毕业论文-sars传播的数学模型-数学建模全国赛论文

SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘要

本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性.

针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合.

应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.

在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难.

本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常.

最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

SARS传播的数学模型

1．问题的重述

SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：

（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.

（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响.

（3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS对社会经济的影响.

（4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.

2．早期模型的分析与评价

题目要求建立SARS的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：

合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际.

实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息.

2.1早期模型简述

早期模型是一个SARS疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为N0，

平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），K代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变.

平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天.整个模型的L一直被定为20.则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：

N(t)?N0?(1?k)t 考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.

2.2早期模型合理性评价

根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913.高峰期后的K值按香港情况变化，即10天范围内K值逐步被调整到0.0273.L恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

图1 早期模型计算值与实际值对比图

从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实际值.

为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记yi?i表示第i天计算累计病例.计算 表示第i天实际累计病例，y?ieiyi?y*ei??,i?1,2,?,n

???作为?的估计： 其中，用?????yi?1ni?i)?(yi?yn?2

做出标准化残差ei*的分布图，如图2：

图2 早期模型的标准化残差分布图

1

可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值.

通过以上分析得合理性评价： 1从预测准确度上有失合理性，○虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差.

2尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.○

从这一点上看，该模型还是切合实际的.

3该模型选用公布数据直接拟合，○从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型本身的含义.因为模型中的N(t)实际代表的是t时刻全社会的累计SARS患者，而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！

2.3早期模型实用性评价

模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导实际.这里主要抓住早期模型的参数设置情况进行实用性评价：

1该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对SARS发展的阶段没○

有了解透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实际高峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出疫情中后期发展的趋势，模型的实际应用范围受到限制.

2参数K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，○与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将K固定在一个比较高的定值，在疫情高峰期过后，在10天内逐步调整K值到比较小，然后保持不变.但模型并没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，具有一定的主观性.同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测北京的情况，可见该模型未对北京的实际情况进行充分的考虑.

3参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，○在此期限后失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模型把L的值固定为20，而实际的L应该随疫情发展趋势变化而变化，固定L势必使模型只能片面模拟真实情况.

综上，早期模型的一部分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中人工干预过多，实际应用范围受到了限制，实用性不强.

3． SARS传播过程的分析

由于早期模型缺少对SARS传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析.

SARS的传播大致经历了4个过程，相关描述可按照Kink于1986年提出的危机“四阶段说”.

第一阶段是征兆期.在SARS传播初期，由于SARS感染者需要经历一定时间才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低.

第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪

2

增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增.

第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高.

第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期最短，社会发病率低.疫情进入了4个阶段的最后时期.

有了以上的分析，建立的模型就应该体现4个不同时期下疫情的发展过程，并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经典传染病SIR模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合SARS的分段微分方程模型，称为SARS传播的SIR改进模型.

4． SARS传播的SIR改进模型

4.1模型的假设

1．SARS的持续期不太长，可以忽略在SARS持续期内的城市人口的自然出生率和自然死亡率.

2．被SARS感染后经治疗康复的人群在SARS流行期不会被再次感染. 3．病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.

4．不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究SARS疫情的发展过程.

4.2模型的符号定义

S(t):易感类人群占城市人口总数的比例. I(t):传染类人群占城市人口总数的比例. R(t):排除类人群占城市人口总数的比例.

t时刻被隔离的SARS患者数?(t):SARS患者的就诊率?

t时刻全社会SARS患者总数?：单位时间内一个传染者与他人的接触率. L：平均传染期.

4.3传播机理分析

针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进.考虑在经典传染病模型SIR的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述SARS的传播过程.

为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中研究SARS的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：

S类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病.

I类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S类成员. R类：称为排除类或恢复类，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I类成员转化为R类后，立刻失去传染能力.

S(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例. 对于传播过程有3条基本假设：

3

A1：人口总数为常数N，N足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.

A2：人群中3类成员均匀分布，传播方式为接触性传播.单位时间内一个传染者与他人的接触率为?，则一个传播者在单位时间内与S类成员的接触率为?S(t)，因此，单位时间内I类成员与S类成员的接触总数为?N?S(t)?I(t)，这就是单位时间内I类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I(t)的双线性函数.

A3：传播者的被控制数正比于传染者的数量NI(t)，比例系数为v，v称为被控制率，则平均传染期为L?1/v.???/v为一个传染者在其传播期内与其他成员的接触总数，称为接触数.

那么SARS的传播流程如图3：

?NSI?传染vNS?控制易感类NS(t)?????传染类NI(t)?????排除类NR(t)

图3 SARS传播流程图

在这个模型中，排除类NR(t)就是已确诊SARS患者累计数，而N?[1?S(t)]是全社会累计SARS患者数，包括已确诊的和未被发现的两部分.

