数学分析 刘三阳 第三讲习题解答!

习题3-1

1. 设定义在[a,b]上的函数f(x)在(a,b)内连续,且limf(x)和limf(x)存

x?a?x?b?在(有限).问f(x)在[a,b]上是否有界?是否能取得最值? 解 在闭区间[a,b]上构造辅助函数

?f(x), x?(a,b),? g(x)??f(a?), x?a,

?f(b?), x?b.?则g(x)在[a,b]上连续，从而g(x)在[a,b]上有界. 由于

g(x)?f(x) (a?x?b)，故

f(x)在(a,b)上也有界，即存在M1?0，使得 f(x)?M1, x?(a,b).

令 M?max?M1,f(a), f(b)?，则有 f(x)?M, x?[a,b]. 条件同上，但f(x)在[a,b]上却不一定能取得极值. 例如： 2. 试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理.

证明 （1）用确界存在原理证. 设E?{xf(x)在[a,x]上有界.x?[a,b]}，则E非空且有上界，由确界存在原理，存在??supE. 下面要证 ??b 并且b?E，以使E?[a,b]，

即f(x)在[a,b]上有界.反证法。若??b，由连续函数的局部有界性，

??0?0, f(x)在

(???0,???0)内有界，即存在x0??，使x0?E，这与??supE相矛盾，

所以??b.

再证f(x)在[a,b]上有界. 因为f(x)在点b连续，所以存在??0，使

f(x)在(b??,b]

上有界；再由b?supE可知f(x)在[a,b?]上有界，于是f(x)在[a,b]上

2?有界.

（2）用有限覆盖定理证. 已知f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上每一点x0的极限存在，因此存在点x0的邻域?(x0,?)，使f(x)在该邻域内有界，f(x)?M，这里的正数?及M与点x0有关.由于[a,b]上的每一点都得到这样一个邻域（即开区间），这些开区间的全体构成一个开区间集，它覆盖了[a,b]. 根据有限覆盖定理，在开区间集中必有有限个开区间覆盖[a,b]，记这有限个开区间为

(x1??1, x1??1), (x2??2, x2??2),?,(xk??k, xk??k)，相应的M分别记为

~~M1,M2,?,Mk. 令M?max{M1,M2,?Mk}，则有 f(x)?M , x?[a,b].

注：对于区间端点a和b，可以用延拓的方法将[a,a??)及(b???,b]换为开区间(a??,a??)及(b???,b???)， 并考虑函数

?f(a), a???x?a? a?x?b g(x)??f(x),

?f(b), b?x?b????f(f(x))???.证明3. 设f(x)是[0,??)上的连续正值函数,若xlim???x???limfx(?)??.

证明 反证法. 假定结论不成立，则?X?0, ?n有xn?n，使得

0?f(xn)?X.

因为f(x)连续，所以f(x)在[0,X]上有界，从而?M?0，使得f(x)?X时，有

f(f(x))?M.由此可知，?n,?xn?n，使

x???f(f(xn))?M，这与

limff(x?(?))?

矛盾.

f(x)???.证明f(x)在(??,??)内可4. 设f(x)在(??,??)内连续,且xlim???取得最小值.

f(x)???，故?x0?(??,??)有f(x0)?0，且?X?0， 证明 因为xlim???当

x?X时，有 f(x)?f(x0). 由于f(x)在[-X，X]上连续，故可取得最小

值，从而f(x)在(??,??)内可取得最小值.

5. 设f(x)在[a,b]上连续,若开区间(a,b)内任一点均非f(x)的极值点.证明f(x)在[a,b]上单调.

证明 容易知道，f(x)的最大、最小值点不在(a,b)内，因此不妨假定f(a)是最小值，f(b)是最大值，此时f(x)是递增的.事实上，若存在x1,x2?(a,b),x1?x2，使得f(x1)?f(x2)，则f(x1)是[x1,x2]上的最大值，则f(x1)是最大值，f(a)是最小值. 由此f(x2)是最小值. 而在[a,x1]上，得出x1是f(x)的极大值点，矛盾.

6. 设f(x)在[a,b]上连续,且对任意x?[a,b]总存在y?[a,b]使

f(y)?1f(x).证明f(x)在[a,b]上存在零点. 2 证明 由于f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在[a,b]上也连续，设

f(x0)为其最小值.

又依题设，存在y0?[a,b]，使得 f(y0)?7. 用有界性定理证明最值存在定理.

f(x0)2，这只有f(x0)?f(y0)?0.

