2010高考数学二轮复习(14)常用逻辑用语学案讲解

第14章 常用逻辑用语

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1.活用“定义法”解题，重视“数形结合”

涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了。定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择,抽象到直观的转化.

2．有意识地在各模块复习中渗透数学思维方法

数学是理性思维的学科，高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”简易逻辑用于可以和各章融合命题,正是这一理性思维的体现，学生只有在思维能力上有所提高才能让数学学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的，因此，在第一轮各模块的复习中应尽量加强学生思维能力方面的培养

3．夯实基础的同时加大信息量

夯实双基是提高数学能力的必要条件，只有对数学基础知识和数学规律、性质有一定的了解才谈得上思维能力的开拓，因此必须注重数学基础的学习。

同时，对于有能力的学生，加大信息量，在教材之外，适当的把一些数学思想，以及与高中数学相关的部分高等数学内容和思想方法进行适当的渗透，都有助其解决问题 【典例精析】

1. 四种命题的关系

关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述： 第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题； 第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；

第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；

例1（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B

解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”

2例2(07重庆)命题：“若x?1，则?1?x?1”的逆否命题是（ ） 2，或x??1 B.若?1?x?1，则x2?1 A.若x?1，则x?1，或x??1，则x2?1 D.若x?1，或x??1，则x2?1 C.若x?1答案:D.

ab例3（2005年江苏卷）命题“若a?b，则2?2?1”的否命题为__________.

答案 若a≤b，则2≤2-1

点评: 否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论.

用心 爱心 专心

ab

2命题真假的判断

例4（07北京）对于函数①f?x??lgx?2?1，②f?x???x?2?，

2??③f?x??cos?x?2?.判断如下三个命题的真假：

命题甲：f?x?2?是偶函数；命题乙：f?x?在区间???,2?上是减函数，在区间?2,???上是增函数；命题丙：f?x?2??f?x?在???,???上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）

A.①③ B.①② C. ③ D. ② 答案: D

例5(08广东理)已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）

A．(?p)?q

B．p?q

C．(?p)?(?q)

D．(?p)?(?q)

【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(?p)?(?q) 为真命题.

点评: 真假判断（真值表）可概括为: p或q：同假为假，一真为真； p且q：同真为真，一假为假；非p： 真假相反，真假假真 例6（2009江西卷文）下列命题是真命题的为 A．若

11

?,则x?y xy

B．若x?1,则x?1

2C．若x?y,则x?答案：A 解析 由

y D．若x?y,则 x2?y2

11

?得x?y,而由x2?1得x??1,由x?y,x,y不一定有意义,而 xy

x?y得不到x2?y2 故选A.

（山东卷）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. ①将函数y=x?1的图象按向量v=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=x

1x相交，所得弦长为2 211③若sin(?+?)= ,sin(?－?)=,则tan?cot?=5

23②圆x+y+4x+2y+1=0与直线y=

2

2

④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，

P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分. 解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2|

用心 爱心 专心

②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=③正确，sin(?+?)=

145x的距离为?半径2，故圆与直线相离， 251＝sin?cos?＋cos?sin?，sin(?－?)＝sin?cos?－2511cos?sin?＝，两式相加，得2 sin?cos?＝，两式相减，得2 cos?sin?＝，

366故将上两式相除，即得tan?cot?=5

④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，

点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义 可知点P的轨迹是抛物线。

2.全称命题和特称命题的否定

全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是特称命题.但同一个特称或全称命题由于语言环境的不同,可有不同的表述方法,在实际应用中要灵活选择. 例7（2009天津卷理）命题“存在x0?R，2xx0?0”的否定是

x0A. 不存在x0?R, 20>0 B. 存在x0?R, 2x?0

xC. 对任意的x?R, 2?0 D. 对任意的x?R, 2>0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题 解析：由题否定即“不存在x0?R，使2

x0?0”，故选择D。

例8（07宁夏）已知命题p：?x?R,sinx?1，则（ ） A.?p:?x?R,sinx?1 B. ?p:?x?R,sinx?1 C.?p:?x?R,sinx?1 D. ?p:?x?R,sinx?1

答案:C.

例9(07山东)命题“对任意的x?R,x?x?1?0”的否定是（ ） A.不存在x?R,x?x?1?0 B.存在x?R,x?x?1?0 C.存在x?R,x?x?1?0 D. 对任意的x?R,x?x?1?0

答案:C.

3232323232

3 充要条件的判断

处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．确定

用心 爱心 专心

条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．

例10（2009安徽4）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是

高考资源网（A）p:a?c＞b+d , q:a＞b且c＞d （C）p: x=1, q:x?x2高考资源网（B）p:a＞1,b>1 q:f(x)?ax?b(a?0，且a?1)的图像不过第二象限

高考资源网高考资源网（D）p:a＞1, q: f(x)?logax(a?0，且a?1)在(0,??)上为增函数

[解析]：由a＞b且c＞d?a?c＞b+d，而由a?c＞b+d a＞b且c＞d，可举反例。选A 点评: 要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可． 例11.（2009山东5） 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的

高考资源网一条直线，则“???”是“m??”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,m??,则???,反过来则不一定.所以“???”是“m??”的必要不充分条件.

点评: ．判断充要条件: 首先要分清谁是条件，谁是结论；然后再条件推结论，结论推条件，最后判定。

例12．（2009北京5）“???6?2k?(k?Z)”是“cos2??1”的（ ） 2 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当??????1??2k?(k?Z)时，cos2??cos?4k????cos?， 63?32?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 反之，当cos2??1??时，有2??2k?????k???k?Z?， 236 或2??2k???3???k???6?k?Z?，故应选A.

