川师概率论第二章习题解答

习题二

1. 设随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?14,0?x?1,??F(x)??13,1?x?3,

?12,3?x?6,??x?6.?1,试求X的概率分布列及P(X?1)，P(X?1)，P(X?3)，P(X?3). 解: 随机变量X的分布列为 0 3 6 X 1 p 14 112 16 12 11； P(X?1)?P(0)?P(1)?F(1)?； 431112 P(X?3)?P(6)?； P(X?3)?P(3)?P(6)???.

2623 2. 设离散型随机变量X的分布函数为

x??1,?0,?a,?1?x?1,? F(x)??2?3?a,1?x?2,?a?b,x?2.?且P(X?2)?12，试求a，b和X的分布列. 解：由分布函数的定义可知 a?b?1

又因为P(X?2)?12，则

7?2?1P(X?2)?P(X?2)?P(X?2)?F(2)?F(2?0)?a?b???a???2a?b?

6?3?2故 a?16， b?56.

3. 设随机变量X的分布函数为

x?1,?0,?F(x)??lnx,1?x?e,

?1,x?e.?试求P(X?2.5)，P(0?X?3.5)，P(1.5?X?2.5). 解: 根据题意X为连续型随机变量，则

P(X?2.5)?F(2.5?0)?F(2.5)?ln5?ln2，

P(0?X?3.5)?F(3.5)?F(0?0)?F(3.5)?F(0)?1，

P(1.5?X?2.5)?F(2.5?0)?F(1.5?0)?F(2.5)?F(1.5)?ln5?ln3。

4. 若P(X?x1)?1??，P(X?x2)?1??，其中x1?x2，试求P(x1?X?x2). 解: P(x1?X?x2)?P(X?x2)?P(X?x1)

?P(X?x2)?[1?P(X?x1)] ?1???[1?(1??)]?1????.

5. 一只口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.从中任意取3个，以X表示取出的

则 P(X?1)?P(0)?3个球中的最大号码. (1)求X的分布列；

(2)写出X的分布函数，并作图.

解：(1)根据题意X表示取出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5， 故 其分布列为

1Ck2?1C1 pk?P(X?k)?，k?3,4,5. 3C5即

X p (2)由分布函数的定义可知 3 110 4 310 5 610 ?0,?1,??10F(x)??2?,?5??1,x?3,3?x?4,

4?x?5,x?5.作图略.

6. 有三个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球,以X表示所取到的白球数.

(1)试求X的概率分布列；

(2)取到的白球数不少于2个的概率为多少？

解：(1)根据题意X表示所取到的白球数，则其可能取值为0,1,2,3， 故 其分布列为

k3?k3?k3?kC31C1kC41C21C3kC2 pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3. ??3333C53C53C5即

X p (2)根据题意，所求概率为 0 16 1 12 2 310 1. 33 130 P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)? 7. 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布. 解：以X表示骰子点数出现6的次数，则X~B(4,) 故 其分布列为

k4?k161?k?1?? pk?P(X?k)?C4???1???6??6?即

，k?0,1,2,3,4.

X p 0 0.4823 1 0.3858 2 0.1157 3 0.0154 4 0.0008 8. 一批产品共有100件，其中10件是不合格品.根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求5件中不合格品数X的分布列；

(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？

解：(1)以X表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为0，1，2，4，5.

故 其分布列为

k5?kC10C90 pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3,4,5. 5C100 (2)根据题意，所求概率为

P(X?0)?1?P(X?0)?1?P(0)?0.4162.

9. 设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20次，试写出目标被击中次数X的分布列. 解：以X表示目标被击中的次数，则X~B(20,0.8) 故 其分布列为

k pk?P(X?k)?C20(0.8)k(0.2)20?k，k?0,1,2,?,20.

10. 某车间有5台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有10分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求

(1)同一时刻至少有3台车床用电的概率； (2)同一时刻至多有3台车床用电的概率.

解： 以X表示同一时刻用电车床的台数，则X~B(5,) 故 其分布列为

k5?k16?1? pk?P(X?k)?C???6?k5?5????6?，k?0,1,2,?,5.

