第二节 收敛数列的性质

西南大学 数学与统计学院 《数学分析》教案

§2 收敛数列的性质（3学时）

教学目的与要求

1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.

2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.

3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.

教学重点与难点:

重点: 收敛数列的性质.

难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. 讲授内容

在前面，我已经讲过极限理论是数学分析的核心，贯穿在数学分析的全部内容中。后面要学的函数的连续性，函数的导数，积分，广义积分，级数等都和极限密不可分，整个数学分析可以说就是研究各种形式的极限的。希望全体同学对这一部分知识的学习应引起高度重视。

在上一次课，我们已经学习了数列极限的定义。请大家一起来回顾一下（叙述教材定义）

liman?a????0，?N，?n?N，使得an?a??.

n??在这个定义中，同学们要注意以下问题：

其一 定义中的?是误差error的第一个字母的大写，是用来衡量an逼近a的程度的，它具有二重性，即可固定，又可以变化。当?固定时 ，逼近的程度也就确定了，当?不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻划出来了。?愈小，表示an与a接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制，正说明an与a能接近到任何程度。另外，由于?是任何正数，因此定义中不等式右边可用2?，3?，?2,?等代替

其二 定义中的N只要求存在，不要求唯一，一旦合乎定义中的N找到了，用比它大的任何自然数来代替均可，即N具有可大性。N只管后不管前，即大于N的自然数 n要无一例外地满足不等式an?a??，或者说从第N?1项起an都要进入a的?邻域U(a,

?)中，至于小于N的自然数，则无此要求，这即是说 ?an?最多只有N项在U(a, ?)之

外。

其三 ?，N的关系：?是预先给定的具有独立性，N存在于后，一般依?而定，具有依赖性（ 一般N随?变小而变大）。常记为N(?)，强调N依赖于?。 由于?的既固定又变化，N的存在与管后，就使得极限定义中看似静态的，定量的一 些不等式，能够表达动态的，定性的两个无限及其关系，从而使极限概念得以精确化。

如何给出数列{an}不收敛于a的正面陈述： liman?a???0?0，?N，?n0?N，使得an0?a??0.

n??

在第一节里同学们除了要认真掌握理解数列极限的定义外，还要掌握利用数列极限的分析定义去证明（或验证）某数列{an}收敛于a。即对每一个给定的正数?，证明存在一个正整数N，使它满足下列要求：

当n?N时，不等式an?a??成立。

1

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这是基本功。在由不等式an?a??求N时，请同学们注意采用“适当放大法”。

在学习了数列极限的基本概念后，我们将要对收敛数列作进一步的研究。这就是今天要学习的新课： 介绍

§2 收敛数列的性质

在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考虑该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两个基本问题。

本节我们将介绍收敛数列的一些基本性质，主要是唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则等。这些性质对我们研究数列极限的存在性及极限的计算是有非常大的帮助。

希望同学们要认真掌握这些性质，不仅要记住结论，学会使用，还应当学习它们的证明方法。因为这些证明的基本方法在数学分析中是非常有用的。学会了这些方法才能说真正懂得了数列收敛的定义和实质。另外，学习数列极限的这些性质对我们在第三章学习函数极限的性质时是有直接帮助的。下面具体介绍。

定理2．1 (唯一性) 若数列{an}收敛，则它只有一个极限．

证法一 设a和b为{xn}的两个极限，下证a?b。若a?b，不妨设a?b， b?a?0取?0?（为什么？使a的?0邻域和b的?0邻域不相交），由a是{an}的极限定义知，2?正整数N1，当n?N1时，有

b?aan?a??0?

2即有，

b?a (1) 2由b是{an}的极限定义知，?正整数N2，当n?N2时，有

b?aan?b??0?

2an?即有，

b?a (2) 2令N?max?N1,N2?，当n?N时，（1），（2）同时成立。矛盾。 故a?b。

an?

