2013年全国高三名校理数统考最新试题(一)分类汇编9：立体几何(宁

【精选专题】2013年全国高三名校理数统考最新试题（一）分类汇编9：

立体几何

一、选择题

1 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图及尺寸

如图所示,则该几何体的体积为

A．2??4 B．2??8

1

（ ）

C．4??4

D．4??8

2

2 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设a,b为两条直线,?,?为两个

平面,则下列结论成立的是

A．若a??,b??,且a//b,则?//?

a?b,则???

（ ）

B．若a??,b??,且

C．若a//?,b??,则a//b

D．若a??,b??,则a//b

3 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）将长方体截去一个四棱锥,得到

的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

4 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）一个体积为

123的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧(左)视图的面积

为

A．12

B．8

C．83 D．63

（ ）

5 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知m,n是

两条不同直线,?,?,?是三个不同平面,下列命题中正确的是

A．若m‖?,n‖?,则m‖n

B．若???,???,则?‖?

（ ）

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C．若m‖?,n‖?,则?‖? D．若m??,n??,则m‖n

6 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）正方形ABCD的边长为4,中心

为M,球O与正方形ABCD所在平面相切于M点,过点M的球的直径的另一端点为

N,线段NA与球O的球面的交点为E,且E恰为线段NA的中点,则球O的体积为 （ ）

A．823?

B．823? C．43?

D．43?

7 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图为一个几何体的三视图,则

该几何体的外接球的表面积为

（ A．4?

B．8?

C．12?

D．16?

8 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）已知球的直径PQ=4,

（ A． B．C是该球球面上的三点,?ABC是正三角

形.?APQ??BPQ??CPQ?30?,则棱锥P—ABC的体积为

（ A．

343

B．

943 C．

323 D．

2743

9 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）一个圆锥被过顶点的平面

截去了较小的一部分几何体,余下的几何体的三视图(如图所示),则余下部分的几何体的表面积为

5正视图2侧视图1俯视图

（ A．333??5+1

B．32??22??33??25+1

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）

） ）

）

C．3??323??5 D．3??33??25

10．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知一个空间几何

体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上,则球的表面积是

2 正2

2 俯

A．

499侧2

（ ）

C．

283? B．?37

? D．

289?

11．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知某三棱锥的正视图和侧视图如图

所示,则它的俯视图可能是

12．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知三棱锥S—ABC的四个顶点都在

半径为1的球面上,底面ABC是正三角形,SA = SB = SC,且平面ABC过球心,则三棱锥S-ABC的体积是 （ ）

33333A．4

B．3 C．4

D．12

13．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）若某几何体的三视图

如图所示,则几何体的体积是

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21第7题图2

（A．13

B．

23

C．1

D．2

14．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word版，含答案） ）

已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到两个圆的公共弦长为23,若其中一个圆的半径为4,则另一个圆的半径为

（A．3 B．10 C．11

D．23

15．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word版，含答案） ）

若某几何体的三视图(图中单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是

（A．36cm3

B．48cm3

C．60cm3

D．72cm3

16．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知某

几何体的正视图和侧视图均为边长为1的正方形,则这个几何体的体积不可能是

（A．

12 B．

?4 C．1 D．

?3

17．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图

及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是

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）

）

）

）

A．162?16?

B．162?8?

C．82?16? （ ） D．82?8?

18．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）设b,c表示两条直线,?,?表

示两个平面,则下列命题是真命题的是

A．若b??,c//?,则b//c C．若b??,b//c,则c//?

B．若c//?,???,则c?? D．若c//?,c??,则???