分析：简易逻辑考查重点是命题的真假情况，全称量词与存在量词，充要条件。全称量词与

存在量词是新增内容，没有出现单独命题的情况，只是在大题中有体现。充要条件是近几年的高考的重点内容，它可与三角、立体几何、解析几何，不等式等知识联系起来综合考查。 例13(湖南文)“x?1?2”是“x?3”的( )

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

用心 爱心 专心

C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由x?1?2得?1?x?3，所以易知选A.

点评:不等式解集问题可类比集合间的包含关系判断,大范围推出小范围.

【专题综合】

1开放性问题

例1(08全国2) 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）

答案: 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．

注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 2.知真假性求参数

例2 已知p：x2?mx?1?0有两个不等的负根，q：4x2?4(m?2)x?1?0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论． 解：p：x2?mx?1?0有两个不等的负根．

???1?m2?4?0???m?2 ??m?0?q：4x2?4(m?2)x?1?0无实根．

??2?16(m?2)2?16?0?1?m?3因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．

(ⅰ) 当p真且q假时，有?(ⅱ) 当p假且q真时，有?m?2??m?3；

m?1或m?3??m?2?1?m?2．

?1?m?3综合，得m的取值范围是{m1?m?2或m?3}．

2. 充要条件的证明

例3已知抛物线C: y??x?mx?1和点A（3，0），B(0,3).求证：抛物线C与线段AB有两个不同的交点的充要条件是3?m?210 3解：（1）必要性：

由已知得，线段AB的方程为y=-x+3（0?x?3） 由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，

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?y??x2?mx?1所以方程组?（*）有两个不同的实数解

?y??x?3(0?x?3)消元得：x2?(m?1)x?4?0（0?x?3） 设f(x)?x2?(m?1)x?4则有

???(m?1)2?4?4?0?f(0)?4?0?10?3?m? 解得 ?f(3)?9?3(m?1)?4?03?m?1?0??3??2（2）充分性 当3?m?10时 3m?1?(m?1)2?16m?1?(m?1)2x1???0

221010?1?(?1)2?16m?1?(m?1)?1633x2???3

222?方程x2?(m?1)x?4?0有两个不等的实根x1，x2，且0?x1?x2?3，

方程组（*）有两组不同的实数解。

因此，抛物线y??x?mx?1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3?m?

点评：（1）证明充要条件问题时，既要证明充分性成立，又要证明必要性成立。

本题考查线段与抛物线的位置关系，属解析几何中的重点与充要条件知识的交汇，也是高考的一个重要考查内容。在求解这类问题时，除了直线与二次曲线相交的位置关系用判别式法求解外，还需要建立二次函数模型，通过二次函数的图象与坐标交点的实根分布列出不等式组求解

例4.(08江苏) 若f1?x??3且f?x???x?p1210 3，f2?x??23x?p2，x?R,p1,p2为常数，

??f1?x?,f1?x??f2?x? fx,fx?fx?2???2??1??（Ⅰ）求f?x??f1?x?对所有实数成立的充要条件（用p1,p2表示）； 【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）f?x??f1?x?恒成立?f1?x??f2?x??3x?p1?23x?p2?3x?p1?x?p2?3log32

用心 爱心 专心

?x?p1?x?p2?log32（*）

因为x?p1?x?p2??x?p1???x?p2??p1?p2 所以，故只需p1?p2?log32（*）恒成立

综上所述，f?x??f1?x?对所有实数成立的充要条件是：p1?p2?log32

【专题突破】

22?a?b?a?b1． 设a,b?R，已知命题p:a?b；命题q:?，则p是q成立的（ B ） ??2?2?2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（ “a=1”是“函数f(x)?|x?a|在区间[1, +∞)上为增函数”的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解：若“a?1”，则函数f(x)?|x?a|=|x?1|在区间[1,??)上为增函数；而若

f(x)?|x?a|在区间[1,??)上为增函数，则0≤a≤1，所以“a?1”是“函数f(x)?|x?a|在区间[1,??)上为增函数”的充分不必要条件，选A.

3． 设集合M?{x|0?x?3}，N?{x|0?x?2}，那么“a?M”是“a?N”的

（ B ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设集合M?{x|0?x?3}，N?{x|0?x?2}，M?N，所以若“a?M”推

不出“a?N”；若“a?N”，则“a?M”，所以“a?M”是“a?N”的必要而不充分条件，选B

x2

4、（07江西）设p：f(x)＝e＋In x＋2x＋mx＋l在(0，＋∞)内单调递增，q：m≥－5，则p是q的 (B)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5、（07湖北）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④?p是?s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（B） A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

6.(07山东)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是 D ①p:m??2，或m?6；q:y?x?mx?m?3有两个不同的零点

用心 爱心 专心

2②p:f??x??1；q:y?f?x?是偶函数 ③p:cos??cos?；q:tan??tan? f?x?④p:A?B?A；q:CUB?CUA

A.①② B.②③ C.③④ D. ①④ 7.（福建卷）\??1\是\??

?4\的

（A）充分而不必要条件 （B）必要不而充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

解：若\??1\，则??k???4，α不一定等于

??；而若\??\则tanα=1，∴ 44\??1\是\??

?4\的必要不而充分条件，选B.

用心 爱心 专心

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