证法二 设a和b为{an}的两个极限，下证a?b。

由极限的定义，对???0，必分别?正整数N1,N2，当n?N1时，有

an?a? 当n?N2时，有 an?b??2 (3) (4)

?2令N?max?N1,N2?，当n?N时，（3），（4）同时成立。现考虑：

2

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a?b?(an?b)?(an?a)?an?b?an?a??2??2??

由于a,b均为常数?a?b，所以{an}的极限只能有一个。

例1 证明数列{an}，an?(?1)n是发散的。

[注：在第一节已经证明过，现给出另一证明方法]

证 （反证法）假设{an}收敛，由唯一性，设liman?a，按定义，对??n??1,?正整数2考

虑

N

，当

n?N 时，

an?a???12，

an?1?an?an?1?a?an?a?11??1，而an，an?1总是一个是“1”，一个是22“?1”，所以an?1?an?2,矛盾。 所以数列{an}，an?(?1)n 发散。

在前面，我们介绍了数列有界的概念，请同学们回顾。下面讨论数列收敛与有界的关 系。

再回顾liman?a的几何意义。任给??0，在U(a,?)内含数列的几乎所有项，在

n??U(a,?)之外数列?an?中的项至多只有有限个。可猜得收敛数列必为有界数列，下面给出

定理2．2(有界性) 若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有

|an|?M.

证 设liman?a，取??1，存在正整数N，对一切n?N有

n?? |an?a|?1, ，而 an?a?|an?a|， 从而 an?a?1. 记 M?max{|a1|,|a2|,|aN|,a?1}

则对一切正整数n都有an?M．

数列收敛是数列有界的充分条件，数列有界是数列收敛的必要条件。数列有界是否也是数列收敛的充分条件呢？否 反例如例1。有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。

由定理2．2得 ：若数列{an}无界，则数列{an}一定发散。这是判定数列发散的一个方法之一。请大家注意。例如 {(?1)nn2}发散。

思考：若数列{an}收敛，则在此数列中一定有最大数或最小数，但不一定同时有最大 数和最小数。

证明方法与收敛数列的有界性定理的证明方法几乎是相同的。

证 设liman?a。若此数列的每一项都等于a，则已不必讨论。否则，设数列的某

n??一项am?a，若有am?a，则取??am?a，由liman?a知，存在正整数N，使得当

n??n?N时成立an?a??，即n?N时，an?am。由于有??am?a，显然m?N。令

M?max{a1,a2,列有最小数。

,aN},则M是数列{an}的最大数。类似地可以证明，在am?a时，数

1n 不同时存在最大数和最小数的收敛数列的例子是很多的。例如数列{}收敛于0，它有

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最大数，但没有最小数。

定理2.3 (保号性) 若liman?a?0n??(或?0)，则对任何a??(0,a) (或

a??(a,0))，存在正数N，使得当n?N时有an?a?(或an?a?)．

证 设a?0．取??a?a?(?0)，则存在正整数N，使得当n?N时有

an?a???a?，

这就证得结果．对于a?0的情形，也可类似地证明． 注 在应用保号性时，经常取a??

思考：若liman?a?0，则存在正整数N，使得当n?N时有

n??a. 2a2?an?3a2。

定理2.4 (保不等式性) 设?an?与?bn?均为收敛数列．若存在正整数N0，使得当

n?N0时，有an?bn，则liman?limbn.

n??n?? 证法一 设liman?a, limbn?b。

n??n??任给??0,分别存在正整数N1与N2，使得当n?N1时，有

a???an， （5）

当n?N2时有

bn?b??. (6)

取N?max?N0,N1,N2?，则当n?N时，按假设及不等式(5)和(6)有

a???an?bn?b??,

由此得到a?b?2?.由?的任意性推得a?b，即liman?limbn.

n??n?? 证法二 设liman?a, limbn?b，下证a?b.若a?b.取?0?n??n??a?b?0， 2由liman?a知，?自然数N1，当n?N1时，有

n??an?a??0?即有，

a?b 2b?a (7) 2由limbn?b知，?自然数N2，当n?N2时，有

an?n??bn?b??0?即有，

a?b 2b?a (8) 2令N?max?N0,N1,N2?，当n?N时，an?bn及（7），（8）同时成立。这不可能。

bn?故a?b，即liman?limbn.

n??n??

