气垫导轨实验中的误差分析与计算

气垫导轨实验中摩擦阻力的修正

胡晓琳 050715

1 引 言

普通物理力学实验中气垫导轨上滑块运动的各种实验,对理工科的教学来说,是最基本的实践环节。传统的实验方法是手工测量物体运动的距离、时间等,然后再通过必要的计算得到速度、加速度等物理量。这种手工操作会带来测量误差,而且学生也不能及时、直观地观察实验结果。如果能通过检测环节自动完成测量,并将实验数据用计算机进行处理,以图表的形式实时地显示出来,则会大大提高实验效果。气垫导轨(简称气轨)是近代在我国出现并逐渐普及的一种新兴低摩擦实验装置，它利用从导轨表面的小孔中喷出的压缩空气，使导轨表面和滑块之间形成一层很薄的气膜——气垫，将滑块浮在导轨上，由于气垫的漂浮作用，使在力学实验中难以处理的滑动摩擦力转化为气层间的粘滞性内摩擦力，使该因素引起的误差减小到近可忽略的地位；提高了实验精度。其次在计时方法上又采用了光电计时手段，使时间的测量精度达到10?3~10?4的量级。基于以上两方面的优点，近年来利用气垫导轨开设了许多实验，收到了良好的教学效果．但也存在一些不足，即由于所采用的实验测量方法不恰当或对实验过程中应予考虑的系统误差未作修正，使实验结果的误差比预期大得多，影响了这一新型教学仪器的作用发挥。因而，如何采用合理的实验方法，深入分析气垫导轨实验的误差来源和修正就成了实验中急待解决的问题．本文就这一问题作分析讨论。

气垫导轨实验中误差的来源是多方面的，有系统误差也有偶然误差．本文着重于对气垫导轨实验中的系统误差进行分析，至于偶然误差的原因和其它力学实验中的偶然误差并无特殊的区别，这里不作讨论。如何调整气轨的水平状态，是减小系统误差的重要环节．另外，当滑块在气轨上飘浮时，一般都认为滑块与气垫之间摩擦力(确切地说应当是空气垫对滑块的粘滞阻力)可以忽略，实验中的测量讨论也往往是在这一假设下进行的 实际上，这种摩擦阻力是存在的，也必定会对实验结果带来误差，而且，在某些实验中，这种误差还是比较大的．因此，除了气轨调平之外，如何在实验中选择恰当的操作方法，在可能的情况下，尽量排除阻力因素的影响，从而减小系统误差，提高实验精度，这是气轨实验教学中需要着力研究的一个重要问题。本文主要研究气垫导轨实验中滑轮与细线间的摩擦力。

实验主要分为4个步骤进行：

1.探究牛顿第二定律，发现加速度存在误差。

2.垫高气垫导轨一端，排除空气阻力对实验的影响。 3.保持滑块的质量不变，改变勾码质量，测量加速度，计算出滑轮与细线间的摩擦阻力。 4.分析、整理，得出修正公式，并进行实验验证。

2 实验部分

2.1 气垫导轨探究牛顿第二定律

2.1.1 实验仪器

气垫导轨是利用气源将压缩空气打入导轨的空腔内，再由导轨表面按一定规律分布的小孔中喷射出来，在导轨平面与滑行器内表面之间形成一个薄空气层——气垫，使滑行器悬浮在导轨上，滑行器在运动中只受到很小的空气粘滞阻力的影响，能量损失极小，故可以近似地看作是无摩擦阻力的运动。极大地减少了由于摩擦引起的误差，使实验结果基本上接近理论值，提高了实验精度，实验现象真实直观，效果明显。 【仪器介绍】

1

气垫导轨

气垫导轨简称气轨，是一种力学实验装置。它的结构如图所示。

1.导轨：导轨是一根长度约为1.5m平直的铝管，截面呈三角形。一端封死，另一端装有

图1 气垫导轨实验装置图 进气口，可向管腔送入压缩空气。在铝管相邻的两个侧面上，钻有两排等距离的喷气小孔，当导轨上的小孔喷出空气时，在导轨表面与滑块之间形成一层很薄的“气垫”，滑块就浮起，它将在导轨上作近似无摩擦的运动。