（ ）

19．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）一个简单几何体的正视图、

侧视图如图所示,则其俯视图可能为:①长、宽不相等的长方形;②正方形;③圆;④椭

圆.其中正确的是

3222 侧

D．①④

20．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）已知四棱锥P?ABCD的

三视图如图1所示,则四棱锥P?ABCD的四个侧面中面积最大的是

A．①②

4正

322图1

B．②③

C．③④

（ ）

32侧视图正视图2俯视图 （ ）

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A．6 B．8 C．25 D．3

21．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）三棱锥A?BCD的外接

球为球O,球O的直径是AD,且?ABC、?BCD都是边长为1的等边三角形,则三棱锥A?BCD的体积是 （ ）

A．

2 B．

1 C．1

D．

286812

22．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）把边长为1的正方形

ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD?平面CBD,形成三棱锥C?ABD的正视图

与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为

（ A．

12 B．22 C．24 D．

14

23．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）一个几何体的三视图及尺寸如右

图所示,则该几何体的外接球半径为

（ A．

12 B．316 C．

174 D．174

24．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长

都为2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

（ A．

12 B．

14 C．

23 D．64

25．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）已知?,?是平面,m,n是

直线,给出下列命题,其中正确的命题的个数是

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）

）

） ( 1 )若m??,m??,则???

( 2 )若m??,n??,m//?,n//?,则?//?

( 3 )如果m??,n??,m,n是异面直线,那么n与?相交 ( 4 )若????m,n//m,且n??,n??,则n//?且n//?. （ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

26．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）一个几何体的三视图如图

所示,则该几何体的体积为

（ A．2

B．1

C．13

D．

23

27．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）已知正四棱锥的底边和

侧棱长均为32,则该正四棱锥的外接球的表面积为

（ A．36?

B．24?

C．32?

D．16?

28．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）一个几何体的三视图如

图所示,则这个几何体的体积是 （ A．4 B．6 C．8 D．12

2224

二、填空题

29．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）边长是22的正三角形ABC内接于体积是43的球O,则球面上的点到平面ABC的最大距离为___

30．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知各顶点都在同一个球面上的

正四棱锥高为3,体积为6,则这个球的表面积是_____.

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）

）

）

31．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）把一个半径为532 cm的金属球熔

成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍,则这个圆锥的高为__________.

32．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）已知某三棱锥

的三视图(单位: cm)如右图所示,则该三棱锥外接球的表面积等于_____cm2.

2正俯3侧１

33．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）底面半径为1,高为3的圆锥,其内接圆柱的底面半径为R,内接圆柱的体积最大时R值为____________. 34．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知四

面体P?ABC的外接球的球心O在AB上,且PO?平面ABC, 2AC?3AB, 若四面体P?ABC的体积为,则该球的体积为_____________

3235．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）正三角形ABC的边长为2,

将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为1,此时四面体ABCD外接球表面积为____________

AAB三、解答题

DCBDC

36．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,已知AB?平面

ACD,DE?平面ACD,△ACD为等边三角形,AD?DE?2AB,F为CD的中点.

(Ⅰ)求证:AF//平面BCE; (Ⅱ)求证:平面BCE?平面CDE; (Ⅲ)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.

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37．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,直角梯形ABCD与等腰直

角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB?BC,

AB?2CD?2BC,EA?EB.

(1)求证:AB?DE; (2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;

EBCDA 38．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）如图,一个几何体是由圆柱OO'和

三棱锥E-ABC组合而成,点A、B、C在圆O的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2

(Ⅰ)求证:AC⊥BD;

(Ⅱ)求二面角A-BD-C的大小.

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39．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）如图,在四棱锥P-ABCD

中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=

12,AD=1,CD=3.

(Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证:PA // 平面BMQ; (Ⅱ)求证:平面PQB⊥平面PAD;

(Ⅲ)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值 .

40．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,在四棱锥P?ABCD中,

PC?底面ABCD,ABCD是直角梯形, AB?AD,AB∥CD,

AB?2AD?2CD?2,E是PB中点.(1)求证:平面EAC?平面PBC;(2)若二

面角P?AC?E的余弦值为63,求直线PA与平面ECA所成角的正弦值.

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41．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）如图所示,?ABC和?BCE是边长为2的正三角形,且平面ABC?平面BCE,AD?平面ABC,AD?23.

(Ⅰ)证明:DE?BC; (Ⅱ)求BD与平面ADE所成角的正弦值; (Ⅲ)求平面BDE和平面ABC所成的二面角的余弦值.

DEABC

42．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.

(Ⅰ)求证:DE∥平面PBC;

(Ⅱ)求证:AB⊥PE;

(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.