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思考：如果把定理2.4中的条件an?bn换成严格不等式an?bn，那么能否把结论换成liman?limbn?，并给出理由 .

n??n??

思考：设liman?a，limbn?b，且a?b. 证明：存在正整数N，使得当n?N时，

n??n??有an?bn. （保序性）

a?ba?b?b. 因为liman?a?，由保号性定理2.4，存在

n??22a?ba?b. 又因为limbn?b?，所以，又存在N1?0，使得当n?N1时有an?n??22a?b. 于是取N?max{N2?0，使得当n?N2时有bn?N1,N2}，当n?N时，有2a?ban??bn.

2证 由a?b，有a?

例2 设an?0?n?1,2,??．证明：若liman?a,则liman?n??n??a.

证 由定理2.4可得a?0.

若a?0，则由liman?0，任给??0，存在正整数N，使得当n?N时有an?

n???2，从而an??即an?0??,故有liman?0.

n??若a?0，则有

an?a?n??an?aan?a?an?aa.

任给??0，由liman?a，存在正数N，使得当n?N时有

an?a?a?,

从而

an?a??．故liman?a.

n?? 定理2.5 (迫敛性) 设收敛数列?an??,bn?都以a为极限，数列?cn?满足：存在正整数

N0，当n?N0时有

an?cn?bn， (9) 则数列?cn?收敛，且limcn?a．

n??n?? 证 任给??0，由liman?limbn?a，分别存在正整数N1与N2，使得当n?N1时

n??有

a???an， (10) 当n?N2时有

bn?a??． (11) 取N?max?N0,N1,N2?,，则当n?N时,不等式(9)、(10)、(11)同时成立，即有

a???an?cn?bn?a??．

从而有cn?a??，这就证得所要的结果．

定理2．5不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具．

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?1?11???例3 求极限：lim?? 222n??n?2n?n??n?1n111解 因为??????2222n?nn?1n?2n?nn1且lim?lim?1，

2n??n??1n?n1?n?1?11???1 ????所以 lim?222n???n?2n?n??n?1 例4 求数列{nnn?12?nn2?1，

n}的极限．

n 解 记an?nn?1?hn，这里hn?0?n?1?，则有n??1?hn??由上式得 0?hn?n?n?1?2hn. 22?n?1?，从而有 n?11?an?1?hn?1?2. (12) n?1?数列?1??时有1?22??是收敛于1的，因对任给的??0，取N?1?2，则当n?N n?1??2?1??．于是，不等式(12)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛性证得n?1limnn?1．

n??

思考：1、 设an?cn?bn,n?1,2,n ，又已知 lim(bn?an)?0，问数列?cn?是否收敛？

n?? （取an?(?1),cn?(?1),bn?(?1)? 2、设an?c?bn,n?1,2, （ 正确 ）

3、设an?c?bn,n?1,2,（否 an?1?n??1但?cn?发散） n，且lim(bn?an)?0，问limbn?liman?c成立吗？

nnn??n??，且lim(bn?a)问limbn?liman?c成立吗？ n存在，

n??n??n??11,c?2,?(?1)n,bn?3?） nnn?a. ?k???max?a1,a2,?,ap?n???k?1?思考：设ak?0,k?1,2,?,p.证明：lim??证：M?maxa1,a2,n1np?p1n?,ap?，则有

1nn1?n?nn M??M????ak??(pM)??k?1? 故由np?1(n??)及迫敛性即得结论。pM，

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思考：设liman?a，证明：

n??[nan]?a； （2）若a?0,an?0，则limnan?1.

n??n??nnan?1[nan]??an. 由于证（1）因为[nan]?nan?[nan]?1，所以

nn[nan]na?11???a. limn?lim?an???a，且liman?a，从而limn??n??n??n??nnn??a3（2）因为 liman?a?0，存在N?0，使得当n?N时，有?an?a. 于

n??22an3a3是 n?an?na，并且limn?limna?1，所以limnan?1.