证明 因为f(x)在[a,b]上连续，所以有界，从而存在上、下确界M、m.现证?x0?[a,b]

使f(x0)?M（对m类似可证）.假若不存在这样的x0，则对x?[a,b]有

M?f(x)?0.

令F(x)?1，易知F(x)在[a,b]上连续，从而有界.不妨设

M?f(x)F(x)?M,x?[a,b]

但因Mf(x?)?M?是

f(x)的上确界，故存在x??[a,b]使

11,F(x?)??M MM?f(x?)矛盾.

习题3-2

1 . 设a1,a2,a3?0,b1?b2?b3.证明:方程

(b2,b3)内恰好各有一个实根.

aa1a?2?3?0在(b1,b2)和x?b1x?b2x?b3证明 令 f(x)?续，

aa1a?2?3，则f(x)在(b1,b2)和(b2,b3)内连x?b1x?b2x?b3b1,b2,b3是f(x)的无穷型间断点.

由limx?b1?a1a???, lim?2???，

x?b2x?bx?b12则有 limf(x)?lim??x?b1??a1a3?a2??????， ?x?b1?x?bx?b2x?b3?1??aaa?312? limf(x)?lim???????. x?bx?b?x?bx?bx?b123??2?2?从而必存在x1,x2 (b1?x1?x2?b2)，使f(x1)?0, f(x2)?0. 对f(x)在[x1,x2]上应用

零点定理，则f(x)在(x1,x2)?(b1,b2)内至少存在一个根.又由于f?(x)?0，故f(x)在(b1,b2)内单调减，所以恰有一个实根. 类似证明f(x)在(b2,b3)内也恰有一个实根.

2. 闭区间[a,b]上具有介值性的函数是否一定在[a,b]上连续? 解 如果一个函数可以取到它的任何两个函数值之间的一切值，则称此函数具有介值性质.闭区间上的连续函数具有介值性，但反之不真. 例如

f(x)??0?x?1,?1?x,

??1?x, ?1?x?0.具有介值性，但在x?0不连续. 又例如 f(x)??x为有理数，?x, ?1?x?1.

??x, x为无理数，虽然f(x)取介于f(?1)??1,f(1)?1之间的所有数作为其函数值，但是

f(x)在[?1,1]上并不连续.

3. 设函数f(x)在开区间（a, b）上连续，且f(a?0)和f(b?0)存在，证明：f(x)可取到介于f(a?0)和f(b?0)之间的一切值.

?f(a?0), x?a?a?x?b 证明 作辅助函数g(x)??f(x), ?f(b?0), x?b.?g(x)在[a,b]上连续，当x?(a,b)时，g(x)?f(x).

f(xn)?A.证明存在??[a,b]使4. 设f(x)在[a,b]上连续, xn?[a,b],limn??f(?)?A.

证法1 因为f(x)在[a,b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，

f(xn)?M.由介值定理知???[a,b]，且使m?f(xn)?M，从而有m?A?limn??使f(?)?A.

证法2 因为?xn?有界，所以存在收敛子列xn???[a,b] (k??).而

kf(x)在[a,b]上连续，故有f(?)?limf(xnk)?limf(xn)?A.

k??n??5. 设f(x)在[a,b]上连续, f(a)?f(b).证明：存在c,d?[a,b],d?c?使得f(c)?f(d).

b?a2b?a)?f(x)，则 2a?ba?ba?b)?f(a)， F()?f(b)?f(). F(a)?f(222a?ba?b)??F(a)，故存在??[a, ]，使得 因为f(a)?f(b)，所以F(22b?ab?aF(?)?f(??)?f(?)?0，即f(??)?f(?).

22b?ab?a, f(d)?f(c). 令 ??c, d???，则 d?c?22证明 设 F(x)?f(x?6. 设f(x)在[0,1]上连续, n是任一自然数.

(1) 若f(0)?f(1).证明存在?,?,0?????1,????,使f(?)?f(?)； (2) 若f(0)?0,f(1)?1.证明存在?n?(0,1)使f(?n?)?f(?n)?. 证明 (1) 作F(x)?f(x?)?f(x)，则有

1F(0)?f()?f(0),n121F()?f()?f(),nnn ????212F(1?)?f(1?)?f(1?),nnn11F(1?)?f(1)?f(1?).nn1n1n1n1n

由此，相加得

F(0)?F()???F(1?)?f(1)?f(0)?0

1n1nkkk?1(a)若有k (k?0,1,2,?,n?1)，使得 F()?0，则取??,??，即得所

nnn证.

k(b)若对一切k?0,1,2,?,n?1均有f()?0，则必存在k1,k2，使

nkkkkF(1)?0, F(2)?0，从而可知在1与2之间存在?，使得 nnnn10?F(?)?f(??)?f(?)

n1因此，取???,???? 即可得证.

n11(2) 作 F(x)?f(x?)?f(x)?，证法同(1).

nn 习题3-3

1. 判断下列函数的一致连续性.