(1)根据题意所求概率为

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.0355； (2)根据题意所求概率为

P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?4)?P(X?5)?0.9967.

11. 某优秀的射击手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率？

解：以X表示射击手命中环10的次数，则X~B(3,0.7) 故 其分布列为

k pk?P(X?k)?C3(0.7)k(0.3)3?k，k?0,1,2,3.

根据题意所求概率为

P(X?2)?1?P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?0.784. 12. 设随机变量X和Y均服从二项分布，即X~B(2,p)，Y~B(4,p).若

P(X?1)?89，试求P(Y?1)?

解：根据题意随机变量X~B(2,p)，则

kk P(X?k)?C2p(1?p)2?k，k?0,1,2.

又因为P(X?1)?89，则

P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C2p(1?p)?则 Y~B(4,).

0?2? 故 P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?C4???3?000282?p?. 9323?1?80???. ?3?814 13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1)每分钟恰有8次呼唤的概率； (2)每分钟呼唤次数大于8的概率.

解：以X表示交换台每分钟的呼唤次数，则X~P(4) 故 其分布列为

4k?4 pk?P(X?k)?e，k?0,1,2,?.

k! (1)根据题意所求概率为

48?4 p8?P(X?8)?e?0.0298；

8! (2)根据题意所求概率为

P(X?8)?1?P(X?8)?1?0.979?0.021.

14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品300件中次品数大于5的概率为多少？

解：以X表示300件产品中的次品数，则X~B(300,0.01)

用参数为??np?300?0.01?3的泊松分布作近似计算，得所求概率为

3k?3 P(X?5)?1?P(X?5)?1??e?1?0.916?10.083. 9k!k?05 15. 保险公司在一天内承保了5000份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内

若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率.

,0.0015) 解：以X表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则X~B(5000 用参数为??np?5000?0.0015?7.5的泊松分布作近似计算，得所求概率为

P(X?10)?10?Ck?0k5000(0.001)5(0.998)5k10?k7.5k?7.5 ??e?0.862.2k!k?010 16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的

概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？

,0.0001) 解：以X表示该汽车站每天出事故的车辆数，则X~B(1000 用参数为??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布作近似计算，得所求概率为

0.1k?0.1e?0. P(X?2)?1?P(X?2)?1??k!k?0 17. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，则失败的概率为q?1?p (0?p?1).

(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数X的分布列.

(2)将试验进行到第r次成功为止，求所需试验次数Y的分布列.（此分布被称为负二项分

2布）

解：(1)根据题意，以X表示试验第一次成功为止所需试验次数，则X服从参数为p的几何分布，其分布列为

pk?P(X?k)?p(1?p)k?1，k?1,2,??,(0?p?1)

(2)根据题意，以Y表示试验第r次成功为止所需试验次数，则Y的可能取值为r,r?1,?,r?m,?，（即在k次伯努利试验中，最后已此一定是成功，而前面k?1次中一

r?1r?1定有r?1次是成功的，由二项分布得其概率为Ck(1?p)k?r，再乘以最后一次成功的?1p概率p），则其分布列为

r?1rk?r pk?P(X?k)?Ck，k?r,r?1,??,(0?p?1). ?1p(1?p) 18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他首次投中时累计已投篮次数X的分布列，并计算X为偶数的概率.

解：根据题意，以X表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为

pk?P(X?k)?0.45(1?0.45)k?1，k?1,2,??

故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为

p??P(X?2k)??0.45(1?0.45)k?1k?1??2k?1?0.3548.

19. 设随机变量X的概率密度为

0?x?1,?x,?f(x)??2?x,1?x?2,

?0,其它.?试求P(X?1.5).

解：由概率密度函数的定义可知

P(X?1.5)??1.5??f(x)dx??xdx??(2?x)dx?0.875.

0111.5 20. 设随机变量X的概率密度为

??Acosx,f(x)???0,?试求：

(1)常数A; (2)X落在区间(0,x?,2 ?x?.2??4)内的概率.

?? 解：(1)由概率密度函数的正则性可知

1????f(x)dx???2??2Acosxdx?2A?A?1； 2 (2)根据题意，所求概率为

P(0?X??4)???40f(x)dx???4012cosxdx?. 24 21. 设随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?2 F(x)??Ax,0?x?1,

?1,x?1.?试求：

(1)常数A；

(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率； (3)X的概率密度.