4.4模型的建立

有了以上的机理分析，建立起针对SARS的改进SIR模型：

?dS (1)?dt???SI ??dI??SI?vI (2)?dt? ?dR?vI?dt?I?R?S?1??S0?0,I0?0??R0?0

该模型中参数?和v在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显的变化，现分析如下：

1参数?表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，○其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率?的值.

一般认为，?的数值随着SARS发展的4个阶段不断变化.在SARS初期，由于潜伏期的存在和社会对SARS病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故?维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使?得到一定的控制，但效果不明显，此处假设?呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为?按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，?就维持在一个较低值附近.

4

2参数v表示传播者的被控制率.L?1/v称为平均传染期，表示一个传播者在被○

隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS患者经过传染期L过后，将隔离治疗或者死亡，从I类成员变为R类，失去传播能力.

L与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前进行隔离，“早发现，早隔离” ；提供更广范围的医疗手段，使更多的人接受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期L的长度.因此这里将L直接抽象为每一时期SARS患者的就诊率?(t)的函数.

平均传染期L应随?(t)的变化而变化.但是在初期，由于政府对SARS的认识不足，并没有采取有效控制措施， L的变化很小可以近似看作定值，这里我们取SARS病毒最长潜伏期（约19天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐步加强，使SARS患者的就诊率?(t)逐渐增加，而平均传染期L会逐渐减小并趋于一个定值，这里我们将SARS病毒平均潜伏期（约7天）定为L的最小值；在此后的高峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值会维持在7天左右.

4.5针对北京疫情求解模型

首先采用数学推导的方法，确定参数?和v，并证明模型有唯一解. 1确定?和v的关系 ○

?令??，方程组中(2)?(1)得：

vdI1??1? dS?SdI1在病情刚开始时，??1?，由于S(t)是单调减少的，且I(t)最终趋近于0，

dS?S0则当?S?1时，I(t)单调减少趋近于0；当?S?1时，I(t)先单调增加达到最大值，然后单调减少趋近于0.

容易知道，当?S?1时，才满足SARS的传播规律，所以参数?和v的取值必须满足这个条件. 2证明模型有唯一解 ○

在初值条件下解微分方程组：

1?dI??1???S ?dS??I0?S0?R0?1得到关系式：

I(t)?1?R0?S?1ln(S) S0?11得 ???，由○令t?0?1?R0?S??因为S??0，所以令

?ln(S?) S0x) S05

f(x)?1?R0?x?1?ln(

则 limf(x)???，f(S0)?1?R0?S0?I0?0

x???01时，由于f(x)?0在(0,S0)范围内有根，因而在(0,)内有根. ??1当S0?时，因为

?1??xf'(x)?

?x111当x?时，f'(x)?0，所以f()?f(S0)?I0?0，因而f(x)?0在(0,)???内也有根.

11注意到当0?x?时，f'(x)?0，故f(x)?0在(0,)内有唯一根.

??1所以，S?在(0,)内有唯一解.

?3划分SARS传播的4个阶段 ○

由于SARS的传播经历了4个阶段，所以，要以具体的指标划分这4个阶段.因为在4个阶段中，日发病率?(t)??N?S(t)?I(t)是一个区分每个阶段特点的关键特征，所以以日发病率作为划分的指标.从第一个患者出现日开始： 征兆期：日发病率在10（人/天）以下.北京疫情期的前40天.

d??0时.北京疫情期的爆发期：从日发病率10（人/天）到日发病率最大，即dt第40天到第74天.

dI?0时.北京疫情期的第74天到高峰期：从日发病率最大到患者数量最大，即dt第79天.

衰退期：患者数量最大点以后.北京疫情期第79天以后. 4确定?和v ○

根据北京最终SARS患者总数2521人以及北京人口总数（约14000000人），得

25211vS??1??0.9998?1，所以??1.

14000000??1

因为平均传染期L?，而L是SARS患者就诊率?(t)的函数，且L?[7,19]，

v

所以，这里设计L函数为：

当S0?1L?7e1??(t)

?(t)由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实际情况，推导出：

0?t?40?0 ?t?40??(t)??log10(?1) 40?t?74

3.78? t?74??1 而接触率?与全社会的警觉程度和公众采取的各种措施有关，根据实际情况确定为：

6

0?t?40?0.126 ??0.126?t 40?t?74?3400???

lnt?0.116? 74?t?79?33?0.0672 t?79?

确定出所有的参数后，做出北京各时期累计全社会SARS患者数和各时期累计确诊SARS患者数预测图（图4）以及北京市预测确诊SARS患者累计和实际确诊SARS患者累计对比图（图5）.同时得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人.(计算程序见附件1：SIR模型程序)

图4 北京市预测非典病人累计总数和预测非典病人确诊病例累计对比图

图5 北京市预测确诊病例累计和实际确诊病例累计对比图

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5．改进SIR模型的分析与评价

5.1合理性评价

从图5可以看出，本模型对数据的拟合程度非常高，完全克服了早期模型对后期数据预测不准的缺陷.做出标准化残差分析图，如图6：

图6 改进SIR模型的标准化残差分布图（实际值－预测值）

可以看出，残差分布比较均匀，残差平方和为2.0361，低于初期模型的5.510.

