高代第三章

定理1 数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

dimW?n?ranA；k

（2）

其中A是方程组的系数矩阵。从而当齐次线性方程组（1） 有非零解时，它的每个基础解系所含向量的个数都等于

n?rank(A)。

证明 定理1的证明过程其实就是求基础解系的过程。 设rank(A)?r。把系数矩阵A经过初等行变换化成简化行 阶梯形矩阵J。由于rank(A)?r，因此J有r个非零行，从而 有r个主元。不妨设它们分别在第1，2，?，r列。即

?1?0????J??0?0????0?01?00?000?00?0?????00?00?000?10?0b1r,?b2r,??br,r?10?0???11??

bn?1?bn2????brn?。 0????0??于是齐次线性方程组（1）的一般解为

x???bn1x?x1??b1r?,?1r1n?x???bn2x?x2??b2r?,?1r1n? ????????????x??bx???brnx,r?r1?r1?r 其中x （3）

nr?1,xr?2,?,xn是自由未知量。

r?1 让自由未知量x??????xr?1??1???0?xr?2????????????xn??0?,xr?2,?,xn分别取下述n?r?0???0????????1?组数：

，

?0???1?? ??????0?，?，， （4）

则得到方程组（1）的n?r个解为

??b1r,??1???b2r,?1????????br,r?1??1???1????0???????0?????b1,r?2??b?2,r?2????br,r?2?2???0??1????0????????????????b1n??b?2n????brn???0??0????1??????????????

， ，?， ?n?r。 （5）

因为（4）中的n?r个向量线性无关，所以它们的延伸组 即?

其次，任取齐次线性方程组（1）的一个解?：

?c1?c2???????cn??????1,?2,?,?n?r也线性无关。从而?1,?2,?,?n?r满足基础解系中

的条件1°。

，

则?满足方程组（1）的一般解的公式（3），即

cr??1??bn1cn?c1??b1r,?1?cr??1??bn2cn?c2??b2r,?1????????????。 ?c??bc???brncnr,?r1?r1?r

从而解向量?可以写成下述形式：

c1?c1???b1r?,r?????????cr???br,r?c1r???????1cr?1?cr?1????????c????0cr?1?n?????bncn?11??????brncn?1????0cn?

??????1cn??

?cr?1??b1r,??????br,r?1?1?????0??1??bn????????brn????cn???0???????1???1????? ?????cr?1?1???cn?n?r. 因此方程组（1）的每一个解?都可以由?1,?2,?,?n?r线性 表出，即?1,?2,?,?n?r满足基础解系中的条件2°。从而由基 础解系的定义知?

总结 求基础解系的方法：

第一步：把齐次线性方程组（1）的系数矩阵A经过初等 变换化成简化阶梯型矩阵J；

第二步：从J直接写出方程组（1）的一般解公式； 第三步：在一般解公式中，每一步让一个自由未知量取

值1，其余自由未知量取值0，求出方程组（1） 的一个解向量。这样得到的n?r个解向量就构成 方程组（1）的一个基础解系，其中r?n?rank(A)。

注意：也可以让自由未知量x??????????xr?1??d1????xr?2??0????0?????????????0??????xn???0?r?11,?2,?,?n?r是方程组（1）的一个基础解系。

,xr?2,?,xn分别取下述n?r?0?0??0????0??d?n?r??????????组数：

，

?0?d?2?0????0??0???????????， … , ，

其中dd12?dn?r?0，证明过程仍然成立，也能得到相应的基

础解系。

例1 求下述齐次线性方程组的一个基础解系，并且写出它

的解集

?x1?3x2?5x3?2x4?0???2x1?x2?3x3?x4?0 ??x?7x?9x?4x?0234?1 解

?1??2???1?5??2?1?31???79???4??1??0???0???3?1?0??0??3?5?1045?755??2?7?3?

1?4??61???5?3?5??0???010

??1?0??0??3?50570?2???3?0???。

0 于是一般解为

41?x1??x3?x4??55?x3, x4为自由变元。 ，73?x?x3?x42?55?3

分别取x?5,x4?0；x3?0,x4?5得基础解系为

??4??1?????7?3??1???2???。 ， ?5??0?????05???? 解集为W?{k1?1?k2?2|k1,k2?K}.

