弹塑性力学课程作业 参考答案

弹塑性力学课程作业1 参考答案

一．问答题

1. 答：请参见教材第一章。

2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。

3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问

题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意

义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。 5. 答：请参见本章教材。 6. 答：略（参见本章教材）

7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。

8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。 9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）

11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料

的塑性变形行为。

12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意

义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。

13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。 它们的

区别请参见教材。

14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程

详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。该应力解才是客观的、真 实存在的唯一的解。

二、填空题：

1、 6 ； ?x、?y、?z、?xy、?yz、?zx ； 2． 平衡微分方程 ； ?ij?j?Fi?0 ；

三．选择题参考答案：

1、B； 2、C； 3、D； 4、D； 5、A； 6、A； 7、A； 8、D； 9. C ; 10. C ; 11. C ; 12. B ; 13. A ; 14. B ; 15. D ; 16. C ; 17. D ; 18. D ; 19. A ; 20. D ; 21. B ; 22. C ; 23. C ; 24. B ; 25. A ; 26. B ; 27. D ;

四、解：

???x?y?z????xy??y??zy????F y?0 ??x?y?z????yz??xz??z???F z?0 ???x?y?z???x???yx???zx?F x?0

五．计算题

1．解： ?m??ii3??x??y??z3?2.5a

00??(?x??m)??0???yx???m??zx???ij??ij?m??m??Sij?0???0?xy(?y??m)?m0?zy0?0.5a?2a???yz?

(?z??m)???xz?2.5a??0???002.5a00??0??2.5a???0.5a?0???3.5a3.5a???2a

??2.5a???m?ij球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。Sij偏应力张量作用下单

元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。

2、解：（1）. 左端面的应力边界条件为：据圣文南原理

题五、2图

?Fx?0,? ?Fy?0,?m0?0,??h??dy?P?0? ??hxy?h??h?x?y?dy?0???hh?xdy?0

3. 解（1）： I1??x??y??z??x?2?2?4??x；

I2???x?y??y?z??z?x??xy??yz??zx??2?x?4?2?x?0?4?0??4?x

222

I3??x?y?z?2?xy?yz?zx??x?yz2??y?zx2??z?xy2?4?x?0?4?x?0?0?0 ?n3?I1?n2?I2?n?I3?0

即：?n3?(4??x)?n2?4?x?n?0 ， ?n[?n2?(4??x)?n?4?x]?0,?n? 将：?n???2代入上式解得：?x?2；故知： ?n2?6?n?8?(?n?2)(?n?4)?0;

?n???2;?n????4; 由：?1??2??3知: ?1?4; ?2?2; ?3?0;

3．又解（2）： 代入教材、公式：?n?2代入

(?x??n)l1??xyl2??xyl3?0?(?x?2)l?0?0?0????xyl1?(?y??n)l2??xyl3?0? 0?(2?2)l2?2l3?0???0?2l2?(2?2)l3?0??zxl1??xyl2?(?z??n)l3?0?

由：l12?l22?l32?1，且由上式知：2式知l3?0，由3式l2?0，故l?0，则知：?x?2；（由1式）

(2??n)0(2??n)202(2??n)?0展开得：

再由：

00 (2??n)(2??n)(2??n)?4(2??n)?0 ； (2??n)[(2??n)(2??n)?4]?0 则知：?n?2； 由：(2??n)(2??n)?4?(2??n)2?22?(2??n?2)(2??n?2)?0 即：?n?0；?n?4； 再由： ?1??2??3 知：?1?4,?2?2,?3?0;

弹塑性力学课程作业2 参考答案

一．问答题

1．答：位移是点位置的移动, 通常用三个位移分量u、v、w（u、v、w分别为物体内一点 位置坐标的函数）来表示。在小变形的前提下，物体变形前是连续体，受力变形后仍然 是一个连续体，也就是说物体的位移分量函数客观上必须是一个单值连续函数。为保证 位移分量函数是一个单值连续函数，则位移分量函数应满足几何方程，应变分量函数应 满足相容方程。

2. 答：能直接表明受力物体内一点处材料变形程度的力学量是应变。 3. 答：请参见教材。 4. 答：请参见教材。 5. 答：请参见教材。 6. 答：请参见教材第 49 页。

7．答：请参见教材第 50 页第二节第二段。

8．答：请参见教材第 50、69和72 页。在外力作用下，物体发生了变形。从变形的外观 来看可以分为体变和畸变。从变形的性质来看可以分为弹性变形与塑性变形。这样两种 分法必然存在着内在的联系。一般认为：

