高数上册知识点

高等数学（上）知识点

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第一章 函数与极限 （一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函

数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；

f(x)?f(x0)函数f(x)在x0连续 xlim?x0

第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定

理及其推论。

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限

limxn?a????0, ?N??, ?n?N, xn?a??

n??2） 函数极限

x?x0limf(x)?A????0, ???0, ?x, 当 0?x?x0?? 时， f(x)?A??

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??f(x)?limf(x)f(xf(x) 左极限： 右极限：00)?lim??x?xx?x00x?x0??limf(x)?A 存在 ?f(x0)?f(x0)

2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）2）

yn?xn?zn(n?n0)

limyn?limzn?a limxn?a

n??n??n??2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量

1） 定义：若lim??0则称为无穷小量；若lim???则称为无穷大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 Th1 ?~??????o(?);

?????存在，则 lim?lim（无穷小代换） Th2 ?~??,?~??,lim?????4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；

3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：

1sinx1xxlim?1lim(1?x)?lim(1?)?e a) x?0 b)x?0x???xx5） 无穷小代换：（x?0）

a) x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx

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12b) 1?cosx~x

2c) e?1~x （a?1~xlna）

xxxlog(1?x)~1?x)~x （ad) ln(lna）

e)

第二章 导数与微分 （一） 导数

1、 定义：f?(x0)?xlim?x0(1?x)??1~?x

f(x)?f(x0)

x?x00左导数：f??(x0)?xlim?x?右导数：f??(x0)?xlim?x?0f(x)?f(x0)

x?x0f(x)?f(x0)

x?x0函数f(x)在x0点可导?f??(x0)?f??(x0)

2、 几何意义：

f?(x0)为曲线y?f(x)在点?x0,f(x0)?处的切线的斜率。

3、 可导与连续的关系： 4、 求导的方法

1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；

4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导；

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7） 对数求导法。 5、 高阶导数

d2yd?dy???? 1） 定义：2dxdx?dx?2）

(n)k(k)(n?k)??uv?C?nuv Leibniz公式：

k?0n（二） 微分

1） 定义：?y?f(x0??x)?f(x0)?A?x?o(?x)，其中A与?x无关。

f?(x0)?x?f?(x0)dx

2） 可微与可导的关系：可微?可导，且dy?

第三章 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理

1、 Rolle定理：若函数f(x)满足：

1）f(x)?C[a,b]； 2）f(x)?D(a,b)； 3）f(a)?f(b)；

则???(a,b),使f?(?)?0.

2、 Lagrange中值定理：若函数f(x)满足：

1）f(x)?C[a,b]； 2）f(x)?D(a,b)； 则???(a,b),使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).

3、 Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足：

F?(x)?0,x?(a,b) 1）f(x),F(x)?C[a,b]； 2）f(x),F(x)?D(a,b)；3）

f(b)?f(a)f?(?)?则???(a,b),使

F(b)?F(a)F?(?)

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（二） 洛必达法则

注意:1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！如：1?x2?cosxlimx?0tan4x2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用洛必达法则！?a?b??如：lim??n???2??nnn

（三） Taylor公式

n阶Taylor公式：

f??(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2??2!(n?1)f(n)(x0)f(?)n ?(x?x0)?(x?x0)n?1n!(n?1)!

?在x0与x之间.

当x0?0时，成为n阶麦克劳林公式：

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f?(0)f??(0)2f(n)(0)nf(n?1)(?)n?1f(x)?f(0)?x?x???x?x

1!2!n!(n?1)!?在0与x之间.

常见函数的麦克劳林公式：

?11ex2nn?1e?1?x?x???x?x1）

2!n!(n?1)!?在0与x之间，???x???；

???sin???(2m?1)?3572m?1xxxx2?2m?1?m?1sinx?x??????(?1)?x2）

3!5!7!(2m?1)!(2m?1)!?在0与x之间，???x???；

???cos??2m?2m?2?x2x4x6x2???x2mm?1cosx?1??????(?1)?3）

2!4!6!(2m?2)!(2m)!?在0与x之间，???x???；

nnn?1x2x3x4x(?1)xn?11?x)?x??????(?1)?4）ln(234n(n?1)(1??)n?1??在0与x之间，?1?x?1

?(??1)2?(??1)(??2)3?(??1)?(??n?1)nx?x???x 5）(1?x)?1??x?2!3!n!??(??1)?(??n)(1??)??n?1(n?1)!xn?1，

?在0与x之间，?1?x?1.

（四） 单调性及极值

1、 单调性判别法：f(x)?C[a,b]，f(x)?D(a,b)，则若f?(x)?0，则f(x)第 6 页 共 14 页

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单调增加；则若f?(x)?0，则f(x)单调减少。 2、 极值及其判定定理：

a) 必要条件：f(x)在x0可导，若x0为f(x)的极值点，则f?(x0)?0. b) 第一充分条件：f(x)在x0的邻域内可导，且f?(x0)?0，则①若当x?x0时，f?(x)?0，当x?x0时，f?(x)?0，则x0为极大值点；②若当x?x0时，f?(x)?0，当x?x0时，f?(x)?0，则x0为极小值点；③若在x0的两侧

f?(x)不变号，则x0不是极值点。

c) 第二充分条件：f(x)在x0处二阶可导，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，则

①若f??(x0)?0，则x0为极大值点；②若f??(x0)?0，则x0为极小值点。

3、 凹凸性及其判断，拐点

x1?x2f(x1)?f(x2))?1）f(x)在区间I上连续，若?x1,x2?I, f(，则称f(x)在22区间I 上的图形是凹的；若?x1,x2?I, f(区间I 上的图形是凸的。

