【数学】吉林省长春市吉大附中实验学校2014届高三模拟考试(理)

2013—2014学年下学期高三年级 第三次模拟考试数学(理)学科试卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设全集为R，集合M?{x?R|f(x)?0}，N?{x?R|g(x)?0}，则集合

{x?R|f(x)?g(x)?0}等于（）

（A）

（B）

（C）

（D）

b，c?C(C为复数集)，则(a?b)2?(b?c)2?0是a?b?c的（） （2）若a，（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

1222 13212正视图侧视图3俯视图339393（C）（D） 224（4）下列说法中表述恰当的个数为（）

（A）33（B）①相关指数R2可以刻画回归模型的拟合效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好； ②在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量的贡献率，R2越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关关系越强；

③若残差图中个别点的残差比较大，则应确认在采集样本点的过程中是否有人为的错误或模

型是否恰当．

（A）0（B）1（C）2（D）3

（5）若f(x)?asin(x?)?3sin(x?)是偶函数，则a的值为（ ）

44 （A）?3（B）1（C）3（D）?1

（6）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的

牌照号码共有（）

?? 1

244（A）(C1（B）A226)·A10个 26·A10个

2（C）(C1104个 （D）A2104个 26)·26·

x2y22，3)（7）如图所示，F为双曲线C:??1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7?i(i?1，916关于y轴对称，则|PF1|?|P2F|?|P3F|?|P4F|?|P5F|?|P6F|的值为（）

（A）18（B）21（C）47（D）27

（8）命题p:?x?R，x2?2x??e2xdx>0，则（）

01（A）p是真命题，?p:?x?R，x2?2x??e2xdx≤0

01（B）p是假命题，?p:?x?R，x2?2x??e2xdx≤0

01（C）p是真命题，?p:?x?R，x2?2x??e2xdx≤0

01（D）p是假命题，?p:?x?R，x2?2x??e2xdx≤0

01b?0，则下面不等式中不（9）设a?0，恒成立的是（） ．．．．

（A）

1142（B）?≥≥ab.（C）|a?b|≥a?b（D）a2?b2?1?a?b

11aba?b?aba（10）函数y?ax2?bx与y?logbx(ab?0，|a|?|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是

（ ）

yyyy1O1x1O1x1O1x1O1x

（A） （B） （C） （D）

x|x|y|y|（11）方程???1的曲线为函数y?f(x)的图象，对于函数y?f(x)，下面结论

169中正确的是（）

①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)?4f(x)?3x不存在零点；

③函数y?f(x)的值域是R；④若函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称，则y?g(x)y|y|x|x|的图象是方程??1所确定的曲线.

169（A）①②（B）①③ （C）①②③（D）①②③④

b?1（12）设函数f(x)?|lg(x?1)|，满足f(a)?f(?)，f[10(a?1)?6(b?2)?1]?4lg2，其

b?2 2

b?R，且a?b，则a?b的值为（） 中a，（A）0（B）

111（C）?（D）－1 1515第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

?)，若a//b，则tanx的值等（13）已知向量a?(1，sin2x)，b?(2，sin2x)，其中x?(0，于 .

（14）如图所示的程序框图，若输入m，n的值分别为12，9，执行算法后输出的结果是 . 开始

输入m，n(m>n)

d=m-n 否d < n？

是

m=n，n=dm=d

d = 0？

否 是输出m

结束

（15）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2?b(b?c)，则B? . A（16）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动（在小球运动过程中，小球和容器内壁都不会发生形变），则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积为 .

三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn?pn2?2n?q(p，q?R)，n?N*． （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an?2log2bn，求数列{bn}的前n项和．

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1?1，AB?3k，

AD?4k，BC?5k，DC?6k(k?0)．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；

6（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值

7 3

（19）（本小题满分12分）

在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人） 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 12 4 6 22 男同学 0 8 12 20 女同学 12 12 18 42 合计 （Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）

几何类 代数类 总计 16 6 22 男同学 8 12 20 女同学 24 18 42 总计 据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？

（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．

①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率； ②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表仅供参考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n(ad?bc)22参考公式：K?.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)（20）（本小题满分12分）

x2y20)，离心率为e． 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F2(3，ab3（Ⅰ）若e?，求椭圆的方程；

2??????????23?e≤（k?0)与椭圆相交于A，B两点，若AF2?BF2?0，且（Ⅱ）设直线y?kx，22求k的最小值．

（21）（本小题满分12分）

已知f0(x)?xxe，f1x(?f)?0x，(fx)2?f?(x1，)?，f(nx)?fn??x(n1?)N*((fi?()x)(为

)fi(x)的导函数，i?0，1，2，?，n?1)

（Ⅰ）请写出fn(x)的表达式（不需证明）； （Ⅱ）求fn(x)的极小值；

（Ⅲ）设gn(x)??x2?2(n?1)x?8n?8，gn(x)的最大值为a，fn(x)的最小值为b，试求a?b的最小值.