n??n??222n??2（1）lim 在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则．

定理2．6(四则运算法则) 若?an?与?bn?为收敛数列，则?an?bn?，{an?bn}，

?an.bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn，

n??n??n??lim?an.bn??liman.limbn.

n??n??n??特别当bn为常数c时有

lim?an?c??liman?c, limcan?climan.

n??n??n??n??若再假设bn?0及limbn?0，则?n???an??也是收敛数列，且有 b?n?ananlimn??. lim?n??blimbnnn??证 由于an?bn?an???1?bn及

an1?an.，因此我们只须证明关于和、积与倒数bnbn运算的结论即可.

设liman?a,limbn?b,则对任给的??0,分别存在正整数N1与N2，使得

n??n??an?bn??,当n?N1, bn?b??,当n?N2.

取N?max?N1,N2?,则当n?N时上述两不等式同时成立，从而有

n??1．?an?bn???a?b??an?a?bn?b?2??lim?an?bn??a?b.

2． anbn?ab??an?a?bn?a?bn?b??an?abn?abn?b. 由收敛数列的有界性定理，存在正数M，对一切n有bn?M.于是，当n?N时有

anbn?ab??M?a??.

由?的任意性，得limanbn?ab.

n?? 3．由于limbn?b?0,根据收敛数列的保号性，存在正整数N3，则当n?N3时有

n??bn?

1b.取N??max?N2,N3?,则当n?N?时有 27

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11bn?b2bn?b2?????2 bnbbnbb2b11由?的任意性，这就证得lim?.

n??bbn 例4 求

amnm?am?1nm?1???a1n?a0， limk?1n??bnk?b???b1n?b0kk?1n其中m?k，am?0,bk?0．

解 以n?k同乘分子分母后，所求极限式化为

amnm?k?am?1nm?1?k???a1n1?k?a0n?k lim.

n??bk?bk?1n?1???b1n1?k?b0n?k??当??0时有limn?0.于是，

n??当m?k时，上式除了分子分母的第一项分别为am与bm外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于

am； bm当m?k时，由于nm?k?0?n???，故此时所求的极限等于0．综上所述， 得到

?aamnm?am?1nm?1???a1n?a0?m,k?m,lim??bm kk?1bkn?bk?1n???b1n?bn??0,k?m.an,其中a??1. 例5 求limnn??a?1an1?; 解 若a?1,则显然有limnn??a?12n若a?1,则由lima?0得

n??anlimn?limanlimliman?1?0 n??a?1n??n??n??若a?1,则

??anlimn?limn??a?1n??例6求limnn??11?1an?1?1. 1?0?n?1?n.

?

nx?n?x思考：求limx 。

n??n?n?x思考：设liman 存在，若limbn?0 ，则liman?0。

n??n??n??bn 8

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思考：判断正确与否：若?an?收敛，则成立lim(an?1?an)?0和limn??an?1?1。

n??an思考：若?an?an?1?和?an?an?2?都收敛，证明?an?收敛。

（ 由?an?an?1?收敛，得?an?1?an?2?收敛，再由?an?an?2?收敛，得?an?an?1?收敛，

从而?an?收敛。）

思考：若?an?与?bn?为收敛，则

limmax{an,bn}?max{liman,limbn}，

n??n??n??limmin{an,bn}?min{liman,limbn}。

n??n??n??思考：

最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理． 定义1 设?an?为数列，?nk?为正整数集N?的无限子集，且n1?n2???nk??,则数列

称为数列?an?的一个子列,记为{ank}.这就是说取数列?an?的第n1项作为子列的第一项，取?an?的第n2项作为子列的第二项，

注1 由定义1可见，?an?的子列ank的各项都选自?an?，且保持这些项在?an?中的先后次序．不等式nk?k对一切k成立．例如n3?2是不可能的，也就是说取数列的第2项作为子列的第三项是不可能的。

例如，子列?a2k?由数列?an?的所有偶数项所组成，而子列?a2k?1?则由?an?的所有奇数项所组成．又?an?本身也是?an?的一个子列，此时nk?k，k?1,2，?.