P

A D B

43．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）如图:四棱锥

E C

P?ABCD中,PA?AD,AD??PDA?30?.

12BC?3,PC?5.AD∥BC,AB?AC.?BAD?150?(Ⅰ)证明: PA?平面ABCD;

(Ⅱ)在线段PD上是否存在一点F,使直线CF与平面PBC成角正弦值等于,

41若存在,指出F点位置,若不存在,请说明理由.

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A B

C

D

44．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）如图,在四棱锥A-BCC1B1中,等边三角

形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直,D为CC1中点 (I)求证:BD ⊥AB1 : (II)求二面角B-AD-B1的余弦值.

45．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）如图,已知四棱锥

P?ABCD,侧面PAD为边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,?BDA?60?

(Ⅰ)证明:?PBC?90?

(Ⅱ)若PB?3,求直线AB与平面PBC所成角的正玄值

PMDQA第19题图BC

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46．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word版，含答案） ）

如图,已知四棱锥P?ABCD,底面ABCD为菱形,?BDA?60?,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2,M在线段PC上,且PM=tPC

(Ⅰ)试确定实数t的值,使PA?平面BMQ;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若PQ?平面ABCD,求二面角M-BQ-C的大小

47．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）如图,

四棱锥P?ABCD的底面是正方形,PD?底面ABCD,点E在棱PB上.

(Ⅰ) 求证:平面AEC?平面PDB;

(Ⅱ) 当PD?2AB,且直线AE与平面PBD成角为45?时,确定点E的位置,

即求出

PEEB的值.

48．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）

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已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形,侧面ABB1A1是菱形,且∠A1AB=60°,M是A1B1的中点,MB⊥AC.

(1)求证:MB⊥平面ABC;

(2)求二面角A1—BB1—C的余弦值.

49．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）如图所示,在四棱锥

P?ABCD中,四边形ABCD为菱形,?PAD为等边三角形,平面PAD?平面ABCD,且?DAB?60?,AB?2,E为AD的中点.

(1)求证:AD?PB;

155(2)在棱AB上是否存在点F,使EF与平面PDC成角正弦值为定线段AF的长度,不存在,请说明理由.

,若存在,确

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50．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）如图,在四棱锥P-ABCD

中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量

(I):EF//平面PAD.

(II)若PH=3,AD=2, AB=2, CD=2AB, ,点H在AD上,且

(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.

(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.

51．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）17.如图所示的长方

体ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1?2,M是线段B1D1的中点.

(Ⅰ)求证:BM//平面D1AC;(Ⅱ)求证:D1O?平面AB1C; (Ⅲ)求二面角B?AB1?C的大小.

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52．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,

底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=

12AD=1,CD=3.

(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;

(2)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.

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【精选专题】2013年全国高三名校理数统考最新试题（一）分类汇编9：立体几何参考答

案

一、选择题 1. B 2. D

3. D 4. D 5. D 6. B 7. C 8. B 9. A 10. C 11. C 12. C 13. C 14. D

15. B 16. D 17. D 18. D

19. D 20. A 21. D 22. D 23. C 24. B 25. B 26. D 27. A 28. A

二、填空题 29. 433

30. 16? 31. 20 32. 14? 33. R=.

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23

34. 43? 35.

13?3三、解答题

36.解:设AD?DE?2AB?2a,建立如图所示的坐标系

A?xyzA(a,0,0)B(0,0,a)C(2a,0,0)D(a,3a,0)E(a,3a,2a)

?3?3F?a,a,0??2?2??. CD∵F为的中点,∴

(Ⅰ)

?????3?????????3AF??a,a,0?,BE?a,3a,a,BC??2a,0,?a??2?2??证:,

??????1????????AF?BE?BC2∵,AF?平面BCE,

??∴AF//平面BCE

?????3?????3AF??a,a,0?,CD??a,?2?2??(Ⅱ)证:∵

?????3a,0,ED??0,0,?2a??,

????. ∴AF?平面CDE,

∴

????????????????AF?CD?0,AF?ED?0,∴

????????????????AF?CD,AF?ED又AF//平面BCE, ∴平面BCE?平面CDE (Ⅲ)解:设平面BCE的法向量为

x?3y?z?0,2x?z?0?n??x,y,z?,由

??????????n?BE?0,n?BC?0可得:

,取

?n?1,?3,2??

