函数与方程思想二轮复习直播

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高考定位

高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题、三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一. 方法指要

1.函数与方程思想的含义

（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对于函数y=f（x），当

y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. （2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题的方法是十分重要的. （3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及到二次方程与二次函数的有关理论. （4）立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 典例精析

一、利用函数与方程的思想解决方程根的问题 例1（1）如果方程cos2x-sinx+a=0在（0，π2]上有解，则a的取值范围是.

（2）函数f（x）=lnx-x2+2x（x>0），x2-2x-3（x≤0）的零点个数为.

分析：（1）可分离变量为a=-cos2x+sinx，转化为确定的相关函数的值域.

（2）转化为方程的根的个数或两个函数的图象的交点问题.

解：法1：设f（x）=-cos2x+sinx（x∈（0，π2]）. 显然当且仅当a属于f（x）的值域时，a=f（x）有解. 因为f（x）=-（1-sin2x）+sinx=（sinx+12）2-54， 且由x∈（0，π2]知sinx∈（0，1].易求得f（x）的值域

为（-1，1].

故a的取值范围是（-1，1].

法2：令t=sinx，由x∈（0，π2]，可得t∈（0，1]. 将方程变为t2+t-1-a=0.

依题意，该方程在（0，1]上有解.

设f（t）=t2+t-1-a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t=-12， 如图所示.

因此f（t）=0在（0，1]上有解等价于f（0）<0，f（1）≥0， 即-1-a<0，1-a≥0，所以-1 故a的取值范围是（-1，1].

（2）当x≤0时，f（x）=x2-2x-3，

由f（x）=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3. 因为x≤0，所以x=-1.此时函数f（x）只有一个零点. 当x>0时，f（x）=lnx-x2+2x，

令f（x）=0，得lnx=x2-2x，如图，分别作出函数y=lnx与y=x2-2x（x>0）的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f（x）有两个零点. 综上知，函数f（x）的零点有三个.

解后反思：方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当

变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数. 二、利用函数与方程的思想解决不等式恒成立问题 例2设函数f（x）=cos2x+sinx+a-1，已知不等式1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.

分析：本题中先利用参数a表示出最大值与最小值，其最大值小于或等于174，最小值大于或等于1，这样就满足了题目中的不等关系，从而求出参数的取值范围.把恒成立问题转化为最值问题是常用的思想方法.

解：f（x）=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-（sinx-12）2+a+14.

因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=12时，函数有最大值（fx）max=a+14，

当sinx=-1时，函数有最小值f（x）min=a-2. 因为1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立， 所以f（x）max≤174且f（x）min≥1， 即a+14≤174，a-2≥1，解得3≤a≤4， 所以a的取值范围是[3，4].

解后反思：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.

三、利用函数与方程思想求解数列中的最值问题 例3（1）已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.则{an}前n项和Sn的最大值为.

（2）已知向量a=（2，-n），b=（Sn，n+1），n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{anan+1an+4}的最大项的值为. 分析：（1）先列出关于a2和a5的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差，写出an.再求前n项和Sn，整理成关于n的二次函数，求其最大值（.2）先求数列{an}的通项公式，再将anan+1an+4表示成关于n的函数，并求其最大值.

解：（1）设{an}的公差为d，由已知条件，

a1+d=1，a1+4d=-5，解出a1=3，d=-2.所以an=a1+（n-1）d=-2n+5.

于是，Sn=na1+n（n-1）2d=-n2+4n=4-（n-2）2. 所以n=2时，Sn取到最大值4.

（2）依题意得a?b=0，即2Sn=n（n+1），Sn=n（n+1）2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）2-n（n-1）2=n； 又a1=1，因此an=n，

anan+1an+4=n（n+1）（n+4）=nn2+5n+4=1n+4n+5≤19， 当且仅当n=4n，n∈N*，即n=2时取等号，因此数列{anan+1an+4}的最大项的值是19.

解后反思：数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：

（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.

（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an-1≤an，an≥an+1或an-1≥an，an≤an+1求解.

（3）数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可求解.

四、利用函数与方程思想求解解析几何中的方程，定值与最值问题

例4平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程.

（2）设椭圆E：x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求△ABQ面积的最大值. 分析：（1）建立关于a，b，c的方程，进而求出a，b；

（2）（i）对点P坐标舍而不求，并设|OQ||OP|=λ，求出Q点坐标，进而代入椭圆E方程，利用方程思想求出λ；（ii）把△ABQ面积表示成关于某个变量的函数，进而求出该函数的最大值.

解：（1）由题意知2a=4，则a=2， 又ca=32，a2-c2=b2，可得b=1， 所以椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）由（1）知，椭圆E的方程为x216+y24=1， （i）设P（x0，y0），|OQ||OP|=λ，由题意知Q（-λx0，-λy0）.

因为x204+y20=1，且（-λx0）216+（-λy0）24=1，即λ24（x204+y20）=1， 所以λ=2，即|OQ||OP|=2. （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）. 将y=kx+m代入椭圆E的方程， 可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0， 由Δ>0，可得m2<4+16k2，①

则有x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2， 所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m）， 所以△OAB的面积S=12|m||x1-x2| =216k2+4-m2|m|1+4k2

=2（16k2+4-m2）m21+4k2 =2（4-m21+4k2）×m21+4k2.

设m21+4k2=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程， 可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0， 由Δ≥0，可得m2≤1+4k2.② 由①②可知0

故S≤23，当且仅当t=1，即m2=1+4k2时，S取得最大值23，

由（i）知，△ABQ的面积为3S， 所以△ABQ面积的最大值为63.

解后反思：在解析几何中，方程问题和定点定值问题，一般采用方程思想求解，而最值问题常常采用函数思想.值得关注的是，解析几何中的最值是高考的热点，也是难点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

（作者：宋涛，如皋市第一中学）

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