解：(1)由分布函数的连续性可知

F(x)?limAx?A?F(1)?1??A?1； F(1?0)?lim??x?1x?12 (2)根据题意，所求概率为

P(0.3?X?0.7)?F(0.7)?F(0.3)?0.4； (3)由分布函数和密度函数的关系可知

?2x,0?x?1,f(x)?F?(x)??其它. ?0, 22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变

量，其概率密度为

4?x???1??,0?x?100, f(x)??0.05?100???0,其它.?试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？

解：设该油站的储油罐容量为a升(a?0)，以X表示该加油站每周油品销售量，则根据题意

x?a??? P(X?a)?0.05??f(x)dx??0.05?1?dx??1????0.05

aa100100????5 ?a?100?0.05?a?46.

23. 在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设该质点落在区间[0,a]中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求X的分布函数和概率密度. 解：设X的分布函数为F(x)，则

当x?0时，因为{X?x}是不可能事件，所以F(x)?P(X?x)?0； 当x?a时，因为{X?x}是必然事件，所以F(x)?P(X?x)?1；

当0?x?a时，有F(x)?P(X?x)?P(0?X?x)?kx，其中k为比例系数，由分布

1F(x)?ka?k?函数的右连续性可知，1?F(a)?F(a?0)?lim x?a?a??1005 则X的分布函数为

?0,x?0,?xF(x)??,0?x?a,

?a?1,x?a. 由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为

?1?,0?x?a,f(x)??a

??0,其它. 24. 设随机变量X服从区间(0,10)上的均匀分布，求对X进行4次独立观测中，至少有

3次的观测值大于5的概率？

解：根据题意，随机变量X~U(0,10)，则其概率密度函数为

?1?,0?x?10,f(x)??10

?其它.?0, 故 对X进行独立观测中观测值大于5的概率为

p?P(X?5)????5f(x)dx??0.1dx?0.5

510 以Y表示对X进行独立观测中观测值大于5的次数，则Y~B(4,p)

故 所求概率为

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C4(0.5)(0.5)?C4(0.5)?0.3125. 25. 设随机变量K~U(0,5)，求方程4x?4Kx?K?2?0无实根的概率和有实根的概率.

解：根据题意，随机变量K~U(0,5)，则其密度函数为

233144?1?,0?x?5,f(x)??5

??0,其它. 根据韦达定理可得，

当 ??16K?16K?32?0??1?K?2时，方程无实根，其概率为

P(?1?X?2)?22?2?1f(x)dx??0.2dx?0.6；

?12 当 ??16K?16K?32?0?K??1或K?2时，方程有实根，其概率为

P({X??1}?{X?2})?1?P(?1?X?2)?0.4.

26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为

?0.2e?0.2x,x?0, f(x)??

x?0.?0,某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他便离开，他每月要到银行5次，以Y表示他未等

到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率.

解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间X服从指数分布，则等候时间超过10分钟的概率为

p?P(X?10)????10f(x)dx??0.2e?0.2xdx?e?2

10?? 以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，则Y~B(5,e?2) 故 所求概率为

0 P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C5(e?2)0(1?e?2)5?0.516。7

27. 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命X（以小时计）都服从同一指数分布

1x?1?600?e,x?0, f(x)??600?0,x?0?试求：此仪器在最初使用的300小时内，至少有一个该种电子元件损坏的概率.

解：根据题意，以X表示该型号电子元件的寿命，则该型号电子元件寿命小于300小时的概率为

?1?60x00??f(x)dx??edx?1?e2 p?P(X?30)??0600?0.5 以Y表示该型号电子元件损坏数，则Y~B(3,1?e)

30030011 故 所求概率为

0 P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C3(1?e?0.5)0(e?0.5)3?0.310. 1 28. 设随机变量X~N(3,2)，求 (1)P(?1?X?5)； (2)P(X?5)；

(3) 确定a，使得P(X?a)?P(X?a)？

2X?3可得

?25?3???1?3 (1)P(?3?X?5)?P??U???P(?2?U?1)