2.滑块：滑块由长约20cm的角铝制成，其内表面和导轨的两个侧面均经过精密加工而严密吻合。根据实验需要，滑块两端可加装缓冲弹簧、尼龙搭扣（或橡皮泥），滑块上面可加装不同宽窄的遮光片。

3.光电门：它主要由小灯泡（或红外线发射管）和光电二极管组成，可在导轨上任意位置固定。它是利用光电二极管受光照和不受光照时的电压变化，产生电脉冲来控制计时器“计”和“停”。光电门在导轨上的位置由它的定位标志指示。

除此之外，用到的主要仪器还有计时计数测速仪、电子天平。

计时计数测速仪采用国际流行的薄膜开关面板，微机处理及智能化技术。操作便捷，只需按四只操作键（转换、功能、取数、电磁铁）即可完成全部功能。与气垫导轨、自由落体仪配合使用，具有双路计时，计数功能。还没有数据存储运算功能，可直接显示实验中的速度，加速度值。

2.1.2 实验原理

牛顿第二定律是质点动力学的基本方程，给出了力F、质量m和加速度a三个物理量之间的定量关系，数学表述为F?ma。其所描述的内容，就是一个物体的加速度与其所受合外力成正比，与其本身质量成反比，且加速度的方向与合外力方向相同。为了验证牛顿第二定律，实验考虑如图1所示一个运动物体系统，系统由滑块和勾码两个物体组成，忽略空气阻力及气垫对滑块的粘滞力，不计滑轮和细线的质量等。从两个方面出发来验证牛顿第二定律。（1）系统总质量不变，研究合外力和加速度的关系；（2）合外力不变，考察总质量和加速度的关系。但事实上这样做是存在着较大误差的，实验当中不仅存在着偶然误差，还存在着系统误差。系统误差包括很多，如：空气的粘滞性阻力、细线和滑轮的质量、细线与滑轮间的摩擦力等等。本文主要借鉴验证牛顿第二定律这个实验来测量细线与滑轮间的摩擦阻力，得出修正公式。

a 如图2，调节气垫导轨水平后，将一定质量的托码

盘通过一细线经气垫导轨的滑轮与滑块相连。忽略滑块

M

T m

2

图2

与气垫导轨之间的滑动摩擦力和细线的质量，则可列出滑块系统的一组动力学方程：

?mg?T?ma??T?Ma （1）

其中M为滑块的质量，m为托码和勾码的总质量，T为细线的张力，见图2。 解方程组（1），得系统所受合外力F为：

F?mg?(M?m)a （2） mg （3）

由（2）得a?(M?m)从（2）中可见，当滑块系统质量(M?m)一定时，a?F。实验中，测量出三组在不同外力F作用下滑块的加速度值a，计算出加速度的平均值，以使结果更准确。并利用公式（3）计算出加速度的理论值，通过公式E?a理?aa理?100%，计算并分析加速度的相对误差，

另外，求出?a，?a?a理论?a。以F为横坐标，?a为纵坐标，作?a-F曲线，观察该图的特征。数据分别填入表1和表2中。

2.1.3 实验过程

（1）清洁导轨表面，检查气孔是否通畅。

（2）调节气垫导轨水平及光电计时系统正常工作

使计数器在“计时”功能下，使滑块 通过两个光电门，利用计数器“转换”键显示滑块通过两个光电门的时间和速度。使速度基本相等，即滑块做匀速运动。 （3）测量加速度

使计数器在“加速度”功能状态下，把4个勾码固定在滑块上，用细线通过滑轮和砝码盘相连，打开气源，放开滑块，测定系统加速度。

依次把滑块上的勾码移动到托码盘中，这样系统的质量不变，而作用力改变，测定不同情况下的加速度，每种情况加速度值测量三次，将测得的值填入表1中。

（4）计算出加速度的平均值，利用公式计算出加速度的理论值，得出加速度的增量和相对误差。

（5）以F为横坐标，?a为纵坐标，作?a-F图，观察图像特征，进行分析。

2.1.4 实验结果及分析

系统中两光电门之间的距离为50.0cm,滑块质量M=176.2g不变，改变勾码的质量，使其增量为5.0g,(其中托码盘质量为5.0g)。据测量，湖州地区的重力加速度g=9.794N/Kg. 表1为每增加5.0g勾码后测得的值，其中a1、a2、a3分别为三次测量得到的加速度值，a为三次测量得到的加速度的平均值。 表2中a理为经公式（3）a?m(M?m)g计算得到的加

