝土的粘结

6-1

在光圆钢筋的拔出试验中，量测到的拉力或平均粘结应力与钢筋两端的滑移曲线，钢筋应力沿其埋长的分布和据以计算的粘结应力分布，以及钢筋滑移的分布等随荷载增长的变化如图6-1a。当试件开始受力后，加载端的粘着力很快被破坏，即可测得加载端钢筋和混凝土的相对滑移（S1）。此时钢筋只有靠近加载端的一部分受力（?s?0），粘结应力分布也限于这一段。从粘结应力（?）的峰点至加载端之间的钢筋段都发生相对滑移，其余部分仍为无滑移的粘结区。随着荷载的增大，钢筋的受力段逐渐加长，粘结应力（?）分布的峰点向自由端（F）漂移，滑移段随之扩大，加载端的滑移（S1）加快发展。

- 19 -

图6-1a 光圆钢筋的拔出试验结果

当荷载增大，达到?/?u?0.4?0.6后，钢筋的受力段和滑移段继续扩展，加载端的滑移明显成曲线增长，但自由端仍无滑移。粘结应力（?）不仅分布区段延伸，峰点加快向自由端漂移，其形状也由峰点右偏曲线转为左偏曲线。当

?/?u?0.8时，钢筋的自由端开始滑移，加载端的滑移发展更迅速。此时滑移

段已遍及钢筋全埋长，粘结应力的峰点很靠近自由端。加载端附近的粘结破坏严重，粘结应力已很小，钢筋的应力接近均匀。

当自由端的滑移为Sf?0.1?0.2mm时，试件的荷载达最大值Nu，即得钢筋的极限粘结强度。此后，钢筋的滑移（S1和Sf）急速增大，拉拔力由钢筋表面的摩阻力和残存的咬合力承担，周围混凝土受碾磨而破碎，阻抗力减小，形成

??S曲线的下降段。最终，钢筋从混凝土中被徐徐拔出，表面上带有少量磨碎

的混凝土粉渣。

图6-1b 变形钢筋的拔出试验结果

变形钢筋拔出试验中量测的粘结应力-滑移典型曲线，以及钢筋应力、粘结应力和滑移沿钢筋埋长的分布随荷载的变化过程如图6-1b。变形钢筋和光圆钢

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弯段内受弯裂缝的延伸停滞，弯剪段内的弯剪裂缝继续往斜上方延伸，倾斜角再减小；腹剪裂缝则同时向两个方向发展，向上延伸，倾斜角减小，直达荷载板下方；向下延伸，倾斜角渐增，至钢筋处垂直相交。最后荷载继续增大，裂缝的宽度继续扩展，但裂缝的形状和数量不再变化，最终出现横向裂缝和破坏区，斜裂缝的下端与钢筋相交处增宽，并出现沿纵筋上皮的水平撕脱裂缝 剪力和弯矩共同作用与轴心压力作用下的主拉应力控制混凝土拉控制下的破坏，由顶部受压斜向短柱相同，由混凝断破坏，由混凝土抗拉因素 区和斜裂缝骨料咬合土抗压强度控制 强度控制 等控制 13-2

2解：假设梁的极限弯曲破坏弯矩为Mu???bh0fy

此时的支座反力Vm?Mu/a

假设梁弯剪破坏的极限剪力为Vu，当Vu=Vm时，达到界限剪跨比 此时，Vm?Mu/a?Vu，而a??bh0

??bh02fy??fyMu??所以?b? Vuh0?0.08100???0.08100?????fbhh???0.3?f?c00????0.3??f??fcc?c???即将剪跨比?带入上式求出?b后，当???b时，梁发生弯剪破坏，当???b时则为弯曲破坏。

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13-3

图13-3 破坏形态与相应荷载位置示意图

过渡关系：如图13-3，荷载和支座之间的距离a与截面有效高度h0之比称为剪跨比?，当剪跨比?很小（??a/h0?1）时，梁的破坏形态为混凝土抗压强度控制的斜压型；当剪跨比增大，即荷载离支座距离变大（??a/h0?1?3）时，梁的破坏过渡为顶部受压区和斜裂缝骨料咬合等控制的剪压型，弯剪承载力（Vu/bh0）很快下降；当剪跨比继续增大（3???a/h0?5?6）时，梁的破坏再转为混凝土抗拉强度控制的斜拉型，极限剪力的变化已是很小；当剪跨比更大时，梁转为受弯控制破坏，剪跨段内不再破坏，理论临界剪跨比为?b?Mu。 Vuh014.抗扭承载力

14-1

解：如图14-1，此体积可以分为两个四棱锥和两个三棱柱体积，即：

图14-1 理想塑性材料极限应力分布图

- 47 -

b1b13bth?b2tV总?2V四棱锥?2V三棱柱=2b??t??2??t?(h?b)?