注2 数列?an?本身以及?an?去掉有限项后得到的子列，称为?an?的平凡子列；不是平

an1,an2,?,ank,?

??，?an?中的第nk作为子列的第k项，

。

凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列．例如?a2k?和?a2k?1?都是?an?的非平凡子列．数列?an?与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限． 定理2．7 数列?an?收敛的充要条件是：?an?的任何非平凡子列都收敛．

n?? 证 必要性 设liman?a，ank是?an?的任一子列．任给??0，存在正数N，使得当k?N时有ak?a??．由于nk?k，故当k?N时更有nk?N，从而也有

??ank?a??，这就证明了ank收敛(且与?an?有相同的极限)．

充分性 考虑?an?的非平凡子列?a2k?，?a2k?1?与?a3k?．按假设，它们都收敛．由于

??{a6k}既是?a2k?，又是?a3k?的子列，故由刚才证明的必要性，

lima2k?lima6k?lima3k． （13）

k??k??k??又?a6k?3?既是?a2k?1?又是?a3k?的子列，同样可得

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lima2k?1?lima3k. （14）

k??k??(13)式与(14)式给出

lima2k?lima2k?1.

k??k??所以由上节例6可知?an?收敛。

思考： 数列{an}收敛的充要条件是：{a2k?1}和{a2k}都收敛且极限相等。 证 必要性 设liman?a。任给??0，存在正整数N?1，使得当k?N时有

n??ak?a??．因此，当k?N时，有2k?1?N,2k?N，从而有

a2k?1?a??,k??a2k?a??，

故lima2k?1?a ， lima2k?a。

k??充分性 设lima2k?1?a ， lima2k?a 。

k??k??任给??0，存在正整数N1，使得当k?N1时有a2k?1?a??, 对上述??0，存在正整数N2，使得当k?N2时有

a2k?a??。

取N?max{2N1,2N2}，当n?N时，对任意的自然数n，若n?2k?1，则必有

k?N1，从而|an?a|??；若n?2k，则必有k?N2，从而也有|an?a|??， 故liman?a。

n?? 思考：若{a3k?2}，{a3k?1}和{a3k}都收敛，且有相同的极限，则{an}收敛.

证 设lima3k?2?lima3k?1?lima3k?a，则由数列极限的定义，知???0，

k??k??k???K1?0，?k?K1，|a3k?2?a|??；同样也有?K2?0，?k?K2，|a3k?1?a|??；

3K1,3K2,3K3}，当n?N时，对任?K3?0，?k?K3，|a3k?a|??. 取N?max{意的自然数n，若n?3k?2，则必有k?K1，从而|an?a|??；同样若n?3k?1，则必有k?K2，从而也有|an?a|??；若n?3k，则必有k?K3，从而|an?a|??. 所以liman?a，即{an}收敛。

k?? 由定理2．7的证明可见，若数列?an?的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与?an?必收敛于同一个极限．于是，若数列?an?有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列?an?一定发散（判定数列发散的方法）。例如数列??1?，其偶数项组成的子

n?收敛于1，而奇数项组成的子列???1??收敛于—1，从而???1??发散.再如数?n???2k?1?列?sin，它的奇数项组成的子列??即为???1??，由于这个子列发散，??sin22????列??1?2n2k?1nk?1???故数列?sin??n???发散.由此可见，定理2.7是判断数列发散的有力工具． 2?n??n??小结。

思考：证明：limsinn与limcosn皆不存在。

若limsinn?a?sin(n?2)?sinn?2sin1cos(n?1)?0?cosn?0

n???sin2n?2sinncosn?0,且cos2n?0与1?sin22n?cos22n?0矛盾。

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作业: P３３ 2、3、5、6、9、10

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