速度理论值，?a为理论值与实验值的差值，E为加速度的相对误差。

3

数据记录和处理

表 1

勾码数 1 2 3 4 重力 F(N) 0.098 0.147 0.195 0.245 2a1(cms) 22a2(cms) a3(cms) 2a(cms) 49.99 73.46 95.21 116.19 50.04 73.61 95.17 116.23 表 2 a理(cms) 250.09 73.97 95.34 116.09 50.04 73.68 95.24 116.17 勾码数 1 2 3 4 重力 F(N) 0.098 0.147 0.195 0.245 2a(cms) ?a(cms2) 误差E 50.04 73.68 95.24 116.17 ?a理?aa理52.63 76.88 99.39 121.77 ?100%2.59 3.20 4.15 5.60 4.92% 4.16% 4.18% 4.60% ?a?a理?a，相对误差：E 以F为横坐标，?a为纵坐标，作?a-F图

由该图线可以看出，当外力增大，也就是勾码的质量逐渐增大时，?a也逐渐增大。因为勾码质量增大，导致摩擦力也增大，那么滑块的加速度就减小，其理论值不变，实际值减小，那么理论与实际的差值自然就增大了。

由表2可以看出，加速度的相对误差在4%～5%之间，由此看来，气垫导轨再精确，其系统中的误差对实验结果还是有一定影响的，不可能那么完美。实验中误差的来源是多方面的，有系统误差也有偶然误差．本文着重对气垫导轨实验中的系统误差进行分析。在保证导轨平直的前提下，对实验结果影响较大的系统误差主要是空气粘滞性阻力和滑轮与细线间的摩擦阻力，本文主要是通过实验、计算、分析等方法，首先排除空气粘滞性阻力对实验的影响，然后再通过实验，计算出细线与滑轮之间的摩擦力，作一修正。

2.2 气垫导轨实验中的系统误差

2.2.1 粘滞性阻力

4

2.2.1.1 粘滞性阻力的影响

在气垫导轨上运动的滑块,并非是一种理想的无摩擦运动,实际上是一种受到空气粘滞性摩擦阻力作用而缓慢减速的运动。该阻力是由于滑块与导轨之间的气层彼此相对运动而产生的一种内摩擦力。在许多有关气垫导轨的实验中,都忽视了这个粘滞阻力。他们的计算都是在省略这个阻力的前提下进行的，结果往往存在着一定的误差。要使实验结果更准确,必须深入分析粘滞性摩擦阻力所引起的误差并找到减小误差的方法。

2.2.1.2 减小粘滞性阻力对实验的影响

由于气轨上运动的滑块受到的空气摩擦阻力很小，如果测量精度要求不高，我们可将其忽略。如图3，今有一质量为M的滑块在倾角为?的倾斜气轨上下滑，通过计时计数测速仪测得下滑时的加速度为a，则

Ma?Mgsin? (4)

g?asin?

如果垫起导轨一端的垫块厚度为h，导轨两底角间距离为L，则

sin??hL , g?aLh (5)

我们测得a、h、L即可求得重力加速度g值。g值不确定度的传递公式为

ug?g.[(uaa)?(2图3 uLL)?(2uhh)]212 从式中我们

看到适当增加垫快的高度h值，可减小g值的不确定度。

如果测量精度要求较高，则滑块受到的空气阻力不能忽略．其阻力F和平均速度成正比，即：F?bv

上式中的比例系数b，称为粘性阻尼常量。考虑此阻力后，式(4)为

Ma?Mgsin??bv (6)

整理后，重力加速度g等于 g?MLa?bLvMh (7)

式中v为滑块下滑的平均速度，式中b可用实验的方法测得，如果滑块以速度va通过A门，

到达B门时的速度是vb，由阻力产生的速度损失?v等于?v?bsM，所以

b?M?vab??vbaS2 (8)

fN f 式中b为粘性阻尼常量， s为两光电门之间的距离，M为滑块的质量，?vab 和?vba为两个方向的速度损失。调平气轨后，测量?v时，滑块速度要小些，并且在推动时注意使之运动平稳两个方向的速度损失要很接近。我们测得a．b、v 、M、L、h即可求得重力加速