A．球应力（平均正应力）引起了全部体变而不包括畸变；体变是弹性的。 由于球应力状态的特征为三向等值拉伸或压缩（一般称为静水压力），用应力圆表 征则为点圆（无剪应力?的成分）。因此，它只能使物体发生体积上的变化，即球应变e， 不会产生形状上的改变（畸变）。通过大量实验指出，对于一般金属材料，可以认为体 积变化基本是弹性的，除去静水压力后体积变形可以恢复，没有残余的体积变形。 Bridgman的试验说明在25000个大气压力下，对金属材料做静水压力试验，材料才呈 现出很小的压缩性。但上述理论对于一般岩石和非饱和土质是不适合的。

B．偏应力引起了全部畸变而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起。 对于偏应变eij，当i=j，则e?eij?0；当i≠j则eij??ij??ij/2,?ij是角应变。这就 充分说明了在应力偏量作用下，物体将发生畸变而不发生体变。其次在弹性阶段的条 件下所建立的上述sij?2Geij的关系式，显然说明这种畸变，仍然是弹性的。因此可以 说物体的畸变包括两部分，即弹性的畸变与塑性的畸变。由于塑性变形一般认为是金 属晶格滑移（位错）的结果，而球应力只会引起弹性体变，那么塑性畸变必然是由应 力偏量引起的。

9．答：正交各向异性体、横观各向同性体、各向同性体，各自独立的弹性常数分别为：9、 5、2。

10．答：请参见教材第57 和58页。各向同性弹性体有三种不同形式的广义虎克定律为：式

4—28或4—29、4—33和4—38 。式 4—38 用球应力和偏应力去表示广义虎克定律的 物理力学意义是基于这样一个前提：

A．球应力（平均正应力）引起了全部体变而不包括畸变；体变是弹性的。 B．偏应力引起了全部畸变而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起。

11．答：请参见教材第 58 和 59 页。由材料力学试验知, 材料物性参数存在以下关系：

E?0,G?0,??0,0???0.5。在弹塑性力学中, 当取 υ= 0.5 时，是将材料视

为体积不可压缩材料?

12．答：请参见教材第 59 至 63 页。 13．答：请参见教材第 63 至 66 页。

二、填空题：

1、 9、 5、 2 ； 2、 Tresca 屈服条件 ，Mises屈服条件 ；

三．选择题参考答案：

1. D ; 2. B ; 3. B ; 4. D ; 5. B ; 6. B ; 7. C ; 8. C ; 9. A ; 10. B ; 11. A ; 12. A ; 13. B ; 14. D ; 15. C ; 16. A ; 17. A ; 18. D ;

3四、解：1、 aibjj??abij?1jj?aib11?aib22?aib33

?a1b11?a1b22?a1b33 ； a2b11?a2b22?a2b33?x??u ； ??u?v? ?y?x?v?w???z?y?w?u???x?z????? ??? ； a3b11?a3b22?a3b33 ；

2、 ?y?z?x?v? ； ?yz?y?w? ； ?zx?zxy五．计算题

1、 解：已知该点为平面应变状态，且知：?x?k(x2?y2), ?y?ky2, ?xy?zkxy; k为

??x?y22已知常量。则将应变分量函数代入相容方程得：

???y?x22???xy?x?y2.

2k + 0 = 2k 成立，故知该应变状态可能存在。

2． 解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知?z??z?，则：

?max?max??z???2???z??????2?z52?????z z??22?2??z2(1?5)??1?3， 且?2= 0 。

代入Mises屈服条件得：

22 ?1??3?(?3??)12?2s?

2

??z即：

?2(1?????5)???z(1???2?200 MPa；

2???5)???z?(1???2?25)?(1??25)???2?s ??2解得：?z??s2轴力：P = 2?rt?z = 2?×50×10×3×10×200×10=188.495 kN

2

－6

－3

－3－36

扭矩：M =2?r2t?z? = 2?×50×10×3×10×200×10= 9.425 kN· m

3． 解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：

?r?0,???0,?z??s2,6

?r???;?zr?0.

则miss条件知：

121?(?r???)?(????z)?(?z??r)?6(?r????z??zr)?2??1222222

?2?s2?s21?1?s2?2(1?)?()?6??(?6??z)??s z??222?22?解得：??z?已知：?m??s213；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。

?s6;(????r??z)?