4

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是圆O的割线，AC =AB，CE交圆O于点G．

（Ⅰ）证明：AC2?AD?AE；

（Ⅱ）证明：FG∥AC.

CG F

A OD EB（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

b)在y轴上，点Q(a，0)在x轴的正半轴上，且满足已知点H(?6，0)，点P(0，??????????????????HP?PQ，点M在直线PQ上，且满足PM=2MQ.

（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程；

??x?3cost，（Ⅱ）若点M在曲线C：?(t为参数)上，求点M对应的参数t (0＜t＜2π)

y?2sint，??的值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式证明选讲

在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题.

111???abc≥23； a3b3c31119（Ⅱ）??≥.

ABC?

（Ⅰ）

5

2013—2014学年下学期高三年级 第三次模拟考试 理科数学（参考答案）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．

1、D 2、C、3、D、4、D 5、A 6、A 7、A 8、C 9、B 10、A 11、C 12、C 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

1（13）1（14）3 （15） （16）723 2三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）当n?1时，a1?S1?p?2?q，

当n≥2时，an?Sn?Sn?1=pn2?2n?q?p(n?1)2?2(n?1)?q?2pn?p?2，??2分

∴q?0. ??4分 ∵{an}是等差数列，∴p?2?q?2p?p?2，a?a5（Ⅱ）依题意a3?1，∴a3?18.

2∴6p?p?2?18，∴p?4，∴an?8n?6， ??8分 又a3?6p?p?2，又an?2log2bn，得bn?24n?3，

bn?124(n?1)?3∴b1?2，?4n?3?24?16，即{bn}是等比数列.??10分

bn22(1?16n)2∴数列{bn}的前n项和Tn=?(16n?1). ??12分

1?1615（18）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE.

∵AB∥DE，AB?DE?3k，∴四边形ABED为平行四边形，??2分 ∴BE∥AD且BE?AD?4k.

在△BCE中，∵BE?4k，CE?3k，BC?5k，∴BE2＋CE2?BC2， ∴∠BEC?90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．??4分 ∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴AA1⊥CD．又AA1∩AD?A， ∴CD⊥平面ADD1A1.??6分

?????????????（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则A?4k，0，0?，C(0，6k，0)，B1?4k，3k，1?，A1?4k，0，1?，

?????????????所以AC?(-4k，6k，0)，AB1??0，3k，1?，AA1??0，0，1?．

设平面AB1C的法向量n?(x，y，z)，

??????AC?n?0，??4kx?6ky?0则由?????得? ?3ky?z?0AB?n?0，???12，?6k)(k?0)． ??9分 取y?2，得n?(3，设AA1与平面AB1C所成角为θ，则

????????6k6AA?n?， sin θ?|cos〈AA1，n〉|?????1?|AA1|?|n|36k2?137解得k?1，故所求k的值为1.??12分

6

（19）（本小题满分12分）

42×(16×12－8×6)2252

解析：（Ⅰ）由表中数据得K的观测值k?≈?5524×18×20×22

4.582>3.841. ??2分

所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．?4分 （Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．

①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，

2C3C173则P(A∩B)?3，P(A)?3.

C18C182

P(A∩B)C321

所以P(B|A)?.??7分 ?23??P(A)C1717×16136

方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”， 21C2则P(C)?22?. ?C1717×16136②由题知X的可能值为0，1，2.