G

图4 5

度值。在这里，g值的不确定度的传递公式为

ug?[(guLL)?(2uhh)?(2Lhua)?(2LvMhub)?(2bLMhuv)?(2bLvMh2um)]212从式中我们看到适

当增加垫快的高度h值，g值的不确定度随之减小。

对图3中的滑块M进行受力分析，如图4所示，若滑块在导轨上做匀速运动，则

Gsin??f，即mgsin??f。换言之，它的重力G在与导轨平行方向上的分力与空气产生

的粘滞阻力f刚好抵消，g值的不确定度减小，那么空气产生的粘滞阻力对实验的影响也就随之排除了，大大提高了实验结果的准确性。

2.2.2 滑轮与细线间的摩擦阻力 2.2.2.1 摩擦阻力的影响

实验的系统误差中，除了空气阻力带来影响外，滑轮与细线间的摩擦力也影响着实验结果的准确性。多次实验，逐渐增高气垫导轨一端，测出滑块通过两个光电门的速度v1、v2，使得v1?v2，则表明滑块在导轨上基本能做匀速直线运动。选择这个时候的导轨一端的高度，进行实验。

系统中两光电门的实际距离为50.0cm,保持滑块质量M为176.2g不变，改变勾码m的值，其增量为5.0g,测得的加速度为a，由式（3）a?对误差公式计算相对误差E：E?a理?aa理?100%m(M?m)g计算得到加速度a理，由相

,数据如下：

表 3

m(kg) a1(cms) 2a2(cms) 2a3(cms) 2a(cms) 20.010 0.015 0.020 0.025 51.98 76.33 98.85 120.24 52.06 76.12 99.01 120.18 表 4 52.09 76.09 98.75 120.10 52.04 76.18 98.87 120.18 m(kg) a(cms) 2a理(cms) 2误差E 0.010 0.015 0.020 0.025 52.04 76.18 98.87 120.18 53.71 78.45 101.94 124.25 3.11% 2.89% 3.01% 3.28% 将表2和表4中的数据误差E对比，可以看出，空气阻力对实验结果的确存在着影响。在排除它对实验的影响后，误差从4%～5%降到了2%～4%，效果是比较明显的。但是误差并未随之消失，这主要是由于系统中的摩擦阻力（主要是细线与滑轮间的摩擦力）对实验结果

6

产生了影响。若能通过实验计算出此摩擦阻力，并作一修正，则实验结果会更精确。

2.2.2.2 摩擦阻力的测量

若滑轮与细线间的摩擦力为f，T为细绳对勾码的拉力，T'为细绳对滑块的拉力，m为勾码的质量，M为滑块的质量，则

?mg?T?ma（6） ?'?T?Ma f??T?T?T'?mg?(m?M)a （7）

系统中两光电门的实际距离仍为50.0cm,保持滑块质量M为176.2g不变，改变m的值，其增量为5.0g,以及上面测量得到的a的值，再由式（7）计算得到滑轮与细线间的摩擦阻力为f，数据如下：

表 5

m(kg) 0.010 52.04 0.0010 0.015 76.18 0.0013 0.020 98.87 0.0019 0.025 120.18 0.0030 2a(cms) f(N) 以m为横坐标，f为纵坐标，做f－m图，将图像进行曲线拟合，得图如下：

该图像拟合后得到一个f关于m的三次表达式，表达式为：

f?5?10?4

?0.08333m?6m?266.66667m （8）

23式中m的单位为kg，f的单位为N.由该表达式可以看到，在以后的气垫导轨实验中，知道了勾码的质量，便可以求出细线与滑轮间的摩擦力。

7

在该实验中有：

?mg?T?ma?'，解方程组得：mg?f?(M?m)a （9） ?T?Ma?'f??T?T?T?由（9）得：a?mg?fM?m （10）

mg?0.08333m?6m?266.66667m?5?10M?m23?4把（8）式代入（10）中，得：a?该式子即为加速度的修正公式。

3 结果与验证

结论：1.通过实验得出细线与滑轮间的摩擦阻力为f：

f?5?10?4?0.08333m?6m?266.66667m

232.加速度的修正公式为：

a?mg?0.08333m?6m?266.66667m?5?10M?m23?4

实验验证：

实验一：在该气垫导轨实验中，保持上面实验得到的导轨一端的高度不变，以排除空气粘滞阻力对实验结果的影响。并且保持两光电门的距离为50.0cm不变，滑块质量M为176.2g不变，改变勾码质量m四次，每次测量出三个加速度值，取平均值，填入表6。把勾码、滑块的质量代入加速度修正公式，计算得到加速度的值a理。将这个值和测得的实验值进行比

