概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1

解 设以Ai(i=1,2,?8)表示事件“第i个人取到的是红球”。则又因A2=A1A2?A1A2，由概率的全概公式得

P(A1)?14

P(A2)?P(A1A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2|A1)?P(A1)?P(A2|A1)?类似地有

62211????87874

19．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少？

解 设A，B分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为

P(Ai)?14(i?3,4,?,8)P(ABA?B)?P(AB)P(A?B)?P(AB)1?P(AB)?A42A102(1?A62A102)?15

20．对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为0．9，达到600#的概率为0.3，现取一水泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。

解 设A表示事件“水泥达到500#”， B表示事件“水泥达到600#”。 则 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又 B?A ,即P(AB)=0.3,所以

21．以A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知 P（A）＝0.35，P（B）＝0.30，并知条件概率为P（A?B）＝0.15，试求： （1）两个区同时发生停止供水事件的概率； （2） 两个区至少有一个区发生停水事件的概率。 解 （1） 由题设，所求概率为 （2） 所求概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.35?0.30?0.045?0.605。

22．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球、，m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取－只球。问取到白球的概率是多少？

解

设A1、A2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则

P(BA)?P(AB)P(A)?0.30.9?13。

P(AB)?P(B)P(AB)?0.3?0.15?0.045；

由全概率公式

n?m

N?1P(A2|A1)?N?M?1

P(A1)?nP(A1)?mn?m

NN?M?1

P(A2|A1)? 6

P(A2)?P(A2|A1)P(A1)?P(A2|A1)P(A1)??N?1N?M?1n?mmN?n(N?1)(N?M?1)(n?m)?n?NN?M?1m?n?m

23．盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。

解 设Bi(i?0,1,2,3)表示事件“第一次比赛时用了i个新球”，用A表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球”。则有

P(Bi)?

C9C3C312i3?i,P(ABi)?C9?iC12。

333P(A)?由全概公式有

?i?0P(Bi)P(ABi)??C9C3C9?i(C)3122i3?i3?4413025?0.416。

24． 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0．02．而B被误收作A的概率为0．01．信息A与信息B传送的频繁程度为2：l．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解 设事件H表示原发信息为A，C表示收到信息为A，则H表示原发信息是B。H，H是S的一个划分。依题意有

P(H)?由贝叶斯公式有

23,P(H)?13,P(C|H)?0.98,P(C|H)?0.01

P(H|C)?P(H|C)P(H)P(C|H)P(H)?P(C|H)P(H)0.98??0.98?232313?196197?0.01?

25．甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。

解 设

A1,A2,A3分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”

，B表示事件“加工的零件是废品”。

则

P(BA1)?0.01,P(BA2)?0.02,P(BA3)?0.03

P(A1)?47,P(A2)?27,P(A3)?17

P(A2B)?P(A2)P(BA2)P(B)?2?0.02/7(4?0.01?2?0.02?1?0.03)/7?0.040.04?0.04?0.03?411

P(A2B)?1?P(A2B)?1?所以

411?711。

26．有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中 7

任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解 设事件A表示“取到第一箱”，则A表示“取到第二箱”，B1，B2分别表示第一、二次取到一等品。 （1）依题意有：

P(A)?P(A)?由全概率公式

12，

P(B1|A)?1050?15，

12P(B1|A)?1830?35

P(B1)?P(B1|A)P(A)?P(B|A)P(A)?10?950?49

P(B1B2|A)?1（2）

由全概率公式

P(B1B2|A)?518?17??35?12?25

30?29

913?1712

5?4925?29P(B1B2)?93?17?12P(B2|B1)??????/?0.4856P(B1)5?29?25?5?49∴

C为取到4或1，试验证

P（AB）＝P（A）P（B）， P（BC）＝P（B）P（C）， P（CA）＝P（C）P（A〕， P（ABC）?P〔A〕P（B）P（C）。

证 样本空间?中有4个样本点，而A、B、C中均含有2个样本点，故

P(B1B2)?P(B1B2|A)P(A)?P(B1B2|A)P(A)????27．设有四张卡片分别标以数字1，2，3．4．今任取一张．设事件A为取到4或2，事件B为取到4或3，事件

42

又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到4”

P(AB)?P(AC)?P(BC)?故

P(A)?P(B)?P(C)?2?114

4 ∴

同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 又ABC中有1个样本点取到4

P(ABC)?∴

P(AB)?P(A)P(B)?114?18?P(A)?P(B)?P(C)

28．假设B1,B2关于条件A与A都相互独立，求证

P(AB1B2)?P(AB1)P(B2A)P(AB1)P(B2A)?P(AB1)P(B2A)