通过以上分析得出结论：改进SIR模型不仅在预测前期病情的时候非常准确，而且在预测后期病情的时候也没有出现明显偏差，预测值与实际值非常吻合.该模型能对整个病情的发展做出准确预测，这是该模型优于早期模型的方面之一.

5.2实用性评价

对比早期模型实用性方面的不足，对改进SIR模型分析如下：

1早期模型在没有对SARS的传播过程进行系统分析的情况下就简单地以高○

峰期作为分析的临界点，同时，模型并没有提出高峰期的确定方法，模型的实际应用范围受到限制.而改进SIR模型在分析SARS传播过程的前提下，依据日发病率把整个传播过程细分为征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段，并且考虑了每个阶段影响SARS传播的实际因素，能够更好地反映实际因素对SARS传播的影响.

2早期模型预测的仅仅是已确诊累计SARS患者数，不包括未被发现的患者○

人数，这样的做法不能对防治工作提供真正有用的数据.而改进SIR模型不仅能准确预测已确诊累计病例，而且能够预测未被发现的患者人数，可以对防治工作提供更有用的数据.

3早期模型用参数K代表一个病人每天传染他人的人数.模型没有给出K值○

的具体算法，只是不断地进行人工调整，同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测北京的情况，未对北京的实际情况进行充分的考虑.而改进SIR模型用参数?表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，并且考虑了4个阶段内?的变化情

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况，给出了?的函数表达式.

4早期模型用参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的○期限，并且把L的值固定在20天，就造成了后期预测值明显偏离实际值的结果.而改进SIR模型中建立了L的分段函数表达式，根据各个阶段的具体影响因素控制L的大小.这样，在后期的预测上，也与实际值相当吻合.

综上，改进SIR模型弥补了早期模型的不足，实际应用范围得到扩大，实用性强.

5.3建立可靠、优良模型的困难

要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，存在着许多的困难，还有许多努力的方向.

1缺乏详尽的，反映SARS疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参○

数的具体取值.本文的模型计算与分析研究，主要依据关于北京市的SARS疫情通告的数据.这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式不能满足模型求解的要求.

2需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构与调整参数，○以及估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果.

3需要研究SARS在不同自然条件和社会条件下的差异性，○总结SARS传播与控制的典型地域性模式.

6．分析具体措施对SARS传播的影响

在SARS传播的实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔离开始的时间和隔离的强度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现分析如下.

改变隔离开始的时间通过对L调整实现，减小L的数值就提前了隔离时间；而改变隔离的强度通过对?调整实现，减小?的数值就提高了隔离的强度.

以北京的隔离强度为100%，分别在100%和80%强度下用改进SIR模型预测不同控制措施下累计病例总数（人）和疫情持续总时间（天）.结果如表1：

开 始 提前5天 延后5天 提前20天 时 隔 离 强 间 度 隔离强度100% 隔离强度 80% 1458人/90天 2057人/167天 4170人/112天 5807人/205天

304人/69天 446天/125天 表1 不同控制措施下的结果 分析表1，得出结论：

1在相同隔离强度下，发现隔离开始的时间越早，累计病例总数就越小. ○

2在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间就越短. ○

3综上，○累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短主要由隔离强度的大小决定.

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所以，有关部门采取的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.

7．SARS对旅游业的影响

SARS的流行会对国民经济带来一定的影响.现在题目提供了北京市接待海外旅游人数的数据，要求根据这些数据，预测SARS对北京市的旅游业所产生的影响.

7.1预测正常情况下2003年的旅游人数

旅游业随着社会经济的发展，会有一个逐年提高的趋势.如果没有SARS的流行，那么，海外旅游人数会以一定的规律保持增长的趋势.

现在需要预测正常情况下2003年的旅游人数，采用季节性时间序列的半参数回归模型进行预测.

一般的半参数回归模型是指：

Y ? ?'? g (T ) ? ? (3) 其中(X,T)?RP?R1 为随机向量或设计点列，T 的支撑集为有界闭集，?为P?1的未知参数向量，g (?) 是定义于一有界闭集上的未知函数, E为随机误差,E(?)? 0,E(?2)??2(未知),且?与X,T相互独立.

对季节性时间序列资料Xij(i?1,2,?,n;j?1,2,?,l)，其中n为年份长度,l 为季节长度.

