中学代数研究作业绵阳师范学院

中学代数研究作业

第一章

自然数系和0

1、用自然数的序数理论证明：

数 与 数 系

（1）3?4?7 （2） 2、把

n23?4?12

个互不相等的自然数排成一个n级方阵，取每行数的最大数，

得n个数，设其中最小的一个是x；再取每列数的最小数，又得n个数，设其中最大的一个是y.试比较x与y的大小. 3、考察下列等式 2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64

????? 试猜想一个一般公式，并加以证明.

4、证明：在2n?2n （n?N）个相等的小方格组为的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这样3个小方格构成的L形块恰好铺满. 5、证明：可以把自然数1，2，3，??，n 相邻两数之差不超过2. 6、 已知

f(1)?f(2)?1

(n?3)

围成一圈， 使每

f(n?2)?f(n?1)?f(n) n?1,2,?

求证 对任何m,n?N，有

f(n?m?1)?f(n)f(m)?f(n?1)f(m?1)

7、 设 f(n)?2n?1

?1.

?3n?1?g(n)??

??fg(n?1),n?2,3,?,?? 求证

g(n)?2n?1 1

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8、现有111张卡片，在每张卡片上都写上一个自然数，若这111个自然数的和小于3136，证明至少有3张卡片上的数相等. 9、 已知f(m,n)对任何m,n?N，满足

?f(1,n)?n?1,??f(m?1,1)?f(m,2),?f(m?1,n?1)?f(m,f(m?1,n)),?

求证：1）f(2,n)?n?2 2）f(3,n)?2n?2 3）f(4,n)?2n?2整数环 1、已知

p10a?b,p10c?d，求证 pad?bc.

?1.

a?b?2

2、设2不整除a，求证 8a23、设a,b?Z， 求证 2a3?b3的充要条件24、已知

a?k?10n.

，n?N ，k?N??0? ，

求证：(a?1)(a?3)(a?7)(a?9)的末三位数是189. 5、证明：前n个自然数的和的个位数码不能是2，4，7，9. 6、已知

f(1)?f(2)?1

f(n?2)?f(n?1)?f(n)f(n).

n?1,2,?

求证 当4n时，37、证明从1，2，??，100里任意取出的51个数中，至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数. 有理数域

1、 把下列分数可以化成怎样的循环小数，并且指出循环节长：

2

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1）

166 ； 2）

2925； 3）

34608 ； 4）

41001.

2、把下列小数可以化成分数 1）0．83654 2）0.37689345 3、已知

f(1)?f(2)?1 f(n?2)?f(n?1)?f(n)。。.. n?1,2,?

an表示f(n)的个位数码，求证 0.a1a2?an?是有理数. k,n?N,an表示 1k?2k???nk

4、已知 的个位数码，

求证 5、将

17980.a1a2?an?是有理数.

分解成三个单位分数之和，能够分成四个吗？

实数集

1、 下列闭区间是否组成闭区间套？能否确定唯一的实数？ 1）??13?n?2??24??n，?，?，?，?,?，，?; ??22??33??n?1n?1???3??2n?1?，1?，?，1?，?,?，1?，?; 242n??????b,d 2）??12、设a,b,c,d?Q,3、已知 0＜ak＜

是无理数，且a?b?c?d, 求证：a?c,b?d 中至少有两个数，

2 ，k2?0,1,?,n, 求证在a0,a1,?,an它们差的绝对值小于

n .

a,n4、设a＞0，b＞0，a,b互素，n求证nabb不全是整数，

是无理数.

b)是无理数.

5、设a＞1，b＞1，a,b互素，求证lg(a6、证明

2?3是无理数.

7、求适合x2??x??2?0的一切实数.

3

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复数域

1、 已知在三角形ABC中，?C求证： ?AC2、 设?1?cos??BD??2，D是AB上任一点，

??AB?CD?2??BC?AD?2?2

?isin??8是实数，求?.

3、 用复数的乘法证明： 1） 2）

arctanarcsin1345?arctan?arcsin_15513?arctan?arcsin17?arctan?18??4

1665?2

?64、在复平面内zz=3表示怎样的图形，求角的终边与这个图形 交点A所对应的复数.把OA按逆时针方向旋转到OB，

4???????求B点所对应的复数.

5、设P为定直线AB外任一点，把AP按逆时针方向旋转到AP?，

2??????? 再把BP按顺时针方向旋转到BP??，求证P?与P??的中点是定点. 2???????6、计算

（3?i）(1?i)10050

第二章 式、代数式、不等式

整式 1、如果

x?Ax?Bx?cx?d432?8x?是x2?Cx?D的完全平方，求A、B、C、D.