2??2 ??(1)??(?2)??(1)??(2)?1?0.8185；

1?3???1?3 (2)P(X?1)?P??U???P(?2?U??1)

2??2 ??(?1)??(?2)??(2)??(1)?0.1359； (3)根据题意P(X?a)?P(X?a)，则

解：由正态分布标准化U?X???a?3?a?3?a?3?a?3???????P?U???P?U???1?P?U?? 2?2?2?2??????a?3??a?3??a?3?1 ????1????????? (??(0)?0.5)

222??????2 故 a?3。

29. 设随机变量X~N(4,32)，求 (1)P(?2?X?5)

P?U? (2)P(X?3)

(3)设a为参数，使得P(X?a)?0.9，问a最多取为多少？

X?4可得

?35?4?1???2?4? (1)P(?2?X?5)?P??U???P??2?U??

3?3??3? ??(13)??(?2)??(13)??(2)?1?0.6065；

3?4?1???3?4?7 (2)P(X?3)?1?P(X?3)?1?P??U???1?P???U???

3?3??3?3 ?1?[?(73)??(13)]?0.6392； (3)根据题意P(X?a)?0.9，则

a?4?a?4?a?4???? P?U???1?P?U???0.9?P?U???0.1

333???????a?4?即 ????0.1 (??(1.28)?0.8997，?(1.29)?0.9015)

?3?a?4??1.285?a?0.145 故 由标准正态分位数定义可得 3即 参数a最大取为0.145.

30. 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X(以m计)具有概率密度

解：由正态分布标准化U?X????1 f(x)?e402?(x?20)23200，???x???

试求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率.

解：根据题意，以X表示测量中随机产生的误差，由其密度函数的定义可知

X~N(20,402)，则误差绝对值超过30m的概率为

P(X?30)?1?P(X?30)?1?P(?30?X?30)

30?20???30?20?U???P(?1.25?U?0.25) 4040?? ??(0.25)??(?1.25)??(0.25)??(1.25)?1?0.4931, 以Y表示测量中误差绝对值超过30m的次数，则Y~B(3,4931)

?P? 故 所有概率为

0P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C3(1?0.4931)0(0.5069)3?0.8698.

31. 某单位招聘员工，共有10000人报考.假设考试成绩服从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，现按考试成绩从高分到低分一次录用2500人，试问被录用者中最低分数是多少？

解：根据题意，以X表示报考人的成绩分数，则X~N(?,?)

290????? ???359?90??? ?1????0.0359 ???10000??90???90??? ????1.8 ?（查表得） ??0.9641?????60?????60???1151 P(X?60)?P?U????0.115 1??????????1000060????1.2 ? （查表得） ?? 由?、?可得 ??72，??10，即X~N(72,102)， 设录用者中最低分数为a，则

2500?0.25?1?P(X?a)， P(X?a)?10000a?72???a?72? ?0.25?1?P?U???1????

10???10??a?72? ?????0.75，(??(0.67)?0.7486，?(0.68)?0.7517)

10??a?72?0.675?a?78.75 故

10 32. 已知离散型随机变量X的分布列为 0 3 X ?2 ?1 1 p 15 16 15 115 1130 2试求Y?X与Z?X的分布列. 故 P(X?90)?1?P(X?90)?1?P?U? 解：根据题意可得 X ?2 4 2 15 2?1 1 1 16 0 0 0 1 1 1 115 3 9 3 Y?X2 Z?X p 15 1130 故 合并整理得Y?X的分布列 Y p Z?X的分布列

Z p 0 1 4 9 15 0 730 1 15 2 1130 3 15 730 15 1130 33. 设随机变量X的概率密度为 ?0.5cos(0.5x),0?x??, f(x)??0,其它.?对X独立重复观察4次，Y表示观察值大于?3的次数，求Z?2Y?1分布列.

解：根据题意，由概率密度函数定义可知，对X进行独立观测中观测值大于?3的概率

为

p?P(X??3)?????3f(x)dx??0.5cos(0.5x)dx?0.5.

?3? 以Y表示对X进行4次独立观测中观测值大于?3的次数，则Y~B(4,0.5) 故 其分布列为

k pk?P(X?k)?C4(0.5)k(1?0.5)4?k，k?0,1,2,3,4.