23226其中t为沙堆的高。 沙堆的倾斜率tan??t2t?， bb2即t?btan?，代入体积计算式中，化简后得： 2bb3btan?h?b2tan?3b2htan??b3tan?22 V总??612又因为构件塑性极限扭矩为沙堆体积的2倍，且取沙堆的倾斜率（tan?）为塑性极限剪应力（?max），则：

3b2htan??b3tan?3b2h?b31Tp?2V总???max?b2(3h?b)?max?Wtp?max

666b3?()1h。 所以Wtp?b2(3h?b)??pb2h，（式（14-6b）），其中?p?6614-2

①轴力N

有利影响：承受轴向压力或施加预压应力的构件，使扭矩产生的混凝土主拉应力和纵筋拉应力减小，因而提高了构件的开裂扭矩Tcr和极限扭矩Tu。 不利影响：承受轴向拉力的构件，原理同上，其开裂扭矩和极限扭矩必然降低。

②弯矩M

有利影响：承受扭矩作用的钢筋混凝土构件，纵筋的位置不论在截面上、下或侧面都是受拉。在弯矩（以正弯矩为例）附加作用下，会使弯压区钢筋（As'） 的拉应力减小，或为压应力。

不利影响：在弯矩（以正弯矩为例）附加作用下，原理同上，会使弯拉区钢筋（As）的拉应力增大。

③剪力V 不利影响：无论如何，剪力和扭矩的共同作用总是使一个侧面及其附近的剪应力和主拉应力增加，开裂扭矩Tcr降低。开裂后，构件两个相对侧面的斜裂缝开展程度不同，极限扭矩Tu降低。

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15.构件分析的一般方法

15-1

钢筋混凝土非线性有限元分析要比线弹性有限元分析复杂的多，主要是以下五个特殊问题以及其特殊的解决方法：

一、钢筋和混凝土的材性差异大，在划分结构的计算单元时，两种材料不能像线弹性分析那样无区别划分。因此，在实际应用中，有三种划分方式。第一，分离式模型，即将钢筋和混凝土划分为不同形状的单元；第二，均质整体式模型，即将钢筋均匀地平摊在单元内；第三，组合式单元模型，即分别考虑单元内钢筋和混凝土对刚度矩阵的贡献。

同时，单元的几何形状也有差异，主要是根据结构的外形及其受力条件，可取为杆状单元，三角形、矩形或任意四边形的平面单元或各种形状的立体单元。单元刚度矩阵需根据钢筋和混凝土各自的材料本构模型建立。

二、钢筋和混凝土在结构中的粘结状况是第二个特殊点。钢筋和混凝土在界面上不仅作用着沿钢筋轴向的粘结应力，也作用有垂直方向的正应力。试验中，开始受力较小，两者粘结完好，相邻处无相对滑移、应变值相等；随着受力的增大，粘结逐渐受损，两者将沿着轴向和垂直方向发证相对滑移。

因此，主要采用在钢筋和混凝土分离式单元的连结点处设置不占体积的联结单元，并引入沿钢筋轴向的粘结-滑移和沿垂直方向的应力-位移本构关系。联结单元模型主要有双弹簧单元，四边形单元，斜弹簧单元等。

三、混凝土的抗拉强度低，处于受拉状态时，很容易出现开裂，一旦开裂，势必影响周围的应力和变形状态、甚至结构的整体性能。

因此，主要采用“边界（独立）裂缝”和“弥散裂缝”来解决裂缝问题。 其中，边界（独立）裂缝是指假设裂缝沿单元的边界形成，此后将裂缝面作为自由面，在裂缝两侧分设节点，并将因混凝土开裂而释放的力作用在结点上。其单元划分和计算图形需随着裂缝的延伸不断变更，计算复杂。

弥散裂缝是指假设单元内出现的裂缝是由无数条平行而连续的微裂缝所组成即均匀地散步在单元范围内。并将单元作为正交异性材料，引入相应的本构关系后进行后续计算，但裂缝出现前后的计算单元不必重新划分。

四、线弹性材料结构的单元刚度举证中的各元素均为常值，有限元基本方程为一线性方程组。而钢筋混凝土有限元中，钢筋和混凝土屈服后均为非线性材料，因此在计算单元刚度矩阵或建立平衡方程时，必须考虑未知变形的影响。最终建立的方程组为非线性方程组：P=[K(U)]{u}。其中K（U）为结构总刚度矩阵，矩阵中各元素随着位移和应力的改变而变化。并且其求解只能采用数值方法。

五、在钢筋混凝土有限元分析中，会在上升段后出现下降段，下降段中切线刚度为负值，此时结构的集成刚度矩阵是负定的，不能直接用解上升段的方法来求解。因此需用发展来的位移控制法，虚拟弹簧法，强制迭代法，弧长法等方法来解答。

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15-2

解：增量式基本方程：{?F}?[K]{?u} (1)，其中，

[K]?[N]T[Ecs][N]为总刚度矩阵， [Ecs]?[Ec][Ac]?[Es][As]

按流程图15-4，将曲率?u分成若干个增量步；对于每一增量步，通过调整?0值使其满足式（1）；当每次迭代计算差值大于容差时，继续进行迭代。否则进入下一个曲率增量步。

16.抗震性能

16-1

解：①采用12-1得出的数据，

(1/?)?4.88?10?6梁的曲率延性比?(1/?)???0.9663

(1/?)y5.05?10?6②采用12-2得出的数据，

(1/?)?30梁的曲率延性比?(1/?)???5，

(1/?)y6跨中挠度延性比?????31.824??3.843 ?y8.2816-2

解：按照简化计算，一般采用塑性（铰）区等效长度的概念，假设在此范围内各

截面的曲率为一常数，其值由极限状态下的最大弯矩确定，若最大弯矩截面一侧的塑性等效长度为lp，则塑性转角为：

?p?2lp???2?30?L?24 3由于是简支梁，所以其端面的塑性区转角?p在极限状态下为0，而跨中的塑性区转角?p在极限状态下为24。

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