含参变量的积分
1 含参变量的正常积分
1． 求下列极限： (1) lima?0?1?1x2?a2dx；
(2) lim(3) lima?00??2x2cosax dx；
dx. 221?x?a1?aa?0a2．求F'(x)，其中： (1) F(x)?(2) F(x)?(3) F(x)????x2xe?xydy； ex1?y22cosxsinxb?xdy；
a?xsin(xy)dy； y(4)
?x0?xf(t,s)ds?dt. ???t2??23．设f(x)为连续函数，
1F(x)?2h求F(x).
4．研究函数
''?x0?xf(x????)d??d?， ????0?F(y)??10yf(x)dx
x2?y2的连续性，其中f(x)是[0，1]上连续且为正的函数.
5．应用积分号下求导法求下列积分：
?(1) (2) (3)
?20ln(a2?sin2x)dx (a?1);
???0ln(1?2acosx?a2)dx (|a|?1)；
ln(a2sin2x?b2cos2x)dx (a,b?0)；
?20?(4)
?20arctan(atanx)dx (|a|?1).
tanx6．应用积分交换次序求下列积分： (1)
?10xb?xadx (a?0,b?0)； lnxba?1?x?x(2) ?sin?ln?dx (a?0,b?0).
0xlnx??17．设f为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) F(x)?(2) F(x)???1x0b(x?y)f(y)dy； f(y)|x?y|dy (a?b)；
1a2211x?yx2?y28．证明：?dx?dy??dy?2dx.
00(x2?y2)200(x?y2)29．设F(y)??10lnx2?y2dx，问是否成立
F'(0)???lnx2?y2|y?0dx. 0?y110．设
F(x)??excos?cos(xsin?)d?
02?求证F(x)?2?.
11．设f(x)为两次可微函数，?(x)为可微函数，证明函数
11x?atu(x,t)?[f(x?at)?f(x?at)]??(z)dz
22a?x?at满足弦振动方程
2?2u2?u?a ?t2?x2及初始条件
u(x,0)?f(x),ut(x,0)??(x).
2 含参变量的广义积分
1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1)
????0cos(xy)dy (x?a?0)；
x2?y2cos(xy)dy (???x???)； 21?y(2)
??0(3) (4)
????1??yxe?ydy (a?x?b)；
e?xycosydy (p?0,x?0)； py1(5)
???0sinx2dx (p?0). 1?xp22．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) (2)
???0???e??xdx (0?????)；
xe?xydy ，
（i）x?[a,b] (a?0)，（ii）x?[0,b]；
?0(3)
?????e?(x??)dx，
（i）a???b，（ii）???????；
2(4)
???0e?x2(1?y2)sinxdy (0?x???).
3．设f(t)在t?0连续，求证：
???0t?f(t)dt当??a,??b皆收敛，且a?b。
???0t?f(t)dt关于?在[a,b]一致收敛.
4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) F(x)????0xdy，x?(??,??)；
x2?y2(2) F(x)????0y2dy，x?3； 1?yx(3) F(x)???0sinydy，x?(0,2). x2?xy(??y)5．若f(x,y)在[a,b]?[c,??)上连续，含参变量广义积分
I(x)????cf(x,y)dy
在[a,b)收敛，在x?b时发散，证明I(x)在[a,b)不一致收敛.
6．含参变量的广义积分I(x)????cf(x,y)dy在[a,b]一致收敛的充要条件是：对任一
趋于??的递增数列{An}（其中A，函数项级数 1?c）
??n?1?An?1Anf(x,y)dy??un(x)
n?1?在[a,b]上一致收敛.
7．用上题的结论证明含参变量广义积分I(x)????cf(x,y)dy在[a,b]的积分交换次序
定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.
8．利用微分交换次序计算下列积分：
(1) In(a)????0dx （n为正整数，a?0）； 2n?1(x?a)(2)
???0e?ax?e?bxsinmxdx（a?0,b?0）； x(3)
?????0xe??xsinbxdx (??0).
29．用对参数的积分法计算下列积分： (1)
??0e?ax?e?bx； dx（a?0,b?0）
xe?ax?e?bxsinmxdx（a?0,b?0）. x22(2)
??0??1?y(1?x2)?edy计算拉普拉斯积分 10．利用2?01?x??cos?xL??dx 201?x和
L1??11．利用??0xsin?xdx.
1?x212?x????0e?xydy(x?0)计算傅伦涅尔积分
2F??sinx2dx?0??1??sinxdx ?02x和
F1??12．利用已知积分
??01??cosxcosxdx??dx.
20x2?计算下列积分：
(1)
??0??2sinx??dx?，?e?xdx? 0x22???0sin4xdx； 2x??(2)
2??0sinycosyxdy； y2(3) (4)
???0??x2e??xdx (a?0)；
???0e?(axe2?bx?c)dx (a?0)；
(5)
???(x2?a2x2)??dx (a?0).
13．求下列积分： (1)
??01?etcostdt； t(2)
???0ln(1?x2)dx.
1?x214．证明：
1[,b] (b?1)上一致收敛； 在ln(xy)dy?0b1dx(2) ?y在(??,b] (b?1)上一致收敛.
0x(1)
1
3 欧拉积分
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