根据时间序列资料的加法原理有如下半参数回归模型

Xij?bi?g(j)??j (4) 其中b 为模型参数, 主要反应时间序列在年度上的增长趋势.g(j)为未知函数,

2主要反应时间序列在季节上的效应,E(?ij)?0,E(?ij)??2且?ij相互独立.显然模

型中不应包含常数项,因为常数项可包含在季节效应中.

在对旅游人数的估计时，因为采用了1997～2002年的数据进行参数估计，所以年份长度n?6，而季节上的效应实际上就是每个月的效应，季节长度l?12.参数估计如下：

1把b 看为已知时g(j)的最小二乘估计为使○?(Xij?bi?g(j))2最小的解，即

in?1 (5) 2?(j)也是g(j) 其中，Xj??Xij/n，即为所有数据在季节点j上的均数.显然g?(j)?Xj?b?gi的一个临近估计.

2将（5）代入（4）后b的最小二乘估计为使○??(Xij?bi?(Xj?bijn?12))最小2n?1~~的解.作变换Xij?Xij?Xj,i?i?则

2~~i?Xij???ijb (6)~ l??i2i 10

在小样本条件下，误差的总体方差?2估计为

nl1~2?~???(X?bi)2 (7)??ijnl?l?1i?1j?1将北京海外旅游人数1997～2002年的数据代入式（5）、（6）、（7），得到：

??1.8245??b ?2???0.0044???(j)?(4.5642g,13.2808,12.5142,17.2142,17.9975,16.3975,16.0808,

21.0808,20.7475,21.5808,18,1642,12.4642)

根据这些参数，预测正常情况下2003年的旅游人数(计算程序见附件2：时间序列程序)，结果如表2（单位：万人）： 月1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 份 人15.4 17.1 25.3 30.0 30.8 29.2 28.9 33.9 33.6 34.4 31.0 25.3 数 表2 正常情况下2003旅游人数预测

1997-2003年旅游人数的变化如图7所示：

图7 1997-2003年旅游人数的变化

7.2季节性时间序列半参数模型的检验

我们利用时间序列模型对1997～2002年的旅游人数进行拟合，再与实际值对照，画出残差图（图8）：

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图8 1997～2002年各月旅游人数估计值的标准化残差

图中，标准化残差随机均匀分布在x轴周围，说明时间序列模型对1997-2002年旅游人数的拟合程度比较高,能够对2003年各个月份的旅游人数做出比较准确的预测.

7.3预测2003年实际旅游人数

实际旅游人数受到SARS的影响，从3月开始下降，在5月达到最低点后开始回升.

?i的百分比图，如图9： 做出实际旅游人数yi占预测旅游人数y图9 实际旅游人数占预测旅游人数的百分比图

对5月以后旅游人数的回升用对数函数进行拟合：

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(t?10)1.5yi?(1.8e?i , t?5 ?1)y根据这个函数预测出2003年实际旅游人数，如表3（单位：万人）：

月1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 份 人15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 31.1 34.4 31.0 25.3 数 表3 2003年实际旅游人数预测

旅游人数在9月1日时回复到正常水平的92.6%，在9月4日左右恢复正常水平.2003年的旅游总人数比预期减少116.11万人.若平均每位旅游者花销2000元人民币，则累计经济损失达到23.22亿元人民币，比预计经济收入减少了34.67%.

可以看出，SARS对旅游业的影响还是比较大的，使整个旅游业收入减少了3成左右.

8．模型的改进方向

本文在传染病SIR模型的基础上，改进得到了SARS传播模型.模型能够比较准确地预测出累计病例数，还能隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，具有很好的合理性和实用性.但本模型还有一些可以完善的地方：

1本模型不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究SARS的传播机理.可以○

增加参数?ij表示第i个城市向第j个城市的人口流动率，定量地研究相邻的N个城市之间人口的流动.这样，就需要有关方面提供城市间人口流动数据来确定参数?ij.

2对SARS最新研究表明，该病毒对小孩的影响远远小于成年人.因此，可以将模○

、R(t)改变为S(a,t)、I(a,t)、R(a,t),分别表示t时刻时易感类、传型中S(t)、I(t)染类、恢复类按年龄分布的密度函数.这样，模型就能研究不同年龄层次的病情发展情况.

9．写给报刊的短文

小小“抗非典英雄”

2003年初，春意昂然，万物复苏.没有人预料到，在一片安静祥和之中，一场灾难却悄悄地笼罩在人类社会的上空.

不起眼的咳嗽、发烧，竟然导致了大范围的快速传播，甚至引起死亡，专家们似乎都对这个叫做“非典”的病魔束手无策.一时间，人心惶惶，谣言四起，大家都到了“谈非典色变”的地步.

但是，我们岂会轻易服输?在这个关键时刻，科研工作者聚到一起，运用科学这一有力的武器，向“非典”病魔做出有力的反击.在党中央和国务院的领导下，全国人民齐心协力，同舟共济.终于，在科学和团结面前，嚣张一时的“非

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