即

Y 0 1 1 0.25 2 3 0.375 3 5 0.25 4 7 0.0625 Z?2Y?1 p 故

?1 0.0625 Z p ?1 0.0625 1 0.25 X3 0.375 5 0.25 7 0.0625 34. 设随机变量X~U(0,1)，试求以下随机变量函数的概率密度： (1)Y?1?X； (2)Y?e； (3)Y??2lnX； (4)Y?lnX.

解：根据题意，随机变量X~U(0,1)，则其密度函数为

?1,0?x?1, fX(x)??

0,其它.? (1)由y?1?x?x?h(y)?1?y，且有h?(y)??1?0，则Y?1?X的密度函数为

?fX(1?y)(1?y)?,0?1?y?1, fY(y)??0,其它.??1,0?y?1, ??

0,其它.?1Xx (2)由y?e?0?x?h(y)?lny，且有h?(y)??0，则Y?e的密度函数为

y??fX(lny)(lny)?,0?lny?1,fY(y)??

?其它.?0,?1y,1?y?e, ??

其它.?0,?0.5y?0.5y (3)由y??2lnx?0?x?h(y)?e，且有h?(y)??0.5e?0，则Y?eX的密度

函数为

?fX(e?0.5y)(e?0.5y)?,0?e?0.5y?1,fY(y)??

其它.?0,?0.5e?0.5y,y?0, ??

其它.?0, (4)由y?lnx?0，故当y?0时，有FY(y)?0，从而fY(y)?0

当y?0时，y??lnx?0?x?h(y)?e密度函数为

?y，且有h?(y)??e?y?0，则Y?lnX的

?fX(e?y)(e?y)?,0?e?y?1, fY(y)??

y?0.?0,?e?y,y?0, ??

y?0.?0, 35. 设随机变量X~N(0,1)，试求以下随机变量函数的概率密度： (1)Y?e； (2)Y?X；

(3)Y?2X?1.

解：(1)由于y?ex?0，故当y?0时，有FY(y)?0，从而fY(y)?0. 当y?0时，由y?ex?0?x?h(y)?lny，且有h?(y)?数为

2X1?0，则Y?eX的密度函y???(lny)(lny)?,y?0,fY(y)??

?y?0.?0,(lny)2?1??e2,y?0, ??y2?

?0,y?0.? (2)由于y?x?0，故当y?0时，有FY(y)?0，从而fY(y)?0. 当y?0时，有

FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)?P(?y?X?y)?2?(y)?1

此时Y的分布函数为

?2?(y)?1,FY(y)???0,因为 fY(y)?FY?(y)，

故 fY(y)??y?0, y?0.?2?(y),y?0, y?0.?0,2

?2?y2? ???e,y?0,

?y?0.?0, (3)由于y?2x2?1?1，故当y?1时，有FY(y)?0，从而fY(y)?0. 当y?1时，有

2 FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)

?P(?0.5(y?1)?X?0.5(y?1)?2?(0.5(y?1))?1 此时Y的分布函数为

?2?(0.5(y?1)),y?1,FY(y)??

0,y?1.? 因为 fY(y)?FY?(y)，

1??2? 故 fY(y)??[0.5(y?1)]?(0.5(y?1)),y?1,

?y?1.?0,(y?1)??1e4,? ??2?(y?1)?0,?y?1,y?1.

36. 某物体的温度T（华氏）是随机变量，且有T~N(98.6,2)，已知W?试求W（摄氏）的概率密度.

解：根据题意，T~N(98.6,2)，则其概率密度函数为

5(T?32)，92?55 由 w?(t?32) 由w?(t?32)?t?h(w)?1.8w?32，且有h?(w)?1.8?0，则

99由分布函数的定义可知

fT(t)?1e?(t?98.6)24，???t???

?5??9?? 又因为 fW(w)?FW(w)

? 故 fW(w)?FT(1.8w?32)?(1.8w?32)?

81 FW(w)?P(W?w)?P?(T?32)?w??P(T?1.8w?32)?FT(1.8w?32)

?(w?37)29100 ?， ???w???。 e10?

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