2011年高考数学压轴题(三)

2011年高考数学压轴题（三）

1．（本小题满分13分）

如图，已知双曲线C：x2y2 a2?b2?1(a?0，b?0)的右准线l1与一条

渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

（I）求证：OM??MF?；

（II）若|MF?|?1且双曲线C的离心率e?62，求双曲线C的方程；

（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于

不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足AP???AQ?，试判断?的范围，

并用代数方法给出证明.

（I）?右准线la2解：b1：x?c，渐近线l2：y?ax

?M(a2c，abc)，?F(c，0)，c2?a2?b2，?OM??(a2c，abc)

MF??(c?a2c，?abc)?(b2c，?abc) ??a2b2 ?OM?MF?c2?a2b2c0?OM??MF?2? ……3分 （II）?e?6，?b2a?e2?1?2，?a2?2b22

?|MF?|?1，?b4a2b2b2(b2?a2)c2?c2?1，?c2?1 ?b2?1，a2?1?双曲线C的方程为：x22?y2?1 ……7分 （III）由题意可得0???1 ……8分 证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由??x2 ?2y2?2得(1?y?kx?1?2k2)x2?4kx?4?0

?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

??1?2k2?0????16k2?16(1?2k2)?0?k??2?2 ????2?x1?x2?4k?0??k?1 ?1?2k2??4k?0?x?0??1?2k21x2??1?2k2??0 ??1?k??22 ……11分

?AP???AQ?，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2

- 1 -

4k42，?x??21?2k21?2k2

(1??)216k24k22????2?2??4(1?2k2)2k2?12k?1?(1??)x2?2(1??)22 ??1?k??，?0?2k?1?1，??4

2? ?(1??)2?4???2?2??1?0

??的取值范围是（0，1） ……13分

2．（本小题满分13分）

(x?0)?0，

(n?1?x?n，n?N*)?n[x?(n?1)]?f(n?1)数列{an}满足an?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式；

（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S(a)(a?0)，求S(n)?S(n?1)(n?N*)；

（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最

已知函数f(x)??小的正整数N；若不存在，请说明理由.

（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出这个极限值.

n??解：（I）?n?N*

?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n

……1分

?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2

f(3)?f(2)?3 ……

f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0 n(n?1)

?f(n)?2n(n?1)(n?N*) ?an? ……3分 2 （II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1

a?anf(n?1)?f(n)?1?n?1 ?S(n)?S(n?1)?

221n(n?1)n(n?1)n2?]? ?[ ……6分

2222 （III）设满足条件的正整数N存在，则

n(n?1)n2n?1005???1005?n?2010

222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件

- 2 -

它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 （IV）设bn?……9分

2111，即bn??2(?)

n(n?1)nn?1an11111111)]?2(1?) 则b1?b2???bn?2[(1?)?(?)?(?)???(?22334nn?1n?11]?2 ……10分 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?n??n??n?12a2an1n?n1c 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?qn?1(0?|q|?1)等都能使lim(b1?b2???bn)存在.

n??2an19. （本小题满分14分）

y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. 设双曲线2?3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什

么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.若存在，求出直线l的

方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c2?4a2 ?c2?a2?3，?a?1，c?2

x23?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?x 33 （II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M?x，y?

2 4分

?2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10

33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1???3(y1?y2)2?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即37525 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

103的椭圆.（9分） 3

???OP·OQ?0?x1x2?y1y2?02?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)

- 3 -

?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0?y?3?1 ?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?12 由（i）（ii）得k?3?0

∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 14分

3. （本小题满分13分）

已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N*)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常数，且m??1.

（I）求证数列?an?是等比数列；

1a1，bn?f(bn?1) 3(n?2，n?N*)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?

n??n??…?bn?1bn)成立？

(1) 解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）

（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1? 由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N都成立

*?m为常数，且m??1am ?n?1?anm?1即?an?为等比数列5分

（II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1

?a1?1，从而b1?13mm?1

由（I）知q?f(m)??bn?f(bn?1)?bn?1(n?2，n?N*)bn?1?11111??1?，即??1bnbn?1bnbn?1 ???1??为等差数列?bn?11?3?(n?1)?n?2，bn?(n?N*)bnn?2n?1

?9分?m? ?an????m?1?

n?1mm?limbn(lgan)?lim·lg?lgn??n??n?2m?1m?1 lim3(b1b2?b2b3?…?bn?1bn)n??