a理?aa'理''较，计算相对误差E，E??100%

表 6 m(kg) a1(cms) 2a2(cms) 2a3(cms) 2a(cms) 20.035 0.040 0.045 0.050

165.01 184.68 205.31 225.16 164.35 185.57 205.39 225.18 164.68 185.02 205.44 225.23 164.68 185.09 205.38 225.19 8

表 7

m(kg) 2a(cms) a理(cms) '2误差E 0.42% 0.47% 0.41% 0.46% 0.035 0.040 0.045 0.050 164.68 185.09 205.38 225.19 165.38 185.97 206.21 226.22

实验二：在该实验中，仍然保持上面实验得到的导轨一端的高度不变，并且保持两光电门的距离为50.0cm不变，改变滑块质量M四次，其增量为50.2g，保持勾码质量m为25g不变，每次测量出三个加速度值，取平均值，填入表8。把勾码、滑块的质量代入加速度修

'正公式，计算得到加速度的值a理。将这个值和测得的实验值进行比较，计算相对误差E。

表 8

M(kg) 0.1762 0.2264 0.2766 0.3268

表 9

M(kg) 0.1762 0.2264 0.2766 0.3268 a(cms) 2a1(cms) 2a2(cms) 2a3(cms) 2a(cms) 2123.76 98.93 82.44 70.71 123.77 98.99 82.49 70.65 123.81 98.99 82.45 70.68 123.78 98.97 82.46 70.68 a理(cms) '2误差E 0.89% 0.79% 0.75% 0.73% 123.78 98.97 82.46 70.68 122.69 98.19 81.85 70.17 由表7及表9中计算得到的误差数据可以明显看到，经过修正后计算得到的加速度理论值a理与实验值a几乎相等，但还存在着极小的误差。因为系统中有些误差也是不可避免的，如：空气粘滞阻力，实验中只能尽可能地排除它对实验结果的影响，要使它完全不存在，那还有一定困难。该验证实验得到的误差都小于1%，所以得到的加速度修正公式是成立的。

总之，有了该修正公式，利用其进行计算，大大提高实验的精确度。

9

'

4 总结与展望

气垫导轨拓展实验具有很强的综合性及再现性,适合做探索性的实验,有利于提高自身的动手能力和协作能力, 更有利于实践结合所学的知识来更进一步学习与探索。

本文通过在气垫导轨上探究牛顿第二定律这个实验，由加速度理论值和实验值存在偏差引出阻力对实验的影响。通过垫高导轨一端的方法，排除空气粘滞阻力对实验结果的影响。然后通过实验，计算得出滑轮与细线间的摩擦阻力，对所得数据进行曲线拟合，得到修正公式，大大提高了实验的精确度。

虽然总体来说进行得比较顺利，但在实验中也遇到了一些困难，实验中垫高气轨一端到合适高度是个关键，然而将勾码通过细线绕过滑轮，使细线固定在滑轮的凹槽中是个难点。由于实验是个人独立完成，所以在实验的过程中，细线经常滑出滑轮，我想这应该是实验中一个不足点，也是引起误差的原因之一。对于这个问题，望在以后的实验中能进行改进。 根据公式引入的系统误差的确定性和可消除性，在原有实验设备条件下，将公式引入的系统误差用计算的方法消除，不仅使测量相对不确定度有大幅度提高，而且使测量的精度和稳定性得以提高。成功地将一个传统的验证性实验改造成为综合的研究探索性实验，为大学实验提供了一个新的平台。

10

参考文献

[1] chuanan liu.College Physical Experiment[M].Tinjin Uniwersity

Press,2007,10(2):131～133.

[2] Liu Fang,Chen Gang.The result of the bend of track in the Air Track

Experiment[J].Journal of yangtze university(natural science),2004,1(1):25～27

[3] 杨述武.普通物理实验(力学及热学部分)[M].北京:高等教育出版社,2001:106～118. [4] 吴泳华,霍剑青,熊永红.大学物理实验[M].北京:高等教育出版社,2001:45～ 47,113～

119.

