计量经济学复习概要2

计量经济学（个人复习资料:张广永）

（说

为参考，发现错误，纯属正常，意料之中的事情，嘿嘿……） 1、最小二乘法对随机误差项u做了哪些假定？说明这些假定条件的意义：（1）

E（ui）=0，i=1,2，……表示在Xi已知的条件下，随机误差项ui可以取不同的值，有些大于零，有些小于零，如果考虑所有可能的值，他们的期望值或平均值等于零。（2）Var（ui） =E[ui?E(ui)] =E（ui）=?u，i=1，2，……表示每个Xi对应的随机误差项ui具有相

（uiuj）（uj）同的常数方差，称为同方差性。（3）Cov（ui，uj） =E[ui?E(ui)][uj?E]=E

222=0，i?j，i，j=1,2，……表示任意两个Xi和Xj所对应的随机误差项ui，uj，称为随机误差项u无序列相关。（4）Cov（ui，Xi）=E[ui-E（ui）][ Xi-E（Xi）]= E（uiXi）=0，表示解释变量X是确定的变量，与随机相u不相关，此假定保证解释变量X是非随机变量。（5）服从正态分布，由（1）（2）知，ui?N（0，σu^2）。【P9】

2、阐述对样本回归模型拟合优度的检验及对回归系数估计值显著性检验的步

骤：（1）总离差平方和的分解、样本可决系数、样本相关系数（2）随机变量u的方差、回归系数估计值的显著性检验——t检验：提出原假设H0：?=0，备择假设H1=?1?0，计算t=

?1S?1,给出显著水平?，查自由度v=n-2的t分布表，得临界

值t?/2（n-2）。做出判断：如果t?t?/2（n-2），拒绝H0t>t?/2（n-2），拒绝H0，接

受H1：?1?0，表明X对Y有显著影响。对常数项?0的显著性检验于此类似。如果接受H0:?0=0，则常数项?0不应该出现在模型中。在计量经济学中，常用的显著水平为?=0.05或0.01.t检验为双侧检验。【P23、P28】

?3、试证明最小二乘估计具有最小方差：由于?0、?1是一元线性回归模型的线性无偏估计

量，令?1=??iYi其中?i，i=1,2，……n为一组不全为0的常数。不失一般性，令

n????i=Ki+di，这里Ki=Xi/?Xi。于是

i?12

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?1=??i(?0??1Xi?ui)??0??i??1??iXi???iui（A），E（?1）=E

??（?0??i??1??iXi???iui）=?0???i??1??iXi（B） 由于?1是?1的无偏差估

?计量，因此E（?1）=?1，由此可知??i?0,??iXi?1而，

?????d2i??(Ki?di)?i?Ki??di

iXi??KXi??diXi 由前面的推导结果，?Ki?0,?KiXi?1因此

??i（A）（B）式，?1=?1+??iui所以Var（?1）=Var（?1+??iui）?0,?diXi?0由

2i=?u??而

?di)?i2??2i??(Ki?di22i??KKi?2i?2?Kidi=

?Ki?2?d2i?2?xd?x????d2i?2i?(X?X)d?xi2ii??Ki?2?d2i?2Xidi??di*X?x2i??K2u2i??di因此Var（?1）

22=?(?Ki?2u2i?d2i)??u22??xi??2u?d?2i??Var(?1)??u2?d2i因为

?????d??0所以Var（?1）

4、试说明为什么?ei2的自由度等于n?2？

答：在模型中，自由度指样本中可以自由变动的独立不相关的变量的个数。当有约束条件时，自由度减少，其计算公式：自由度=样本个数-受约束条件的个数即df=n-k（df为自由度，n为样本个数，k为约束条件个数。）一元线性回归中SSE残差的平方和，其自由度为n-2，因为计算残差时用到回归方程，回归方程中有两个未知参数β0和β1，而这两个参数需要两个约束条件予以确定，由此减去2，也即其自由度为n-2。

5、简述多元线性回归模型的基本假设，并说明在证明最小二乘法估计量的无偏性和有效

性的过程中，哪些基本假设起了作用？

（1）①E(ui)=0，i=1,2，……②对于解释变量X1，X2，……Xk的所有观测值，随机误

=E（ui）=?，差项有相同的方差，即Var（ui）i=1,2，……于是

Yi的方差也都是相同的，都等于?，即Var（Yi）=?，i=1,2，……③随机误差项彼此

222计量经济学（个人复习资料:张广永）

（ui，uj）=0，i?j，i，j=1,2，……，n④解释变量uj）=E之间不相关，即Cov（ui，X1，X2，……Xk是确定性变量，不是随机变量，与随机误差项彼此之间不相关，即Cov（Xij，uj）=0，i=1,2，……，n⑤解释变量X1，X2，……Xk之间不存在精确的线