2）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则 a) 若?x?(a,b),f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； b) 若?x?(a,b),f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

3）拐点：设y?f(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线y?f(x)经过点(x0,x1?x2f(x1)?f(x2))?，则称f(x)在22f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点。

（五） 不等式证明

1、 利用微分中值定理； 2、 利用函数单调性；

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3、 利用极值（最值）。 （六） 方程根的讨论

1、 连续函数的介值定理； 2、 Rolle定理； 3、 函数的单调性； 4、 极值、最值； 5、 凹凸性。 （七） 渐近线

f(x)??，则x?a为一条铅直渐近线； 1、 铅直渐近线：limx?af(x)?b，则y?b为一条水平渐近线； 2、 水平渐近线：limx??f(x)?klim[f(x)?kx]?b存在，则y?kx?b为一条斜 3、 斜渐近线：limx??x??x渐近线。

（八） 图形描绘 步骤 :

1. 确定函数y?f(x)的定义域，并考察其对称性及周期性； 2. 求f?(x),f??(x)并求出f?(x)及f??(x)为零和不存在的点； 3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点; 4. 求渐近线;

5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .

第四章 不定积分 （一） 概念和性质

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1、 原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F?(x)?f(x)，则F(x)称为

f(x)的一个原函数。

2、 不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在

区间I上的不定积分。

3、 基本积分表（P188，13个公式）； 4、 性质（线性性）。

（二） 换元积分法

1、 第一类换元法（凑微分）：

2、 第二类换元法（变量代换）：

?f[?(x)]??(x)dx???f(u)du?u??(x)

?f(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?t???1(x)

（三） 分部积分法：

?udv?uv??vdu

（四） 有理函数积分 1、“拆”；

2、变量代换（三角代换、倒代换等）。

第五章 定积分 （一） 概念与性质：

1、 定义：

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

??0i?1n2、 性质：（7条）

性质7 （积分中值定理） 函数f(x)在区间[a,b]上连续，则???[a,b]，使

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?

baf(x)dx?f(?)(b?a) （平均值：

?f(?)?baf(x)dxb?a）

（二） 微积分基本公式（N—L公式） 1、 变上限积分：设?(x)??xaf(t)dt，则??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x) 推广：?dx?(x)2、 N—L公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：

?baf(x)dx?F(b)?F(a)

?baf(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

??2、 分部积分法：（四） 反常积分 1、 无穷积分：

?udv??uv???vdu aababb?????abf(x)dx?lim?f(x)dx

t???at????f(x)dx?lim?f(x)dx

t???t0b??f(x)dx????f(x)dx????0f(x)dx

2、 瑕积分：

??babf(x)dx?limf(x)dx（a为瑕点） ??t?atbaf(x)dx?limf(x)dx（b为瑕点） ??t?bat第 10 页 共 14 页

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两个重要的反常积分：

???, p?1??dx???a1?pp?1) ax, p?1 ??p?1?(b?a)1?q, q?1bb?dxdx2) ?a(x?a)q??a(b?x)q??1?q????,

第六章 定积分的应用 （一） 平面图形的面积

b1、 直角坐标：A??a[f2(x)?f1(x)]dx

2、 极坐标：A?1?2??[?22(?)??21(?)]d?第 11 页 共 14 页

q?1

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（二） 体积

1、 旋转体体积：

a)曲边梯形y?f(x),x?a,x?b,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：

Vx???f2(x)dx

ab b)曲边梯形y?f(x),x?a,x?b,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：

Vy??2?xf(x)dx （柱壳法）

ab2、 平行截面面积已知的立体：V?（三） 弧长

1、 直角坐标：s??2、 参数方程：s?3、 极坐标：s??

第七章 微分方程 （一） 概念

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?A(x)dx

a2bba1??f?(x)?dx

22????(t)????(t)?dt

???????(?)?2????(?)?2d?

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1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。

通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。

（二） 变量可分离的方程

g(y)dy?f(x)dx，两边积分?g(y)dy??f(x)dx

（三） 齐次型方程

dyyydydu??()，设u?，则?u?xdxxxdxdx； dxxxdxdv??()，设v?，则?v?y 或dyyydydy（四） 一阶线性微分方程

dy?P(x)y?Q(x) dx?y?e用常数变易法或用公式：

（五） 可降阶的高阶微分方程

1、y(n)?P(x)dx?Q(x)e?P(x)dxdx?C??????

?f(x)，两边积分n次；

2、y???f(x,y?)（不显含有y），令y??p，则y???p?；

dp3、y???f(y,y?)（不显含有x），令y??p，则y???pdy

（六） 线性微分方程解的结构

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1、y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1?C2y2也是；

2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1?C2y2是方程的通解；

*y?Cy?Cy?y3、为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的1122线性无关的解，y非齐次方程的特解。

（七） 常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程：

*y???py??qy?0

通 解 122r特征方程：?pr?q?0，特征根： r1,r2

特征根 rxrr?r2 y?C1e?C2e实根 1x r1?r2??

p2 y?(C1?C2x)er1xr1,2???i?y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) （八） 常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)

1、

f(x)?ePm(x)

?x?0, λ不是特征根??*k?xk??1, λ是一个单根 设特解y?xeQm(x)，其中

???2, λ是重根2、

f(x)?e?x?Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x?

*k?x(1)(2)y?xeR(x)cos?x?R设特解mm(x)sin?x??，

??0, ???i不是特征根l, n}，k??其中 m?max{

??1, ???i是特征根第 14 页 共 14 页

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