?????3?3BF??a,a,?a??2?2??,设BF和平面BCE所成的角为?,则 又

sin??|BF?n||BF|?|n|?2a2a?22?24. ∴直线BF和平面BCE所成角正弦值为

24

37.解:(1)证明:取AB中点O,连结EO,DO.

因为EB?EA,所以EO?AB

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因为四边形ABCD为直角梯形, AB?2CD?2BC,AB?BC,

所以四边形OBCD为正方形,所以AB?OD 所以AB?平面EOD. 所以 AB?ED

(2)解法1:因为平面ABE?平面ABCD,且AB?BC 所以BC⊥平面ABE

则?CEB即为直线EC与平面ABE所成的角 设BC=a,则AB=2a,BE?2a,所以CE?3a 则直角三角形CBE中,sin?CEB?CBCE?13?33 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33 解法2:因为平面ABE?平面ABCD,且 EO?AB, 所以EO?平面ABCD,所以EO?OD. 由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz. 因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以

OA?OB?OD?OE,设OB?1,

则

O(0,0,0),A(?1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).

????所以 EC?(1,1,?1),平面ABE的一个法向量为OD?(0,1,0).

设直线EC与平面ABE所成的角为?,

????????????????|EC?OD|3??????所以 sin??|cos?EC,OD?|????, 3|EC||OD|33即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(参照解法1给步骤分)

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38.

.

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???y2?3z2?0,令y2????3x2?y2?03,得n2??1,3,1

??得cosn1,n2?n1?n2n1?n2??11?5??55.

49.解(1)证明:连接PE,EB,因为平面PAD?平面ABCD,?PAD为等边三角形,E为

AD的中点,所以PE?平面ABCD,PE?AD

因为四边形ABCD为菱形,且?DAB?60?,E为AD的中点,所以BE?AD PE?BE?E,所以AD?面PBE,所以AD?PB

(2)以E为原点,EA,EB,EP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系

A(1,0,0),B(0,3,0),C(?2,3,0),D(?1,0,0),P(0,0,3)

因为点F在棱AB上,设F(x,3(1?x),0),面PDC法向量u?(a,b,c) u?DP?a?3c?0,u?DC??a?3b?0

所以u?(3,1,?1),

|cos?u,EF?|?35x?3(1?x)22?155,解得x?12,

所以存在点F,AF?1

50. (Ⅰ) 取PA的中点Q,连结EQ、DQ,

则?E是PB的中点,?EQ//AB,且EQ=12AB

????1????1又?DF?AB?DF//AB,且DF=AB

22?EQ//DF,且EQ?DF,?四边形EQDF为平

行四边形,

?EF//QD,

又?EF?平面PAD,且DQ?平面PAD,

EF//平面PAD

(Ⅱ)⑴解法一:证明:

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?????????????????PH?AD?0,?PH?AD ?PH⊥AD,

又? AB⊥平面PAD,PH?平面PAD,?AB⊥PH,

又? PH?AD=H, ?PH⊥平面ABCD; --------------------------------- 连结AE ?PD?AD,Q为PA的中点?DQ?PA 又?AB?平面PAD且DQ?平面PAD?AB?DQ

?AB?PA?A ?DQ?平面PAB

由(Ⅰ)知 EF//DQ ?EF?平面PAB

?AE为AF在平面PAB上的射影 ??FAE为直线AF与平面PAB所成的角 ?PD?AD?2 PH?3?在Rt?PHD中

HD?PD?PH22?2?2?3?2?1

3

?H为AD中点, 又PH?AD ?PA?PD?AD?2 ?EF?DQ?PH??AB?平面PAD ?AB?AD DF//AB?DF?AD

在Rt?ADF中 AF?AD?DF?224?1?5 又?EF?平面PAB ?EF?AE

?在Rt?AEF中 sin?FAE?EFAF?35?155

?直线AF与平面PAB所成的角的正弦值为151555

(2)延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线 因为AB//CD,AB?12CD,所以点A,B分别为DM,CM的中点,所以DM=4,

在RT?PHM中:PM2?PH2?MH2,

?PM?23?PD2?PM2?DM2 ?PM?PD,

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又因为CD?平面PMD,所以CP?PM,?CPD即为所求的二面角的平面角 所以在RT?PCD中:cos?CPD?PDPC22555??