[5] 罗友仁.在气垫导轨上测空气黏滞系数[J].物理实验,1997,17(6):247～248. [6] 谢晓,王祝盈,顾萍萍.气垫导轨上的磁阻尼效应实验[J].物理实验,2005,25(11):45～

47. [7] 盛春荠，詹士昌.运动阻力对牛顿第二定律验证实验的影响及修正[J].大学物理实验，

2003，（2）：44～47. [8] 彭瑞明.提高牛顿第二定律实验精度的方法[J].韶关大学学报（自然科学版），1998，（3）：34～39.

[9] 杨俊才,何焰蓝.大学物理实验[M].北京:机械工业出版社,2004:50～55. [10]沈元华,陆申龙.基础物理实验[M].北京:高等教育出版社,2003:40～60. [11]费业泰.误差理论与数据处理[M].北京:机械工业出版社,2004:17～19.

致 谢

本论文自始至终在导师丁斌刚教授的亲自指导下进行。从最初的论文选题，构思到最后的定稿，各个环节丁老师都给予我细心的指引与教导，倾注了他的大量心血。丁老师治学严谨，知识广博，对科学研究一丝不苟、锲而不舍，物理思考和理论分析都很深入，能很快地抓住问题实质，并亲自逐字逐句修改文章，等等，都使我受益匪浅，将使我享用终身，特在此向丁老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！

在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议，同时还得到了许多学姐、学长的支持和帮助，在此一并致以诚挚的谢意。感谢学姐、学长在理论和实践上给予我的帮助，感谢老师在探究方面给与我许多指导和帮助，感谢学校相关的领导和老师的支持，特别还要感谢父母和亲人对我多年来的培养和支持！

在此，我向各位给予我帮助和支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！

11

参考文献

[1] chuanan liu.College Physical Experiment[M].Tinjin Uniwersity

Press,2007,10(2):131～133.

[2] Liu Fang,Chen Gang.The result of the bend of track in the Air Track

Experiment[J].Journal of yangtze university(natural science),2004,1(1):25～27

[3] 杨述武.普通物理实验(力学及热学部分)[M].北京:高等教育出版社,2001:106～118. [4] 吴泳华,霍剑青,熊永红.大学物理实验[M].北京:高等教育出版社,2001:45～ 47,113～

119.

[5] 罗友仁.在气垫导轨上测空气黏滞系数[J].物理实验,1997,17(6):247～248. [6] 谢晓,王祝盈,顾萍萍.气垫导轨上的磁阻尼效应实验[J].物理实验,2005,25(11):45～

47. [7] 盛春荠，詹士昌.运动阻力对牛顿第二定律验证实验的影响及修正[J].大学物理实验，

2003，（2）：44～47. [8] 彭瑞明.提高牛顿第二定律实验精度的方法[J].韶关大学学报（自然科学版），1998，（3）：34～39.

[9] 杨俊才,何焰蓝.大学物理实验[M].北京:机械工业出版社,2004:50～55. [10]沈元华,陆申龙.基础物理实验[M].北京:高等教育出版社,2003:40～60. [11]费业泰.误差理论与数据处理[M].北京:机械工业出版社,2004:17～19.

致 谢

本论文自始至终在导师丁斌刚教授的亲自指导下进行。从最初的论文选题，构思到最后的定稿，各个环节丁老师都给予我细心的指引与教导，倾注了他的大量心血。丁老师治学严谨，知识广博，对科学研究一丝不苟、锲而不舍，物理思考和理论分析都很深入，能很快地抓住问题实质，并亲自逐字逐句修改文章，等等，都使我受益匪浅，将使我享用终身，特在此向丁老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！

在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议，同时还得到了许多学姐、学长的支持和帮助，在此一并致以诚挚的谢意。感谢学姐、学长在理论和实践上给予我的帮助，感谢老师在探究方面给与我许多指导和帮助，感谢学校相关的领导和老师的支持，特别还要感谢父母和亲人对我多年来的培养和支持！

在此，我向各位给予我帮助和支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！

11

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库气垫导轨实验中的误差分析与计算在线全文阅读。