总结 求基础解系的方法：

第一步：把齐次线性方程组（1）的系数矩阵A经过初等 变换化成简化阶梯型矩阵J；

第二步：从J直接写出方程组（1）的一般解公式； 第三步：在一般解公式中，每一步让一个自由未知量取

值1，其余自由未知量取值0，求出方程组（1） 的一个解向量。这样得到的n?r个解向量就构成 方程组（1）的一个基础解系，其中r?n?rank(A)。

§3.8 非齐次线性方程组的解的结构

数域K上的n元非齐次线性方程组 x1?1?x2?2???xn?n?? (??0)， （1）

12的一个解是Kn中的一个n维列向量?x,x,?,xn??，称它为方

程组（1）的一个解向量。全体解向量的集合U是Kn的一 个子集（可能是空集，如果方程组（1）无解的话），由于 ??0，所以U不是Kn的子空间，不可能象齐次线性方程

组那样去求解。当方程组（1）有无穷多个解，这无穷多 个解怎么表示出来？也就是解集U的结构如何？ 以R为例分析：此时一个3元非齐次线性方程

3ax?by?cz?d的解集是不经过原点的一个平面?，而相应

与z轴的交点所对应的向量为?0，

的齐次线性方程ax?by?cz?0的解集是过原点的一个平面

?0，显然???0。如果记?则?可以由?0沿着向量?0平移得到，其中?0??。于是?

第3章 线性方程组的进一步理论

回顾：第一章解线性方程组，必须将增广矩阵彻底化成 阶梯形矩阵，只能做行变换；看是否出现“0等于非0”， 非0行数r与变元个数n比较，有点复杂。

第二章解线性方程组，只针对方程个数与未知量的个数相 等的情形，且当系数行列式等于0时，无法区分何时无解， 何时有无穷多个解。

本章给出对任何线性方程组都适用，直接从方程组的系数 和常数项判断方程组有没有解，有多少解的方法。

为此，先分析第一章中线性方程组的解法 例. 求下述线性方程组的解：

? x1? x2??2,?? x1?2x2??5, ?3x?4x??9.2?1 （1）

解. 从增广矩阵出发，做初等行变换

?1?1??3??1?2?4?2??1???50????0?9????1?1?1?2??1???30????0?3????1?10?2???3?0??。

由此可以看出，方程组有解，并且有唯一解。 唯一解为x1

?1, x2?3。

注意：上面化阶梯型矩阵的过程中，需要把一行的倍数 加到另一行上去。例如，把第1行的?3倍加到第3行上 去。第1行的?3倍可以写成：

?1?, ?3?(1,2?)?(，3 （2）

再把它加到第3行上去，可以写成： (?3,3,?6)?(3?,这两种运算。

另外，还可以从列的角度来看方程组（1）：

? x1? x2??2,?? x1?2x2??5, ?3x?4x??9.2?14?,9?)。 ? （3）

这里出现了行向量乘以一个倍数，两个行向量相加

它可以写成如下形式：

?1???1??x1? x2?????x11?x2?2?x1?2x2??????3???4??3x?4x2?????1???2??????5??????9????

。

方程组（1）是否有解可以解释为：3维空间中的列向量

??2????5????9????1???1?能否表示成为另外两个列向量???3????1??? ?2与??各自乘以

??4???常数倍再相加；如果能的话，这两个常数就是要求的解。

x1?1, x2?3是方程组（1）的解相当于：

?1???1??1???????1?1?3??2?1????????3???4??3?????????3???2??????6??5??????12???9?????，

这里出现了列向量乘以一个倍数，两个列向量相加 这两种运算。

因此有必要研究向量（行向量、列向量）的加法和向量乘 以常数倍这两种运算，这就是本章要讲的内容。

§1 n维向量空间Kn

取定一个数域K，n是给定的正整数。令 K??(a1,a2,?,an)?ai?K,i?1,2,?,n?，

ndef即Kn表示所有n维行向量组成的集合。

注：K有时也表示所有n维列向量组组成的集合，即

?a1?a2??{????an????a?K,i?1,2,?,n}i???n

Kn。

至于Kn究竟表示行向量的集合还是列向量的集合，则由 上下文或具体交代而定。

在K中规定两种运算

n

（1）加法运算

????(a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn)?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)；（1）

（2）数量乘法运算

k??k(a1,a2,?,an)?(ka1,ka2,?,kan)。 （2）

直接检验可知，加法运算与数量乘法运算满足以下8条 运算法则：对于任意?,?,?1°????????Kn，任意k,l?K，有

（加法交换律）；

2°(???)?????(???) （加法结合律）；

3°把元素(0,0,?,0)记作0,它使得 ??0?0????，

称(0,0,?,0)?0是Kn的零向量； 4°对于??(a1,a2,?,an)?K我们有

??(??)?(??)???0， 称??为?的负向量； 5°1???n，

令

n ???(?a1,?a2,?,?an)?K，

；

?k??l?6°(kl)??k(l?)； 7°(k?l)?8°k(?； .