证 由B1,B2关于条件A与A是相互独立的，故有

P(B1B2A)?P(B1A)?P(B2A),P(B1B2A)?P(B1A)?P(B2A)，以及

P(A)P(B1A)?P(AB1)?P(B1)P(AB1)，从而

8

P(AB1B2)?P(A)P(B1A)P(B2A)P(A)P(B1A)P(B2A)?P(A)P(B1A)P(B2A)P(B1)P(AB1)P(B2A)P(B1)P(AB1)P(B2A)?P(B1)P(AB1)P(B2A)P(AB1)P(B2A)P(AB)P(BA)?P(AB)P(BA)??1212

29．如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在C

发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0．96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0．9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。

解 设n只开关并联，以 Ai表示事件“在C发生时，第i只开关闭合“，则由已知条件诸Ai相互独立，且P(Ai)=0.96，从而知，当n=2时，系统的可靠性为

P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2)?1?(1?0.96)?0.9984又若使系统可靠性至少为0.9999，则必须

nnnnn2

0.9999?P(?Ai)?1?P(?Ai)?1?P(?Ai)?1?[P(Ai)]?1?(0.04)i?1i?1i?1

n?lg(1?0.9999)lg0.04?2.86即

故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。

30．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解 设

A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中飞机，Bi(i?0,1,2,3)表示有i个人击中飞机，H表示飞机被击落。

则

A1,A2,A3独立，且

B0?A1A2A3,B1?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3B3?A1A2A3

B2?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3,于是

P(B0)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09

P(B1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36 P(B2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41

P(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14

依题意有：

P(HB0)?0,P(HB1)?0.2,P(HB2)?0.6,P(HB3)?1

于是，由全概公式有

P(H)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458。

9

31．在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。

解 由题设知，取一个非白球的概率 p=11/17，于是

b(3;5,11/17)?C5(11/17)(6/17)332?0.3375。

若视 11/17?0.65，则可查表得 b(3;5,11/17)?b(3;5,0.65)?0.3364。

32．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概率。 解 设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”，则A的概率为p=0.2,q=0.8。 考察三个灯泡可视为n=3 的贝努利试验，于是所求概率为 P?C3pq

33．某地区一年内发生洪水的概率为0.2，如果每年发生洪水是相互独立的，试求：

（1） （2）

洪水十年一遇的概率； 至少要多少年才能以99%

以上

330?C3pq?(0.2)?3?(0.2)?0.8?0.104。

2232解 这是贝努利概型， p=0.2.

(1)

n=10,设A表示事件“洪水十年一遇”，则

199P(A)?C10p(1?p)?10?0.2?(0.8)?0.2684

n （2）由题设，即要 1?(0.8)?0.99 成立，解此不等式得 n?21， 即至少要21年才能以99%

以上

34． 在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%，乙组断桩的概率为1.2%。某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：

（1） （2）

产生断桩的概率是多少？ 甲组断两根的概率是多少？

解 设A表示事件“所打桩是甲组的”，B表示事件“所打桩是乙组的”， C表示事件“在打桩施工中产生断桩”。

则

P(CA)?0.03,P(CB)?0.012,P(A)?5/15,P(B)?10/15。

（1） 由全概公式有

P(C)?P(A)P(CA)?P(B)P(CB)?0.018p?P(CA)?0.03,n?523；

（2） 是贝努利概型，这里

223，于是所求概率为

P?C5p(1?p)?10?(0.3)?(0.97)?0.0082。

35． 某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为

?apn?Pn??ap1??1?p?n?1,n?0.

10

0?p?1,0?a? 其中

1?pp,若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的,求证:一天孵出k只母鸡的概率

2aPk(2?p)k?1,又已知一天已孵出母鸡,问还能孵出一只公鸡的概率是多少?

证 设Ak是表示事件“一天中孵出k只母鸡”，Bn是表示事件“一天中孵出n只小鸡”，

k1k1n?kk1nP(AkBn)?Cn()()?Cn()222。 则Bn是互不相容事件，且P(Bn)?Pn，

（1）k?1

??nk1napCn()2P(Ak)??n?kP(Bn)P(AkBn)?k?n?kn!pn?k1k11(k)?a()()?a()()?2k!n?k(n?k)!22k!1?x?a()k?12k!(1?x)1k11?x?p211

x?p2?2apkk?1(2?p)

（2）某天已孵出一只母鸡，即A1发生，在此条件下还孵出一只公鸡，即B2发生，因此所求概率为

112C2()apP(A1B2)P(B2)2P(B2A1)??2apP(A1)2?p(2?p)42(2?p)2

11

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