既不离散也不连续的随机变量(4)

7

y y 11 aa 0 a x 0 a x (a) p(x)的图形 (b) F(x)的图形

(0,a)上的均匀分布

3．连续型随机变量分布函数的特征

结论3 设?为连续型随机变量，F(x)是其分布函数，则F(x)是连续函数。 证明 ∵ (Fx)是连续型随机变量的分布函数

?由定义，存在非负可积函数p(x)，对?x????,???有

F?x?????t?dt

??x 又由变动积分上限函数的性质可知， (Fx)连续 故 (Fx)是R上的连续函数。 4.非离散非连续的随机变量

除了离散型和连续型分布之外，还有既非离散又非连续的分布，见下例。

例：以下函数确是一个分布，它的图形如图所示。

x?0,?0,?1?x?F(x)??,0?x?1,2?x?1.??1,y

1

0.5

0 1 x 既非离散又非连续的分布函数示例

8

从图上看出，它既不是阶梯函数，又不是连续函数，所以它既是非离散的又是非连续的分布。这类分布函数 (Fx)常可分解为两个分布函数的凸组合，如上例中的分布函数可分解为

F(x)?11F1(x)?F2(x) 22其中

?0,0,x?0,?? F2(x)??x,F1(x)???1,x?0.?1,?x?0,0?x? 1,x?1.F1x)是而 (（离散）单点分布函数， （连续）均匀分布U(0,1)的分布函数。 F2(x)是

三、既不离散也不连续的随机变量及其判别

（一）随机变量的判别

由结论1的逆否命题可得，

结论4 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是阶梯函数，则?一定是非离散型随机变量。

由结论3的逆否命题可得，

结论5 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是连续函数，则?一定是非连续型随机变量。

（二）既不离散也不连续的随机变量的判别

既非离散又非连续的随机变量的分布函数具有不同于离散型、连续型随机变量分布函数的特点[3]。

（1）分布函数是右连续，但却不是在每一个分段区间内是常函数，这一点区别于离散型随机变量的分布函数。

（2）分布函数不是连续函数，在某些点处有跳跃性，这一点区别于连续型随机变量的分布函数。

综上，我们可以得到一个既不离散也不连续随机变量的判别条件。

Fx)既不是阶梯函数又不是连续函数，则?一结论6 若随机变量?的分布函数 (定是既不离散也不连续的随机变量。

例4 已知函数

x?0?0,?F?x???0.5(x?1),0?x?1

?1,x?1?9

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