?s6;

则： S??????m?? Sz??z??m??s2?s6?; Sr??r??m???s6;

??s3;S?r?Srz???r??rz?0;

Sz???z????z??s2由增量理论知：d?ijP?d??Sij 则：

d??:d?r:d?z:d??r:d?rz:d?z??(?PpppPP?s6):(??s6):?s3:0:0:?s2

PP即： d??P:d?rp:d?zp:d??pr:d?rz:d?z??(?1):(?1):2:0:0:6

弹塑性力学课程作业3 参考答案

一．问答题

1. 答：当我们采用Oxyz笛卡尔直角坐标系来表征时，关于弹塑性力学的这15个基本未知函 数可表示为：

2、答：弹塑性力学问题的已知条件是:

(1) 物体的几何形状、尺寸大小和组成材料; (2) 物体所受的外力:体力、面力(应力边界条件); (3) 边界的约束情况（位移边界条件）。

弹塑性力问题的未知条件是：物体内的应力、应变和位移及其变化规律，以及如 何根据求得的应力、应变和位移函数，去确定和求解物体的强度、刚度和稳定性的问 题，去确定工程结构物的承载能力，充分提高经济效益。

3．答：(1)位移法 即以位移分量作为基本未知量，来求解边值问题。此时将一切未知量 和基本方程都转换成用位移分量来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法 即以应力分量作为基本未知量，来求解边值问题。此时将一切未知量 和基本方程都转换成用应力分量来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 4. 答：关于圣文南 (saint-Venant) 原理请参见教材第 91 页。该原理的主要作用是简化 边界条件。在应用该原理时, 必须满足的基本原则是：A：仅适用于物体的局部边界； B：互换的力系必须静力等效：

5．答：叠加原理成立的条件是：A：只适用于线弹性变形问题；B：材料的变形保持在小变 形的范围内；

6．答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足的条件是满足平衡微分方程和相容方程：应 力解在物体边界上应满足的条件是应力边界条件。

7．答：弹塑性力学的应变解在物体内部应满足的条件是几何方程或相容方程，位移解在物 体边界上应满足的条件是位移边界条件。 8. 答：请参见教材第 94、95 和 96 页。

9. 答：弹性力学平面问题( 直角坐标解答 )中，导出的相容方程有几 3 种表达形式，分 别为：用应变表示的相容方程 6—9，用应力表示的相容方程 6—10 或 6—11 或 6—12 ，用应力函数表示的相容方程 6—16 。

10、答：满足相容条件的函数υ才是应力函数，应力函数解法的基本方程是 6—15 式。 11. 答：关于平面应力问题和平面应变问题在基本方程和边界条件上的异同, 请参见教材第 94、95、96页。

12. 答：关于弹性极限荷载、塑性极限荷载、何谓塑性饺、塑性饺与一般饺链的区别，请 参见教材第 107、108 和 109 页。 二．选择题参考答案：

1. A ; 2. A ; 3. A ; 4. B ; 5. A ; 6. A ; 7. A ; 8. C ; 9. C ; 10. B ; 三．计算题

1．解：将位移分量代入几何方程得：

?x??xa；?y??xa；?z??xa；?xy??yz??zx?0

由于应变分量是x的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件：

??x?y222??????x222y?????????222xy?x?yyz???z22y??z?y22?y?zzx??z2??x2?x?z????zx???x??y?????xy???y??z?????yz????z??x?z?x??xy??yz??z?x2???x??2??y?z?2??yz??y??zx???2??x?y??z?x?2??xy???zx??z??2??y?z??x?y??????????? ?????????

2． 解：将?式代入?4??0知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知Fx＝0，Fy=γ）

?x??y?xy边界条件：

??2?y?2??????Fy?6Ax?2By??y? y2?x?2???????2Bx?2Cy??x?y?????Fxx?2Cx?6Dy2① 上边界：y?0，?y?0，?yx?0，代入上式得：A ＝ B ＝0，

y② 斜边界：y?xtg?，Fx?F?0，l?cos?，m??sin?，则：

?sin?(2cx?6Dxtg?)?cos?(?2cxtg?)?0??

cos?(??xtg?)?sin?(?2cxtg?)?0?得：C??ctg?2；D???ctg?32

2?x??xctg??2?yctg??于是应力解为：?y???y?xy???yctg??? ??3、 解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：?x?0；由此可知应力函

数可取为： ?(x,y)?f1(x)y?f2(x); （a） 将式（a）代入x4??0，可得：

ydf1(x)dx444?df2(x)dx44?0

4

df2(x)dx4

?0 ；

(b) (c)

故有：

df1(x)dx4?0;

322

则有：

f1(x)?Ax?Bxf2(x)?Dx3?Cx?I?Jx?K ； (d)

?Ex略去?中的一次项和常数项后得：

??y(Ax3?Bx2?Cx)?Dx3?Ex2 相应的应力分量为：

?xy (e)

?0?y(6Ax?2B)?6Dx?2E

2 ? (f)

?xy??3Ax?2Bx?C边界条件： ① x?0处，?x?0,?xy?0，则c?0； (g)

② x?h处，?x?0,?xy?p， 则?3Ah2?2Bh?P;； (h)