(1) f(x)?sin2x,x?[0,??); (2) f(x)?x2,x?(??,??); (3) f(x)?sin,x?(0,1); (4) f(x)?3x,x?[0,??).

解 (1) 因为sin2x1?sin2x2?sinx1?sinx2sinx1?sinx2?2x1?x2 所以 ???0, 只要取??，则?x1,x2?[0,??)，当x1?x2??时，就有

21x? sin2x1?sin2x2?? 故f(x)在[0,??)上是一致连续的. (2)

??(3) 取??. 任给??0，取xn??xn??? xn1211???， , xn?2n?2n??2?4n?(2n??)2???xn????， , 当n充分大时，有xn但是 sin(2n?)?sin(2n??)?1???

2?12故f(x)在区间(0, 1)非一致连续.

(4)

2. 设f(x),g(x)在有限开区间(a,b)内均一致连续.证明f(x)?g(x)也在

(a,b)内一致连续.若(a,b)换为无限区间,结论还成立吗?

证明 易知f(x),g(x)在(a,b)有界，设f(x)?M1, g(x)?M2，则

?x?,x???(a,b)有

f(x??)g(x??)?f(x?)g(x?)?g(x??) f(x??)?f(x?)?f(x?) g(x??)?g(x?) ?M2f(x??)?f(x?)?M1g(x??)?g(x?)

由此可知，f(x)?g(x)在(a,b)内一致连续.

若(a,b)换为无限区间,结论不一定成立. 例如f(x)?g(x)?x在[1,??)一致连续，而

f(x)?g(x)?x2在[1,??)不一致连续. 又如f(x)?x,g(x)?sinx,x?[a,??).

3. 设f(x)在有限开区间(a,b)内连续. 证明f(x)在(a,b)内一致连续的充要条件是:极限limf(x)和limf(x)均存在.

x?a?x?b? 证明 必要性. 由f(x)在(a,b)内一致连续可知，???0，???0，当

x??x???? , x?,x???(a,b)时，f(x?)?f(x??)??. 于是，对(a,b)中满足

?? x??a?, x???a?的任意两点，可知 x??x???x??a?x???a??，

22从而有 f(x?)?f(x??)??.

根据柯西收敛准则，极限limf(x)存在. 类似证明 limf(x)存在.

x?a?x?b??f(a?), x?a,?充分性. 作函数 F(x)??f(x), x?(a,b),

?f(b?), x?b.?显然，F(x)在[a,b]上连续，由康托定理F(x)在[a,b]上一致连续，当然在(a,b)内也一致连续.又因为F(x)?f(x),x?(a,b)，所以f(x)在(a,b)内一致连续.

4. 设f(x)在有限开区间(a,b)内一致连续.证明f(x)在(a,b)内有界.

证明 由3题直接可得.

5. 设f(x)在有限区间I上有定义,证明f(x)在I上一致连续的充要条件是f(x)把柯西列映射成柯西列,即对任何柯西列?xn??I,?f(xn)?也是柯西列.

证明 必要性. 设f(x)在I上一致连续，则???0, ???0，使得 f(x?)?f(x??)??, x??x????, x?,x???I.

??xn??)?0，于是对上述?，?N,?n?N,xn?????? 满足lim(xn??xn????，设? xn , xnn???)?f(xn??)??. 从而有 f(xn充分性 反证法.假若f(x)在I上不一致连续，于是

???????I,xn??xn?????0?0,?xn,xn1， n????xn????? (k??)；因为?)?f(xn??)??0.由致密性定理，?? xn但f(xn , xnkk??k??. 数列xn?k?xn??k?0，故limxn?1,xn??1,xn?2,xn??2?,xn?k,xn??k,?收敛于?， xnk??因而是柯西列.但由

?k)?f(xn??k)??0f(xn，可知

??1),f(xn?2),f(xn??2),?,f(xn?k),f(xn??k)?不是柯西列，与假设矛盾. f(x?n1),f(xn

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