性关系，即解释变量的样本观测值矩阵X是满秩矩阵，应满足关系式rank（X）=k+1

6、试对二元线性回归模型Yi=?0??1X1i??2X2i?ui，i=1,2，……做回归分析：（1）

????1，?，的最小二乘估计量?0，?1，?2（2）求出随机误差项的方差?的求出未知参数?0，2无偏差估计量（3）对样本回归方差拟合优度检验（4）对总体回归方程的显著性进行F检验（5）对?1，?2的显著性进行t检验（6)当X0?(1，X10，X20)时，)写出E和（Y0X0）Y0的置信度为95%的预测区间

'?0??????????????????1解：（1）由公式?=（X'X）X'Y可得出?0，?1和?2。其中?={?1}，

????2?3?X'X?[??X1i???X2i?X?X?XX1i1i1i222i?X?XX?X2i2i1i1i2??Yi??]，X'Y?{?X1iYi} ??X2iYi?（2）随机误差项的方差?的无偏差估计量为

ESSn-k-1=?ei2n-k-1

2（3）求出样本可决系数R?R-squared，修正样本可决系数为 R=Adjusted-squared,比较R和R值大小关系，即可得出样本回归方差拟合优度。

（4）提出检验的原假设H0：?i=?2=0，对立假设为 H1:至少有一个?i不等于零（i=1,2），由题意得F的统计量为 F-statistic 。对于给定的显著性水平?,；从附录4的表1中，查出分子自由度为f1，分母自由度为f2的F分布上侧位数F0.05。由F-statistic与（f1,，f2）的值大小关系，可得显著性关系。 F0.05（f1,，f2）222

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（5）提出检验的原假设H0：?i=0，i=1,2，求出t统计量 ti-statistic。对于给定的显著性水平?=0.05,；从附录4的表1中，查出t分布的自由度为f的t分布双侧位数t0.05。比（f）较ti-statistic与t0.05值的大小关系，可得检验结果的显著性关系。 （f）（6）

7、假设投资函数模型估计的回归方程为

?It?5.0?0.4Yt?0.6It?1,R?0.8,DW?2.05,n?24其中It和Yt分别为第t期投资和国

(4.0)(3.2)2民收入（1）对总体参数?1，?2的显著性进行检验（?=0.05）（2）若总离差平方和TSS=25，试求随机误差项ut方差的估计量（3）计算F统计量，并对模型总体的显著性进行检验（?=0.05）

解：（1）首先提出检验的原假设H0：?i=0，i=1,2 由题意知t的统计量值为

t1=4.0，t2=3.2。对于给定的显著性水平?=0.05,；从附录4的表1中，查出t分布的自

由度为v=21的双侧分数位t0.05（21）=1.72。因为t1=4.0>t0.05（21）=1.72,所以否定/2/2H0,?1显著不等于零即可以认为第t期投资对国民收入有显著影响；

t2=3.2>t0.05（21）=1.72。所以否定H0,?1显著不等于零即可以认为第t期投资对第t-1/2期投资有显著影响。 （2）R?ESSn-k-1=2RSSTSSTSS?RSSn-k1?RSS?R?TSS?0.8?25?20.ut的方差估计量为：

2=

25?2024?2?1=521

（3）提出检验的原假设

0.8/2==42，对于给定的显著性H0：?i=?2=0，F=2（1-R）/（n-k-1）（1-.08）/（24-2-1）R/k2水平?=0.05，从附录4的表3中，查出分分子自由度为2，分母自由度为21的F分布上侧位数F0.05(21)?3.47。因为F=42>3.47，所以否定H0,总体回归方程存在显著的线性关系，即第t期投资与第t-1期投资和第t期国民收入的线性关系是显著的。

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8、假定某国外贸进口函数模型估计的回归方程为

?m=10?0.8Pt?0.6YtR?0.8，DW?1.9，n=23其中mt为第t期该国实际外贸进口额，

（3.7）（2.8）2Pt为第t期的相对价格，Yt为第t期该国实际GDP（1）写出进口的价格弹性，他的符号是

正号还是负号？（2）对总体参数?1，?2的显著性进行检验（?=0.05）（3）计算F统计量，并对模型总体的显著性进行检验（?=0.05）（4）若某一时期的相对价格P0=1.25，实际GDP0=100货币单位，试预测该国实际外贸进口额，并求出相应的预测区间（?=0.05）。 解：（1）