2、求ax3?bx2为完全平方式的条件. 能被x2?h23、如果ax3?bx2?cx?d整除，证明

ad?bc .

4、将下列各式作因式分解并指出所用方法 （1）a2?ab?6b?5a?35b?362

（2）bc(b?c)?ca(c?a)?ab(a?b) （3）(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120

4

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（4）(a2?ab?b)?4ab(a?b)222

（5）(x?2)(x?3)(x?4)(x?6)?6x2 （6）a8?ab?b448

分式与根式 1、已知x22、已知

?x?1?0，求xxa?2b?cya?c14?1xz14的值. ，求证

ax?2y?z?bx?z?cx?2y?z??a?2b?c.

3、求下列各多项式的值： （1）x?（2）x?9?6223?3?22,f(x)?4x?40x?46x?1032

2,y?3?3?22,f(x,y)?3x?5xy?3y2

4、求下列各根式的值： （1）x?（2）x?5、求

5?15?1,y?5?15?1,x?y22

.

y?6,xy?4,x?y,x?x?yy2?3?2?2?3?2?2?2?3?2?2?2?3的值.

6、化简下列各式 （1）

4?7?12?40?35；

（2）

4?23?25?123?22

（3）??x??1??21??2n?11??? ??x?2???xn?12x??x??x? (x?1)

5

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指数式与对数式

1、已知log23?1.6,求log7254的值. 2、已知log147?a ，14b3、已知lg(1?4、已知?19)?a,lg(1??5，求log181243528的值.

)?b，试用a、b表示lg2,lg3. 求证 ???5(???)?1.

?log1218,??log54,

三角式与反三角式 1、证明 2、证明

cos?cos2?cos2??cos2??2nsin22n?1n?1?sin?.

cosx2cosx22cosx23?cosx2n?nsinx2sinx2n

第三章 方程

1、解方程 （1）?x2（2）?x2?7x?5??3x?21x?1922

?9(2x?5)(2x?7)?91

?2、用观察法、换元法、比例变形、因式分解等方法解下列方程： （1）求?x?1??x?2??x?3??5?6?7的有理根. （2）求x3?x2（3）x?1x?3x?3?0的实数根. 1a?a?

（4）(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)?44 (5)(6)

6

x?5x?13x?7x?24x?30322?2x?7x?202x?11x?36x?45322

x?x?5?2x?5x?25?2x

2中学代数研究作业

3）已知m、n是有理数，方程x2求m?n的值. 4）设x1、x2是方程x25）已知m26）已知x??m?1，n?x?3?02?mx?n?0有一个根是5?2，

的两个不同的根，求x31?4x2?192的值.

?n?1，m?n32，求m5?n5的值. 的值.

?5x?a11?2，求

x?2x?x?87）当a在什么范围内取值时，方程x2两个相异实数根？ 8）能使关于x的方程

x?1x?1?x?1x?1?有且只有

2x?a?2x?12?0

只有一个实根的所有a的值的总和等于多少？

第四章 函数

1、如果A??1,2,3,4,5?,B??a,b,c,d,e?，确定下列各个序偶的集合中哪些是从A到B的函数？其中哪些是一对一而且到上的函数？并求它们的定义域. （1）f??(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)?

（2）g??(2,a),(3,a),(1,a),(5,a),(4,a)?

（3）h??(1,e),(5,d),(3,a),(2,b),(1,d),(4,a)?

（4）j??(1,a),(2,b),(3,c),(4,x),(4,e)? （5）k??(5,a),(1,e),(4,b),(3,c),(2,d)? 2、下列各个关系中，哪些是R到R的函数？其中哪些是一一对应？求出它们的值域,并指出哪些关系不是函数，为什么？ （1）s??(x,y)x,y?R,y?x? （2） t??(x,y)x,y?R,x? （4）v??(x,y)x,y?R,y2?y?1?12?

（3）u??(x,y)x,y?R,x?y?2?

（5）w??(x,y)x,y?R,y?2,当x?0时；y??2,当x?0时；y?0,当x?0时?

7

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3、求证函数y4、求函数y??x?xax21x2在区间（0，??）内有最小值

的最大值.

3232.

?b2(a?0,b?0)5、求证函数y?6、已知y（1）y??11?x12x?x?1?2x?x?1，当x?0时取最小值2.

的图像，用怎样的变换可作

，（2）y?1x?2x?22x?2x?22的图像？

7、根据参数a，求方程x28）已知映射f?3?a?1的解的个数.