3223551C16C16C1C1216C2依题意P(X?0)?3?；P(X?1)?；P(X2). ????331751C1851C18C18从而X的分布列为

X P ??10分

3551171

于是E(X)?0×＋1×＋2×??.??12分

511751513

（20）（本小题满分12分）

?c?3?2222解析：（Ⅰ）由题意得?c3，所以a?23．又由a?b?c，解得b?3．

??2?ax2y2 所以椭圆的方程为??1．??5分

123?y?kx? （Ⅱ）由?x2y2得(b2?a2k2)x2?a2b2?0．

?2?2?1b?aa2b2B(x2，y2)，所以x1?x2?0，且x1x2??2 设A(x1，y1)，． ??7分 22b?ak??????????又AF2?(3?x1，?y1)，BF2?(3?x2，?y2)．

???????????a2(a2?9)(1?k2)2?9?0． 所以AF2?BF2?(3?x1)(3?x2)?y1y2?(1?k)x1x2?9?0．即

a2k2?(a2?9)a4?18a2?8181 整理得k?． ??10分 ??1??a4?18a2a4?18a223?e≤ 由及c?3．知23≤a?32，12≤a2?18． 22 所以a4?18a2?(a2?9)2?81?[?72，0)．

20 35 511 5 172 1 51122 所以k2≥(k?0)，∴k≥因此k的最小值． ??12

448分

7

（21）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）依题意

f0(x)?xex，f1(x)?(x?1)ex，f2(x)?(x?2)ex，?，fn(x)?(x?n)ex(n?N*)??3分 （Ⅱ）fn?(x)?(x?n?1)ex，当x??(n?1)时，fn?(x)>0；当x??(n?1)时，fn?(x)<0； ?n?1)上是减函数，在(?n?1，??)上是增函数 ??5分 ∴fn(x)在区间(??，∴fn(x)的极小值为fn(?n?1)??e?(n?1)，n?N*. ??7分 （Ⅲ）∵a?gn(?n?1)?(n?3)2，b?f(?n?1)??e?(n?1)，

∴a?b?(n?3)2?e?(n?1)，于是问题转化为求cn?(n?3)2?e?(n?1)的最小值.

（法一）构造函数：

令h(x)?(x?3)2?e?(x?1)(x≥0)，则h?(x)?2(x?3)?e?(x?1)，

1??)上单调递增（增＋增）∵h?(x)在区间[0，，所以h?(x)≥h?(0)??6?，

e?4?54)，使得h?(x0)?0， ??10分 又h?(3)??e?0，h?(4)?2?e?0，∴存在x0?(3，x0)时，h?(x)?0；当x?[x0，??)时，??)上单调递增，∴x?[0， 又h?(x)在区间[0，h?(x)?0，

∴h(x)min?h(x0)，

又h(4)?h(3)， ??11分

∴当n?3时，a?b的最小值为e?4. ??12分

（法二）利用数列的单调性：

11因为cn?1?cn?2n?5?n?2?n?1，

ee1111当n≥3时，2n?5≥1，n?2?0，n?1?1，∴2n?5?n?2?n?1＞0，即cn?1?cn，

eeee111又因为c1?4?2，c2?1?3，c3?4，∴c1?c2?c3，

eee?4∴当n?3时，a?b的最小值为e.

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 证明：（Ⅰ）因为AB为?O的切线，ADE为?O的割线，

所以AB2?AD?AE，又AB?AC，所以AC2?AD?AE． ??C5分 ACAE（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又?DAC为公共角， ?GADACF所以△CDA∽△EAC，所以?ACD??AEC???①

又四边形DEGF为?O的内接四边形， OD所以?CFG??CED???② EB?CFG??ACDFG//AC由①②知，所以． ??10分

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

????????解析：（Ⅰ）设点M的坐标为(x，y)，则HP?(6,b)，PQ?(a,?b)， ??????????，PM?(x,y?b)MQ?(a?x,?y)，

????????

由HP?PQ，得6a?b2?0．

A3????????????x?2(a?x)?a?x由PM＝2MQ，得?，即?2，

y?b??2y???b?3y由6a?b2?0得y2?x，故点M的轨迹C为y2?x(x?0)． ??5分

（Ⅱ）依题意2sin2t?3cost，即2cos2t?3cost?2?0，∴cost?1， 2 8

又0＜t＜2π，∴t??5?，． ??10分 33（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式证明选讲 b，c为正实数， 证明：（Ⅰ）因为a，1113111111由均值不等式可得3?3?3≥33?3?3，即3?3?3≥

abcabcabcabc1113???abc≥?abc， a3b3c3abc33111?abc≥2?abc?23，所以3?3?3?abc≥23. ??5分 而所以

3abcabcabc3（Ⅱ）1111?3A?B?C≥3ABC3ABC≥3A?B?C?9?. 3

9

10分

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