（2）首先提出检验的原假设H0：?i=0，i=1,2 由题意知t的统计量值为t1=3.7，t2=2.8对于给定的显著性水平?=0.05,；从附录4的表1中，查出t分布的自由度为v=20的双侧分数位t0.05（20）=1.73。因为t1=3.7>t0.05（20）=1.73,所以否定H0,?1显著不等于零，/2/2即可以认为第t期该国进出口额对第t期的相对价格有显著影响；

t2=2.8>t0.05（20）=1.73。所以否定H0,?1显著不等于零即可以认为第t期该国进出口额/2对第t期该国的GDP有显著影响。 （3）提出检验的原假设

0.8/2==40，对于给定的显著性H0：?i=?2=0，F=2（1-R）/（n-k-1）（1-.08）/（23-2-1）R/k2水平?=0.05，从附录4的表3中，查出分分子自由度为2，分母自由度为20的F分布上侧位数F0.05(20)?3.49。因为F=40>3.49，所以否定H0,总体回归方程存在显著的线性关系，即第t期该国进出口额对第t期的相对价格和第t期该国实际GDP的线性关系是显著的。 （4）

9、DW统计量的取值范围是多少？ [0,4] 10、什么的多重共线性？

完全的多重共线性（c0?c1X1i?c2X2i?…+ckX=0，i=1,2，…，n如果解释变量X1，

kiX2,X3, …，Xk之间线性相关，则矩阵X不是满秩矩阵，其秩小于k+1，必有X'X=0，（X'X）不存在，因此最小二乘估计量?不是唯一确定的，即最小二乘法失效）和近似从而

-1?

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的多重共线性（c0?c1X1i?c2X2i?…+ckX-1ki?0，虽然矩阵X是满秩矩阵，其秩等于K+1，

?（X'X）存在，因此最小二乘估计量?是唯一确定的。）统称多重共线性。 从而

11、多重共线性的检验有哪些适当的方法？

①两个解释变量的相关检验②多个解释变量的相关检验③参数估计值的经济检验④参数估计值的稳定检验⑤参数估计值的统计检验

12、多重共线性的修正有方法哪些？

①增加样本观测值②略去不重要的解释变量③用被解释变量的滞后值代替解释变量的滞后值④利用参数之间的关系⑤利用解释变量之间的关系⑥变换模型的形式⑦对数据进行中心化处理⑧修正Frisch法（逐步回归法）

13、修正Frisch法的步骤是什么？

（1）用被解释变量分别对每个解释变量进行回归，根据经济理论和统计检验从中选择一个最合适的回归方程作为基本回归方程，通常选取拟合优度R2最大的回归方程。（2）在基本回归方程中逐个增加其他解释变量，重新进行线性回归。如果新增加的这个解释变量提高了回归方程的拟合优度R2，并且回归方程中的其他参数统计上仍然显著，就在模型中保留该解释变量；如果新增加的这个解释变量没有提高回归方程的拟合优度，并且回归方程中的某些参数的数值或符号等受到显著的影响，说明模型中存在多重共线性，对该解释变量同与之相关的其他解释变量进行比较，在模型中保留对被解释变量影响较大的，略去影响较小的。

14、当模型中出现随机解释变量时，最小二乘法估计量具有说明特征？

①如果随机解释变量X与随机项u的相互独立的，即E(Xiui)?E(Xiui)E(ui)?0，最小二乘估计量仍然是无偏的②如果随机解释变量X与随机项u的不独立，也不相关，即但?1是?2的一致估计量③如果随机解释变量XCov(Xi,ui)?0,最小二乘估计量是有偏的，

与随机项u具有高度的相关关系，Cov(Xi,ui)?0,最小二乘估计量?1是有偏的，但不是?1的一致估计量。

15、选择工具变量应具有什么特点？简述工具变量法的主要步骤。

（1）特点：当随机解释变量X与扰动项u高度相关时，设法找到另外一个变量Z，它与【X高度相关，与u无关。满足最小二乘法的假定条件：

i?j，i，j=1,2，…，n】，从而用Z替换X.E（ui）=0，Var（ui）=?u；Cov（ui，uj）=0，2（2）对于一元线性回归模型Yi=?0??1Xi?ui步骤：①寻找工具变量Z，它满足一下条件：它必须是有实际意义的变量,它与X高度相关于u不相关②第二章在用最小二乘法求回归系

