2015-2016概率统计(B)答案

广州大学2015-2016学年第二学期考试卷参考答案

课 程：概率论与数理统计 考 试 形 式：闭卷考试

一、选择题（每小题2分，总计10分）

1．下列给出的数列中，可用来描述某一随机变量分布律的是（ D ）.

i(5?i2)（A）pi?，i?1,2,3,4,5； （B）pi?，i?0,1,2,3；

256i3i2（C）pi?，i?1,2,3,4,5； （D）pi?，i?1,2,3,4.

145302．设事件A与B同时发生的概率P(AB)?0，则( C ).

(A)事件A与B相互独立; (B)事件A与B不相关; (C)P(A?B)?P(A)?P(B); (D)事件AB为不可能事件.

3．已知P(A)?0.2，P(B)?0.2，A与B互斥，则P(B?A)?（ B ）. （A）0.04； （B）0.2； （C）0.16； （D）0.

4．设f(x)，F(x)分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数，则( B ). (A)f(x)连续; (B)F?(x)?f(x); (C)f?(x)?F(x); (D)limf(x)?1.

x???5．设X~N(2,4), 若Y?( A ), 则Y~N(0,1).

X?2X?2X?2; (B); (C); (D)4X?2. 244二、填空题（每小题2分，总计10分）

(A)

1． 袋中有6个红球，2个白球.从中任取3个，则恰好取到2个红球的概率是___2． 已知P(A)?0.4,P(B)?0.5,P(B|A)?0.6,则P(A?B)? 0.66 . 3．每次试验中A出现的概率为p，在三次试验中A出现至少一次的概率是0.75 .

4．设离散型随机变量X的分布律为

X 0 1 3 P 0.6 0.1 0.3 其分布函数为F(x)，则F(2)? 0.7 .

5．设X~N(3,64),x1,...,x32为X的一个样本，则样本均值X的方差为 2 . 三、（本题满分8分）

袋中有红球7个, 白球3个, 从中抽3个, 求

(1)抽到3个红球的概率P(A);(2)抽到至多2个白球的概率P(B).

3C77解：(1) P(A)?3? ??(4分)

C102415___. 2863，则p? 64

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(2) P(B)?1?P(B)?1?C119= ??(8分) ?120C33310四、（本题满分10分）

设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占35%, 25%, 40%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.

解：记事件0：“该产品是次品”， 事件A2：“该产品为乙厂生产的”， 事件A3：“该产品为丙厂生产的”，事件B：“该产品是次品”.------2分 由题设，知

P(A1)?35%,P(A2)?25%,P(A3)?40%,

P(B|A1)?4%，P(B|A2)?2%，P(B|A3)?5%，------5分 由全概率公式得

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?39%.------8分

i?13由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得

P(A1B)P(A1)P(B|A1)14??.------10分 P(A1|B)?39P(B)P(B)五、（本题满分8分） 设随机变量X的分布律为

X P －2 0.2 -1 0.1 20 0.1 1 0.4 2 0.2 试求：(1)随机变量Y?X?1的分布律；(2)Y的分布函数. 解：(1) 随机变量Y的分布律为

Y 1 2 5 P 0.1 0.5 0.4 ??(5分)

y?1?0?0.11?y?2?(2) F(y)?? ??(8分)

?0.62?y?5?5?y?1六、（本题满分14分）

设随机变量（X，Y）的分布密度

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?

其他.?0,求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

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（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

解：（1） 由??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12? （2） 由定义，有

F(x,y)??y?????xfu(v,u)dv dyy?(3u?v4)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}

?P{0?X?1,0?Y?2}

??100?12e2?(3x?4y)dxdy?(1?e)(1?e)?0.9499.?3?8

七、（本题满分为10分）

袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号

码为Y.

（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？

解：（1） X与Y的联合分布律如下表 3 4 Y X 5 P{X?xi} 6 103 101 10 1 2 3 11 ?C31050 0 22 ?C310511 ?C31050 P{Y?yi}

1 103 1033 ?C310522 ?C310511 ?2C5106 10(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立?

6161????P{X?1,Y?3}, 101010010 八、（本题满分10分）

某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费200元, 若一年内发生重大

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人身事故, 其本人或家属可获2.5万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在0到75万元之间的概率是多少? 附表 ?(x)?12??x??e?t22dt 1.5 2 2.5 3 x 0.5 1 ?(x) 0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9938 0.9987 解：记X是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 则X~b(n,p)，其中n?5000，p?0.005.------2分 由中心极限定理知X?np近似服从N(0,1).------4分 np(1?p)保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为0.02?5000?2.5X万元.------5分 所求概率为

P(0?0.02?5000?2.5X?75)?P(10?X?40)------6分

?10?25X?np40?25------7分 ?P???np(1?p)25?0.995?25?0.995??(3)??(?3)------8分 ?2?(3)?1------9分 =0.9974.-----10分

九、（本题满分10分） 设总体X服从正态分布N(0,?2)，x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本观察值，求参数?2的最大似然估计值. 解:似然函数为 L(x1,...,xn;)??i?1n1?2?e?xi22?2?(2??2)?nexp{??xii?1n22?2}-----------5分 取对数得 lnL(x1,...,xn;?2)??nln2??2?dd?2lnL(x1,...,xn;?)??22?i?1xi2?2ni?1n2n2?2??xi2----------------------------8分 ?02?41n2???xi, --------------------------10分 最大似然估计为?ni?1 十、（本题满分10分）

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设分别自总体N(?1,?)和N(?2,?)中抽取容量为n1，n2的两个独立样本，其样本方差分别为

22. 试证：对于任意常数a，b（a＋b＝1），Z＝as12＋bs2都是?2的无偏估计，并确定常数S12,S2a，b，使D(Z)达到最小.

22解 由题意，S12,S2相互独立, E?S12???2,E?S2???2

2222则E(Z)?E(aS12?bS2)?aE(S12)?bE(S2)?(a?b)?2??2

所以，Z是?2的无偏估计. 又 ?2n1?1所以

S2~?2(n1?1) D??2(n1?1)??2(n1?1),

??2n1?12??4?42?4?n1?12? D?S??D?S1??D?2S1??2(n1?1)?222n?1?(n?1)?(n?1)n?1???1?1112?42同理 D?S2??

n2?1因此有

22a2?42b2?4b2?2222224?aD?aS1?bS2??aD(S1)?bD(S2)???2???? n1?1n2?1?n1?1n2?1?由于a+b=1, 由10题的结果，可得

n1?1n2?1当a?，b?，D(Z)有极小值，最小值为：

n1?n2?2n1?n2?221?a2b2?2?4 D(Z)?2??????n1?1n2?1?n1?n2?24

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