2对应法则f:y??x?2x,对于实数:A?B,其中A?B?R，A中不存在原象，则k的取值范围是

?1 C、k?1

k?B,在集合

A、k?1 B、kD、k?1

9）下列函数中与函数y?A、y?x?2x?2x3相同的是

?2x B、y??x C、y??2x3 D、y?x2?2x

10）已知函数f(x)的定义域为（0，1），求f(x2)的定义域；已知函数

（0，1），求f(x)的定义域；已知函数f(x?1)的f(2x?1)的定义域为

定义域为??2,0?，若k?(0,1),求F(x)?答案：?x?1?x?0或0?x?1?；2f(x?k)?f(x?k)的定义域； x?3?；?x1??xk?1?x?1?k?

11）已知函数y?答案：0?k?1

kx?6kx?k?8的定义域是R，求实数k的取值范围.

12）（2007湖北模拟）记min?a,b?为a,b两数的最小值，当正数x,y变化时，t??x?min?x,2也在变化，则t的最大值为 2??x?y?y?22 . 答案：当x?

时，t取最大值

22.

8

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13）（2008上海春招）函数是 . 答案：??2，1???1，3? 14）求下列函数的值域 （1）y?x?x?1； （2）y?2f(x)??x?x?6x?12的定义域

x?2x?1 （3）y?12?x?x2.

3?答案：（1）?，?????4?(2)???,1???1,????4?(3)???,0???,???

?9?15）求函数y?2x?x?1的值域.

15?提示：换元法 答案：?,??? ??8?1x1?，当x??时，求f(x)的值域. ?,2??2?16）已知f(x)?1?17）（2007湖南）函数

?4x?4,x?1,?f(x)???x2?4x?3,x?1?的图象和函数

g(x)?log2x的图象的交点个数是 A、4 B、3 C、2 D、1

(?1?x?0),(0?x?1),?x?1?18）设函数y????x?求它的反函数.

19)(2007且

?1?log3(x?1)(x?4),?湖南模拟) 设函数y??x?4的反函数f(x?4)?2??1(x)，

f1()?a8，则f(a?7)? A、-2 B、-1 C、1 D、2

20、用番号标出下列函数单调性证明中的基本步骤，并用下划线方式指出其规范书写中的关键词.

9

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求证：函数f(x)?x2在（0，+?）上是增函数.

x2证明：设x1，x2是（0，+?）上的任意两个实数，且x1?f(x1)-f(x2)=x12，则

-x=(22x1?x2)(x1?x2)

?0

由x1，x2是（0，+?）上的任意两个实数，得x1?x2由x1?x2，得x1?x2?0

f(x2)?0

于是f(x1)-即f(x1)?f(x2)

x2所以，f(x)?在（0，+?）上是增函数.

第二章 式、代数式、不等式

1、（1）求解不等式

x?1x?2?0，并逐步标明解题依据

（2）写出列方程解应用题的基本步骤.

2、写出用图解法解不等式f(x)

?y?x2?22?9x?y?9?0 ?22x?y?9?x?y1?xy?33.

5、解不等式：(x?1)4

?(x?3)4≥272 答案：x≤-5或x≥1

第五章 数列 1）在数列?an?中，a1?1，an?1?1?14an，bn?22an?1，其中n?N?

（1）求证：数列?bn?是等差数列；

(2) 求证：在数列?an?中对任意n?N?，都有an?1

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?an.

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2）（2008海淀区期末）设数列?an?的前n项和为Sn,a1以2为公比的等比数列。

?1且数列?Sn?是

（1）求数列?an?的通项公式；（2）求a1?a3???a2n?1

?1? 答案：（1）an???n?1?2??(n?1)22n?1； （2）

(n?2)?13。

3）（2007海淀区模拟）已知数列?an?的前n项和为Sn,

an?7Sn?2(n?2),a1?2

（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?1olg2an，Tn?bn?1?bn?2???b2n，是否存在最小的正整数kk12，

使得对于任意的正整数n，有Tn?恒成立？若存在，求出k的

值；若不存在，请说明理由。 答案：（1）an?23n?2；

?4（2）存在最小的正整数k

，使得Tn?k12恒成立。

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2）（2008海淀区期末）设数列?an?的前n项和为Sn,a1以2为公比的等比数列。

?1且数列?Sn?是

（1）求数列?an?的通项公式；（2）求a1?a3???a2n?1

?1? 答案：（1）an???n?1?2??(n?1)22n?1； （2）

(n?2)?13。

3）（2007海淀区模拟）已知数列?an?的前n项和为Sn,

an?7Sn?2(n?2),a1?2

（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?1olg2an，Tn?bn?1?bn?2???b2n，是否存在最小的正整数kk12，

使得对于任意的正整数n，有Tn?恒成立？若存在，求出k的

值；若不存在，请说明理由。 答案：（1）an?23n?2；

?4（2）存在最小的正整数k

，使得Tn?k12恒成立。

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