计量经济学（个人复习资料:张广永）

数估计量的表达式时，推导出正规方程组?(Yi??0??1Xi)?0和

???(Y?(Y?i????Xi)Xi?0用Z替换上式中的后一个Xi有?(Yi??0??1Xi)?0和

??????i??0??1Xi)Zi?0解以上线性方程组，得?1的工具变量法估计式

?1IV???(Z?(Zii??Z)(Yi?Y)-Z)(X?X)??zy（其中Z?zyiiiiI,?0工具变量法估计式为=Zi-Z）?0IV?Y??1IV;对于多元线性回归模型Yi=?0??1X1i??1X2I+…+?kXki+ui其中

ui）=0，i?j，i，j=1,2，…，n，Cov（uji，E（ui）=0，Var（ui）=?u；Cov（ui，uj）=0，2j?2，解释变量之间无多重共线性。步骤：①寻找工具变量Z2，Zk，满足以下条件：他们必须具有实际经济意义的变量；与它们所对应的随机解释变量高度相关；与u不相关；与多元线性回归模型中其他解释变量不相关；工具变量Z2，Zk之间不相关②除Z2，Zk之外，

?1?其他外生变量及常数项均由自身工具量。可得工具变量矩阵：???1?????Xkn???用Z'替换多?Xkn???1元线性回归模型参数估计量表达式?=（X'X）X'Y中的X',得多元线性回归模型工具变

?-1量参数估计量表达式?=（Z'X）Z'Y其中Z'是矩阵Z的转置矩阵。

16、给出分布滞后模型Y=???t???0Xt??1Xt-1??2Xt-2??3Xt-3??4Xt-4?ui取阿尔蒙多

项式的次数r=2.假如由n个样本观测值求出了二阶多项式的参数估计值分别为：?0=0.3，?1=0.51，?2=-0.1试计算?0，?1，?2，?3和?4的参数估计值。

?解：?0??0?0.3

?1??0??1??2?0.3?0.51???0.1??0.71

2?2??0?2?1?2?2?0.3?2?0.51?2???0.1??0.92

?????2?????3??0?3?1?3?2?0.3?3?0.51?3???0.1??0.93 ?4??0?4?1?4?2?0.3?4?0.51?4???0.1??0.74

??2?22217、如果一个定性变量含有K个类别，为什么不能设K个虚拟变量？

计量经济学（个人复习资料:张广永）

答：最多只能引入K-1个虚拟变量，否则当模型中存在截距项时会产生完全多重共线性，无法估计回归参数。

18、结构方程可识别与不可识别的等价定义是什么？

答：如果结构方程与结构模型中的全部结构方程的任意线性组合具有不同的统计形式，即含有不完全相同的内生变量或预定变量，则称该结构方程可识别；否则，不可识别。

19、叙述识别的阶条件和秩条件的步骤：

（1）对结构模型中的第i个结构方程，记K为结构方程模型中内生变量和预定变量的总个数，Mi为第i个结构方程内生变量和预定变量的总个数，G为结构模型中内生变量即机构变量的个数，当K-Mi?G-1时，阶条件成立。可以证明：①当K-Mi=G-1时，此时如果第i个结构方程可识别，则为恰好识别②当K-Mi>G-1时，此时如果第i个结构方程可识别，则为过渡识别③当K-Mi

①写出结构模型对应的结构参数矩阵②删去第i个结构方程对应系数所在的一行③删去第i个结构方程对应系数所在的一行中非零系数所在的各列④对余下的子矩阵（A0，B0）如果其秩等于G-1，则称秩条件成立，第i个结构方程一定可识别；如果（A0，B0）的秩不等于G-1，则称秩条件不成立，第i个结构方程一定不可识别。

20、某农产品的市场局部均衡模型为 需求方程：Dt=a?a1Pt?a2Yt?u1t 供给方程：

St=b0+b1Pt+b2Pt-1+u2t 均衡方程：Dt=St （1）指出模型中的内生变量、外生变量和预

定变量（2）推导出简化模型，建立结构参数与简化参数的关系表达式（3）利用阶条件和秩条件分析模型的识别状态（4）写出参数估计的基本步骤 解：（1）内生变量：Dt，Pt，St外生变量：Yt预定变量：Yt，Pt-1