11??1111?lim3?????…????1n???3445n?1n?2? 由题意知lg

mm10?1，??10，?m?? m?1m?19- 4 -

13分

4．（本小题满分12分）

x2y2设椭圆??1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半

a2b2轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程．

解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?a2?b2,A(0,b)． 由P分AQ所成的比为8∶5，得P(813x50,13b)， 2分

∴(8213)2x0a2?(52313)?1?x0?2a．①， 4分 而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ，

∴FA?AQ?0．?cx2b20?b?0,x0?c．②， 5分

由①②知2b2?3ac,?2c2?3ac?2a2?0．

∴2e2?3e?2?0.?e?12． 6分

（2）满足条件的圆心为O?(b2?c22c,0)， b2?c2a2?c2?c22c?2c?c,?O?(c,0)， 8分 b2圆半径r?c?22?a22c?a． 10分 由圆与直线l：x?3y?3?0相切得，|c?3|2?a， 又a?2c,?c?1,a?2,b?3．∴椭圆方程为x2y24?3?1． 12分 5．（本小题满分14分）

（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件a2y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，an?的首项和公差．

（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件a21?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．

（理）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分 y?an?1?an?2???a2n?1?an?1?(an?1?d)???(an?1?nd)

?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an(n?1)n?1?2d 4分

?(n?1)(andan?1?a1n?1?2)?(n?1)(an?1?2)

?n?12(3an?1?a1)． 7分

又a221?an?1?b,??a1??b?an?1．

- 5 -

试求

试求

∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?)?23229?4b9?4b3?，当且仅当an?1?时，等号成442立． 11分

n?1(n?1)(9?4b)(3an?1?a1)?． 13分 2894b?3(n?1)(9?4b)当数列?an?首项a1?b?，公差d??时，y?，

44n8(n?1)(9?4b)∴y的最大值为． 14分

8（文）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分 y?an?1?an?2???a2n?1∴y??an?1(an?1?d)???(an?1?nd)?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?

n(n?1)ndd?(n?1)(an?1?)22a?a1n?1?(n?1)(an?1?n?1)?(3an?1?a1)， 6分

2222又a1?an?1?b,??a1??b?an?1．

329?4b9?4b2?∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?)?．

2443当且仅当an?1?时，等号成立． 11分

2n?1(n?1)(9?4b)(3an?1?a1)?∴y?． 13分 2894b?3(n?1)(9?4b)当数列?an?首项a1?b?，公差d??时，y?．

44n8(n?1)(9?4b)∴y的最大值为． 14分

86．（本小题满分12分）

垂直于x轴的直线交双曲线x?2y?2于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）

22（Ⅰ）证明：x0?2y0为定值;

22（Ⅱ）过P作斜率为?x0的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值. 2y0解（Ⅰ）证明：设M(x1,?y1),则N(x1,?y1),?A1(?2,0),A2(2,0)

?直线A1M的方程为y?y1x1?2?y1直线A2N的方程为y?(x?2) ②……4分

x1?2①×②，得y?2(x?2) ①

?y12x1?22(x2?2)

1?x12?2y12?2,?y2??(x2?2),即x2?2y2?22 ?P(x0,y0)是直线A1M与A2N的交点22?x0?2y0?2为定值??8分- 6 -

（Ⅱ）l的方程为y?y0??x022(x?x0),结合x0?2y0?2整理得x0x?2y0y?2?0 2y0于是d?222x0?4y0?222?2y0?2……10分 21?y022?x0?2y0?22?y0?12?1?y0?2?d?2?1 21?y02当y0??1时,y0?1,d取最小值1……12分

7．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x?sinx

（Ⅰ）若x?[0,?],试求函数f(x)的值域;

2f(?)?f(x)2??x?f();

332f(?)?f(x)2??x与f()的大小关系（不必写出（Ⅲ）若x?[k?,(k?1)?],??(k?,(k?1)?),k?Z,猜想33（Ⅱ）若x?[0,?],??(0,?),求证:比较过程）.

解：（Ⅰ）当x?(0,?)时,f?(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数

又f(x)在区间[0,?]上连续 所以f(0)?f(x)?f(?),求得0?f(x)??

即f(x)的值域为[0,?]??4分2f(?)?f(x)2??x2f(?)?sinx2??x?f()，即g(x)???sin（Ⅱ）设g(x)??

333312??xg?(x)?(?cosx?cos)……6分

33?x?[0,?],??(0,?)2??x??(0,?)

3由g?(x)?0,得x???当x?(0,?)时,g?(x)?0,g(x)为减函数.当x?(?,?)时,g?(x)?0,g(x)为增函数??8分 ?g(x)在区间[0,?]上连续则g(?)为g(x)的最小值对x?[0,?]有g(x)?g(?)?0因而

2f(?)?f(x)2??x?f()?10分332f(?)?f(x)2??x?f() （Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时

332f(?)?f(x)2??x?f()……14分 当k为奇数时

33- 7 -

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