空洞探测模型

关于空洞探测模型的

报告论文

作者:

三院九九

刘超慧 董强 马熠

问题重述

本题要求我们利用弹性波在介质中和空气中不同的传播速度，来确定矩形平板内的空洞位置。该矩形平板由均匀介质构成，内有一些充满空气的空洞。在平板两个两边分别等距的设置若干波源，在他们的对边对等地设置同样多的接受器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接受器的时间，要求确定平板内位置空洞的位置，并讨论在同样确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。图如下:

2402001601208040004080120160200240 图一: X轴从左到右分别为P1~P7 Y轴从下到上分别为R1~R7 摘要

本模型因引入概率统计求解而可认为是随机模型： 我们对平板中分成的小格用概率统计的方法来评判小格成为空洞的可能性。事实上，也就是对所给的数据及其条件建立一个相对科学的处理方法,类似于拟合的方法,从后面的分析和计算可知这种方法是可行和科学的。

主要结论: 第一问的结果在模型的求解中已经给出了空洞的位置图(见模型的求解中第一问

的求解).

第二问的结果: 1如果去掉横向RS 的波源与接收器,可以确定空洞的位置,但是精确度有所降低

2在同样能够确定空洞位置的前提下,可以减少波源:P3,P5,R3,R5

接收器Q4,Q6,S4,S6(见模型的求解中第二问的求解).

本模型有效的消除了测量方法带来的系统误差带来的影响，只要波的密度和分布的均匀性达 到足够的要求，结果就可以做得很细，很精确。

问题分析

我们认为该问题是实际应用中的测量问题，主要通过采用适当且有效的方法对已知数据进行分析和

处理，来提取所需的信息。在本题中已知波经过的距离及所用的时间，要求木板中空洞的位置。我们可以用数据拟合的方法对其进行处理,但数据拟合由于受变量数的限制不容易做得很细,很精确.因而我们改用统计的方法.

首先我们以方板为研究对象，将方板分为尽可能小的细胞，用细胞状态来描述空洞的存在，即0表示空洞，1表示介质。这样可用元素为0和1 的矩阵来表示空洞的分布和形状。由此建立以计算机模拟为主要思想的模型一，用事件步长法穷举求出空洞的位置。但可能的空洞状态数很多,因此用计算机模拟的难度比较大，其优点是在划分足够细的条件下能精确描述空洞的位置和形状。

接着我们以波为研究对象出发，可得出波给予我们的两个信息：在这个波方向上出现的空洞距离及交点信息（交点处出现空洞的可能性），得出空洞可能出现的位置与范围，此为模型二。但由于任意两条直线交点的复杂性，得出的范围不够准确。

经过对以上两种模型的研究，我们考虑中和方板和波两方面的因素，即采用微元划分与最大可能性判断相结合，用每个微元出现空洞的可能性大小来决定微元的状态（ 0或1），从而得出空洞的分布，由此我们建立模型三。可以发现，该模型具有较好的可行性及较高的可信度。

符号系统

已知：方板边长L=240米

时间矩阵T1=[ tij ] tij:由Pi发出的弹性波到达Qj的时间

0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122 0.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 0.1768 0.1810 0.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.1031 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042

时间矩阵T2=[tij] tij :由Ri发出的弹性波到达Sj的时间

0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721 0.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980 0.3456 0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4540 0.3112 0.3655 0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.1017 0.3165 0.2409 0.3214 0.3256 0.0904 0.1874 0.2130 0.2749 0.3891 0.5895 0.3016 0.2058 0.0841 0.0706 0.4434 0.4919 0.3904 0.0786 0.0709 0.0914 0.0583

波速：在介质中 v1=2880米/秒 在空气中 v2=320米/秒 未知：波长矩阵L1=[lij] lij:由Pi发出到达Ｑj 的弹性波的波长.

L2=[lij] lij:由Ri发出到达Si的弹性波的波长

同时用lij 表示由Pi或Ri发出到达Ｑj或Si的弹性波直线。

空洞距离矩阵X1=[ xij] xij 表示由Pi到Ｑj 的弹性波lij上的空洞距离。 X2=[ xij] xij 表示由Ri到Si的弹性波lij上的空洞距离。

时间矩阵T3=[tij3] tij3:弹性波lij 经过距离全为介质时所需的时间。 划分间距 a (0

微元矩阵T=[ Tkm] ( k,m=0,1,2,?,N-1) Tkm =km ，k表示微元的横坐标，m表示纵坐标。 微元状态矩阵t=[ tkm] ( k,m=0,1,2,?,N-1) tkm =o.微元为空洞，tkm＝１，微元为介质

概率矩阵PL1=[ Plij:] Plij: : 由Pi到Ｑj 的波lij 单位距离内存在空洞的概率。 PL2=[ Plij:] Plij: : 由Ri到Si的波lij 单位距离内存在空洞的概率。

P1=[ Pij:] Pij: : 由Pi到Ｑj 的波lij 单位距离内存在空洞的加权概率。

P2=[ Pij:] Pij: : 由Ri到Si的波lij 单位距离内存在空洞的加权概率。

概率矩阵PT=[ Ptkm:] Ptkm: :微元Tkm:为空洞的概率。

权矩阵W=[wij] wij :波lij由于波长不同对微元Tkm:作用的权 波的集合Akm={ lij: , lij:经过微元Tkm: }元素个数为nkm 微元集合Bij ={Tkm ，Tkm在波lij:上}元素个数为nij

模型假设

我们认为“弹性波”是指在反射、折射及相互干涉中都没有能量损失的波。其波速仅与波在其中传播的介质有关，且在同一均匀介质中波速不变。我们假设有条件使波源发射的弹性波具有很强的单向性，且波源与接受器的仪器精度足够高。因此我们做出以下假设：