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DtSt01?1?a20Pt?a1?b100Yt?a200Pt-10?b20（2）因为（A B）=[

101]，所以有矩阵：

101?1?a10A=[01?b1],B=[0?b2]由参数关系表达式得参数关系

0Dt=b2Pt-1?a2Yt??b21??1C??AB=?b2?b1-a1??b2b1?a1b1?a1?b2a1a2??a1a2，简化模型：Pt=-Pt-1?Yt ?b1?a1b1?a1a1a2??b2aaSt=-Pt-1?12Ytb1?a1b1?a1?a2Dt?0St?a1Pt?a2Yt?0Pt-1=u1t（3）写出结构模型的一般形式（略去常数项）:0Dt?St?b1Pt?0Yt?b2Pt-1=u2t 的结构参

Dt?St+0Pt?0Yt?0Pt-1=0DtSt01?1Pt?a1?b100Yt?a20Pt-10?b20数矩阵为（A B）=[

101]此外（A B）的列数为结构模型的

变量总数，（A B）的行数为结构模型的方程个数，即K=5，G=3。①需求方程。在阶条件中，M1=3，即矩阵（A B）中第一行的非零元素的个数故：K?M1?G?1=2即阶条件成立，且取等号。在秩条件中，删去（A B）中的第一行和第一、三、四各列，得到子矩阵=[（A0 B0）1?1?b20]因为rank（A0 B0）=2=G-1,秩条件成立，故需求方程可识别。结

合阶条件，需求方程恰好识别。②供给方程。在阶条件中，M2=3，即矩阵（A B）中第一行的非零元素的个数故K-M2=2=G-1，即阶条件成立，且取等号。在秩条件中，删去（A B）中的第二行和第二、三、五各列，得到子矩阵=[（A0 B0）11?a20]因为rank（A0 B0）

=2=G-1,秩条件成立，故供给方程可识别。结合阶条件，需求方程恰好识别。均衡方程是非随机方程，不需要进行参数估计，因此不需要进行识别。综上所述，结构模型是可识别的，不需要进行修改。

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（4）应用两阶段最小二乘法估计参数。设方程内生变量Pt作解释变量。第一步，对Pt的简化方程，应用最小二乘法得Pt的估计方程。第二步，将Pt的估计量方程代入方程得到的新方程，对该方程应用最小二乘法求得参数的估计量。

21、某简化的宏观经济模型为 消费模型 Ct=a0+a1Yt+u1t投资模型

It=b0?b1Pt?u2t收

入方程 Yt=Ct?It?Gt 问题：（1）指出模型中的内生变量、外生变量和预定变量（2）利用阶条件和秩条件分析模型的识别状态（3）利用下表的数据估计该模型。 解：（1）内生变量：Ct，It，Yt，Pt 外生变量：Gt 预定变量： Gt

Ct?0It?a1Yt?0Pt?0Gt=u1t（2）写出结构模型的一般形式（略去常数项）:0Ct?It?0Yt?b1Pt?0Gt=u2t 的结

?Ct?It?Yt?0Pt?Gt=u1tCtIt01?1Yt?a101Pt0?b10Gt00?1构参数矩阵为（A B）=[

10?1]此外（A B）的列数为结构模

型的变量总数，（A B）的行数为结构模型的方程个数，即K=5，G=3。①消费方程。在阶条件中，M1=2，即矩阵（A B）中第一行的非零元素的个数故：K?M1=3?G?1=2即阶条件成立，且取大于号。在秩条件中，删去（A B）中的第一行和第一、三各列，得到子矩阵=[（A0 B0）1?1?b200?1]因为rank（A0 B0）=2=G-1,秩条件成立，故需求方程可

识别。结合阶条件，需求方程过度识别。②投资方程。在阶条件中，M2=2，即矩阵（A B）中第一行的非零元素的个数故K-M2=3>2=G-1，即阶条件成立，且大于等号。在秩条件中，删去（A B）中的第二行和第二、四各列，得到子矩阵=[（A0 B0）1?1a110?1]因为rank

（A0 B0）=2=G-1,秩条件成立，故供给方程可识别。结合阶条件，需求方程过度识别。均衡方程是非随机方程，不需要进行参数估计，因此不需要进行识别。综上所述，结构模型是过度识别的，不需要进行修改。

（3）

22、虚拟变量、模型的建立P190例8.4

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