解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得 PH?平面ABCD 又?AB?平面PAD 在平面ABCD内过点H作HG//AB?HG?平面PAD,以H为原点,以

?????????????HA.HG.HP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 H?xyz ?PD?AD?2 PH?3?在Rt?PHD中

HD?PD?PH22?2?2?3?2?1

?13?，2,0? E?,1，0，0? PO,O,3 B?1，，0? ?H为AD中点?A?1，? F??11?2?2??????????AF???2，1，0? 设平面PAB的一个法向量为n??x,y,z? ?????????PA?1,0,?3 , PB?1,2,?3

?????????????????n?PA??n?PA?0?x?3z?0由????? ?? 得y=0 令z??得?????????n?PB??n?PB?0?x?2y?3z?0??n?3,0,3

3 得x=3

??设直线AF与平面PAB所成的角为?

??????????AF?n???则sin??cosAF,n????AFn?2?3?35?3??2?2?1?3?22?3?2

?155

155?直线AF与平面PAB所成的角的正弦值为(8分 )

(2) 显然向量AB为平面PAD的一个法向量,且AB?(0,2,0) 设平面PBC的一个法向量为n1?(x1,y1,z1),

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????PB?1,2,?3,BC?(?2,2,0), 由PB?n1?0,得到x1?2y1? ??3z1?0 由Bc?n1?0,得到?2x1?2y1?0,令x1?1,则y1?1,z1?3,所以

n1?(1,1,3), ---10

????????????AB?n1cosAB,n1????????ABn12?12?1?1??3?2?55,所以平面PAD与平面PBC所成

二面角的平面角的余弦值为55(12分 )

51.解:(Ⅰ)连接D1O,如图,∵O、M分别是BD、B1D1的中点,BD1D1B是矩形,

∴四边形D1OBM是平行四边形,∴D1O//BM ∵D1O?平面D1AC,BM?平面D1AC, ∴BM//平面D1AC

(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接D1O,则点O(1,1,0)、D1(0,0,2),

?????∴OD1?(?1,?1,2)

??????????????????∵OD1?OB1?(?1,?1,2)?(1,1,2)?0,OD1?AC?(?1,?1,2)?(?2,2,0)?0 ??????????????????∴OD1?OB1,OD1?AC,即OD1?OB1,OD1?AC,

又OB1?AC?O,∴D1O?平面AB1C. 8分 (Ⅲ)∵CB?AB,CB?BB1,∴CB?平面ABB1,

????∴BC?(?2,0,0)为平面ABB1的法向量.

??????????????????∵OD1?OB1,OD1?AC,

?????∴OD1?(?1,?1,2)为平面AB1C的法向量.

?????????1∴cos?BC,OD1??,

2?????????∴BC与OD1的夹角为60?,即二面角B?AB1?C的大小为60?

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52. (1)∵AD // BC,BC=

12AD,Q为AD的中点,

∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴BQ⊥平面PAD.

∵BQ?平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD (2)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD.

如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.

?则平面BQC的法向量为n?(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,3), B(0,3,0),C(?1,3,0).

??????????设M(x,y,z),则PM?(x,y,z?3),MC?(?1?x,3?y,?z),

??????????∵PM?tMC,

t?x???1?t?x?t(?1?x)??3t?∴ ?y?t(3?y), ∴ ?y?

1?t??z?3?t(?z）??3?z?1?t??????????t3t3在平面MBQ中,QB?(0,3,0),QM?(?,,),

1?t1?t1?t??∴ 平面MBQ法向量为m?(3,0,t)

???n?m∵二面角M-BQ-C为30°, cos30??????nmt3?0?t2?32, ∴ t?3 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

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