1. 表中给出的时间数据客观且真实地反映了实际情况，即所记录的数据准确无误。 2. 波在传播过程中沿直线单向传播，且不考虑波的反射、折射以及干涉等现象。

3. 波的发射与接收为一一对应的，且波的发射与接收均为瞬时。因此我们认为记录的时间即为波沿直线由发射点到接收点的传播时间，且波的传播时间仅由波在该均匀介质中经过的距离和在空气中经过的距离决定。

4. 已知弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同，因此我们同等地看待每个波，不因它们的位置不同而有所区别。

5. 由实际情况可知，空洞的分布应为分段连续的，因此不能求出每一点出现空洞的概率，而只能用一个区域内出现空洞的概率来逼近每一点的概率.当把板分成微元后,我们可认为一个微元只可能出现全是空洞或全是均匀介质两状态.

模型的建立与求解

第一问的求解：

1 微元的划分

我们选取适当的a为间距,将方板划分成N*N个微元，其中N=L/a. 并对每个微元进行标定，用Tkm 表示微元，k表示微元的横坐标，m表示纵坐标。

**注:实际求解中我们发现取a=10，N=24时所得解较优-------我们在后面将会证明.

2 波上单位距离的空洞概率矩阵PL1,PL2的求解(由程序一完成<见附录>)

(1)求出波长矩阵L1,L2:

lij??i?j??240?240?6?22??

(2)根据时间矩阵T1,T2,T3 求出空洞距离矩阵X1,X2: xij.=( tij - tij3 )/(1/v2-1/v1 )

X1(a=10):

-8.0040 1.8075 40.2435 39.6145 114.4660 138.1780 160.8310

5.1915 -8.6880 128.4555 123.8355 138.1825 152.6620 97.9300 78.2595 118.3035 -8.4720 119.0955 118.0035 94.7305 33.0340 82.4185 128.6955 115.0275 -3.4320 33.9915 -4.9725 42.8545 89.5900 129.5065 49.8555 38.5995 0.2040 33.2355 33.5475 98.0020 78.3220 51.5665 78.6915 49.3995 3.8040 6.7035 112.7710 83.2420 92.3260 36.8065 -4.2525 -5.6445 7.5120 X2(a=10):

-6.7800 -8.7405 -2.3445 93.0385 103.1620 116.2540 163.5310

-3.3045 -4.8000 72.2595 124.6635 92.1385 136.7500 140.2300

92.8035 84.9675 5.0640 116.9355 121.0275 129.9025 75.9820 98.0425 86.7915 122.4795 6.2520 86.5515 45.2115 3.0745 77.8900 53.1865 84.0915 86.8035 2.5440 37.0515 45.0675 59.9140 104.0260 178.6825 76.9635 43.6755 0.2760 -4.9965 117.1990 138.0340 104.4940 -5.2415 -6.0885 2.4915 -9.0120

**注: 以上两矩阵中出现负值是由于对测量值没有进行修正,但因为我们采用概率比较的方法对其进

行统计,因而不会对最后结果造成影响.对于后面出现的概率值都只是对其大小进行比较,所以其值是否在0~1之间并无影响.

(3)根据L,X求出波上单位距离为空洞的概率矩阵PL1,PL2: Plij= xij./ lij

考虑只有一条波的情况,由于此条波经过的空洞这条波上的可能位置是随机的，因此可假设波lij上单位距离内存在空洞的可能性是相同的，也即概率相同。此分布概率不仅与波上存在的空洞距离xij有关，而且与该波的总长lij有关。且该波的总长越小，所经的空洞距离越大，则单位距离内存在空洞的概率越大。所以我们设每个波出现空洞的概率Plij= xij./ lij

3 求经过微元Tkm的波的集合Akm。(由程序二完成<见附录>)

当划分足够细时，认为可以用微元的中心Oij(Xij,Yij)表示微元Tkm.考虑用Oij(Xij,Yij)到波的距离d来决定波lij是否经过微元Tkm ，方法如下:

求出波lij的直线方程为Aij*X+Bij*Y+C=0,取r=a/2,

用d2=(Aij* Xij +Bij* Yij +C) 2/(Aij2+Bij2)进行判断：(D为微元中心到波线的距离)

当d2> r2 时,认为波lij过微元Tkm的有向线段很短或为0，即对微元Tkm影响很小，可以忽略不计。. 当d2≤r2 时,认为波lij过微元Tkm。即lij ∈Akm。

4 求微元Tkm为空洞的可能性Ptkm。(由程序二完成<见附录>)

考察经过Tkm的所有波，则波lij在Tkm内的部分为一有向线段，表示该微元在某一方向上存在

空洞的概率，这一概率应与有向线段所在波的Plij 及有向线段的长度均有关 。且线段越长，在Plij相等的情况下对Ptkm: 作用越大，为表现出这一影响，我们引入“权”的概念，定义Plij 的权wij=lij / L 表示波lij 对Ptkm:的影响，同时定义“加权概率”Pij=Plij * wij 。我们假设由已知的波的信息必能求出空洞的位置，在考虑有向线段长度的影响后，用该格内各方向上出现空洞的“加权概率”之和来表征Ptkm。由于经过每个微元的波数nkm不同（如图一所示，在波源处和接收器处以及中间部分波分布较密处的微元，经过它们的波数显著大于其他微元,即线条分布的不均匀），导致在加权概率求和时，对nkm较少的微元有失公平,这是测量方法引起的系统误差。为此我们引入“平均加权概率”P表示没经过Tkm的波对Tkm状态的影响，定义P=∑Plij /98.这样可减少nkm不同的影响。

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