③ 在y = 0处，

?Fx?0，??xydx?0，即??(3Ax?2Bx)dx?(Ax?Bx)?0

000hhh232由此得：B??Ah，再代入式（h）得：A??ph2; B?ph ；

由此得：?y?y????6ph2x?2p???6Dx?2Eh? （i）

由于在y = 0处，

?Fy?0, ??ydx?0，积分得：3Dh2?2Eh?0

0hh （j）

（k）

?m0(F)?0, ??y?xdx?0，积分得：3Dh03?Eh2?0

由方程(j ) (k)可求得：D?E?0，投知各应力分量为：

???x?0?2p3x??y?(1?)y?hh?p3x??xy?(?2)x?hh? (l)

据圣文南原理，在距y?0处稍远处这一结果是适用的。

弹塑性力学课程作业4

作业涉及教学内容：第七章 日期：2006年11月

班级及学号：________________ 姓 名：_________________

一、问答题：

1. 试比较弹性力学平面问题采用直角坐标和采用极坐标求解所导出的平衡微分方程、几何 方程的差异是什么? 是什么原因造成的？

2．厚壁圆筒仅有外压或仅有内压时, 圆筒中何处的材料最危险（或最容易失效）? 3．对于承受均匀内压的厚壁困筒, 只靠加大筒的外半径, 是否能有效地提高圆筒的强度? 在工程上为使厚壁圆筒内壁各点应力合理分布, 有效的提高圆筒的强度，常采取何种措 施?

4．关于单向均匀受拉无限大平板中孔边应力集中问题, 在孔边何点为危险点? 危险点处的 应力是无孔时应力的几倍?

5．无限大平板中, 有一椭圆孔或穿透型裂纹, 椭圆孔长半轴或裂纹方位垂直于受拉方向。 试问在单向受拉状态下, 该无限平板中最危险点位于何处? 应采取什么措施才能有效 地控制裂纹的扩展?

二．选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。）

1．平面轴对称问题中，物体的应力、应变和位移的分布都是轴对称的，这一说法是 。

A．正确的； B．错误的； C．不确切的； D．不存在的；

2．厚壁长圆筒是工程结构中常见的重要构件之一。现以a、b分别表示长圆筒的内、外半 径，厚壁筒一般认为 。。

A．b ：a > 1； B．b ：a > 1.1； C．b ：a > 1.2； D．b ：a > 1.3； 3．在厚壁圆筒受均匀内压问题中，为了有效提高其承载能力，应采取的有效措施是： 。

A．更换强度更高的材料 ； B．加大圆筒的筒壁厚度；

C．既更换强度高的材料，又加大圆筒的厚度；

D．改变危险点处的应力状态，使 ?1??3差值的大小明显降低；

4．在厚壁圆筒受均匀内压问题中，采取加大圆筒的筒壁厚度的措施， 圆 筒的承载能力。

A．有效的提高了； B．较明显的提高了； C．根本提高不了； D．略微提高了； 5．若一矩形无限大弹性薄平板，只在左右两边受均布拉力q作用，板中有一穿透型圆孔。 圆孔孔边危险点应力集中，此点最大周向应力 ??（即环向正应力）是无孔板单向拉应 力的 。

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

6．试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器 出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。

A. 沿圆柱纵向（轴向） C. 与纵向呈45°角

B. 沿圆柱横向（环向） D. 与纵向呈30°角

7. 金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形椭圆孔，孔的长半轴垂直于受拉方向，则该板 危险点处的最大拉应力与无孔板最大拉应力相比较， _________ 。

A．两者相等； B．是后者的2倍； C．是后者3倍； D．大于后者3倍；

8．若一矩形无限大弹性薄平板，只在左右两边（水平方向）受均布拉力q作用，板中有穿 透型裂纹。最危险的裂纹与水平方向的夹角为 。

A. ?2 ；

B. ?4 ； C. 零； D. ?；

三、计算题

1．如图所示一半圆环，在外壁只受qsin?的法向面力作用，内壁不受力作用。A端为固定端， B端自由。试写出该问题的逐点应力边界条件和位移边界条件。

yqsinθbaBoa+b2Ax

2. 已知受力物体内一点处应力状态为：

??x???0???00220??2?（Mpa） ?2?? ?ij 且已知该点的一个主应力的值为2MPa。试求： ① 应力分量?x的大小。 ② 主应力?1、?2和?3。

3、如图所示，楔形体OA、OB边界不受力。楔形体夹角为2α，集中力P与y轴夹角为β。试列

出楔形体的应力边界条件。

4. 一厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为 b ，仅承受均匀内压q 作用（视为平面应变问题）。

圆筒材料为理想弹塑性，屈服极限为?s。试用Tresca屈服条件，分析计算该圆筒开始

进入塑性状态时所能承受的内压力q的值。已知圆筒处于弹性状态时的应力解为：

?r2?b??1?2?； ?22?b?a?r??aq2 ?r??0；

??z?0；

2?b??1?2?； ???22?b?a?r??1 ?z???r????；

2上式中：a≤r≤b。

aq2 ?zr?0；

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