??)?k??k?称Kn关于以上定义的加法运算和数量乘法运算，构成 数域K的一个n维向量空间，Kn中的元素称为n维向量。 在K中还可以定义减法：

??)? ?????( . （3）

n

直接检验可知，以下4条性质成立：

（i）0??0, （4）

此处第一个0是常数0，第二个0是0向量； (ii) (?1)????； （5）

(iii) k0?0，这里两个0都是0向量； （6） (iv) k??0?k?0或者??0。 （7）

向量的线性组合：给定K中的一组向量?1,?2,?,?s，给定

nK中的一组数k1,k2,?,ks，称k1?1?k2?2???ks?s为向量组

?1,?2,?,?s的一个线性组合，称k1,k2,?,ks为系数。

向量的线性表出：对于??K，如果存在K中的一组数

nc1,c2,?,cs，使得

??c1?1?c?2?2??cs?s， （8） 则称?可以由?1,?2,?,?s线性表出。

利用向量的线性组合和线性表出，可以更进一步解释线 性方程组的求解过程。对于线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2,????????????? ?ax?ax???ax?b.s22snnn?s11

（9）

第一章对它的增广矩阵

这里给出的方法比第二章给出的行列式方法也要优越。

A)?n）时， 定理2 线性方程组（1）有解（即rank(A)?rank(?A)?n，则方程组（1）有唯一解； 如果rank(A)?rank(?A)?n，则方程组（1）有无穷多个解。 如果rank(A)?rank(? 证明 把线性方程组的增广矩阵?A经过初等行变换化成阶

?，则系数系数矩阵A化成阶梯型矩阵J，它比J? 梯型矩阵J正好少一列。由于方程组（1）有解，因此阶梯型方程组

?的非 不会出现“0=d(其中d?0)”这种方程。从而J与J零行数目一样。而J的非零行数目等于A的秩。于是当A

?的非零行数目）等于未知量的数目n时，方程 的秩（即J组（1）有唯一解；当A的秩小于未知量的数目n时，方程 组（1）有无穷多个解。

推论3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是： 它的系数矩阵的秩小于未知量的数目。

例2 问：例1中给出的线性方程组（2）有多少个解？ 解

例3 判断下述齐次线性方程组是否有非零解？

?x1?x2?x3?0??ax1?bx2?cx3?0?222ax?bx?cx3?012??a3x?b3x?c3x?0123? （3）

其中a,b,c两两互不相同。

上一节： 定理 线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2,????????????? ?ax?ax???ax?b.s22snnn?s11

（1）

有解的充分必要条件是：它的系数矩阵

?a11a1?a21a2?A??????as1as22??2

???1?an2???， ?asn?na与它的增广矩阵

?a11?a21??A?????as1a12a22?as2????a1na2n?asnb1??b2??? ?bs??)有相同的秩，即rank(A)?rank(A。

?)?n，则方程组（1）有唯一解； 如果rank(A)?rank(A?)?n如果rank(A)?rank(A，则方程组（1）有无穷多个解。

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是： 它的系数矩阵的秩小于未知量的数目。

§3.7 齐次线性方程组的解的结构

1.齐次线性方程组解的性质： 称

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,??a21x1?a22x2???a2nxn?0,????????????? ?ax?ax???ax?0.s22snn?s11 （1）

或

x1?1?x2?2???xn?n?0 （1）

为n元齐次线性方程组，其中?1,?2,?,?n为s维列向量。 它的一个解是指一个n元有序数组?x,x12,?,xn??，即一个n维

列向量。（1）的全体解向量的集合记为W，显然W是Kn的 一个子集。当方程组（1）有非零解时，它就有无穷多个 解，这无穷多个解怎么表示出来？也就是方程组（1）的 解集W的结构如何？这就是本节要讨论的问题。 以n?3为例分析，此时一个

3元齐次线性方程

3元齐

a11x1?a12x2?a13x3?0表示经过原点的一个平面，因此

次线性方程组的解集W就是多个这种平面的交集，这只有 以下几种情况：或者是原点（即零向量），或者是过原点 的一条直线，或者是过原点的一个平面。如果W是过原点 的一条直线l，则W中的每个向量都可以由l的一个方向向 量线性表出。如果W是过原点的一个平面?，则W中的每 个向量都可以由平面?中两个不共线的向量（线性无关） 线性表出。这表明，虽然齐次线性方程组（1）可以有无

穷多个解，但这无穷多个解却可以由有限多个（这里n时，由一个或2个）线性表出。

?3

本节就是要将这一结论推广到一般n元齐次线性方程组 的情形。

性质1 齐次线性方程组（1）的任意两个解的和还是方 程组（1）的解。即如果?,??W，则????W.

证明 任取齐次线性方程组（1）的两个解：

????c,c,?,c??d,d,?,d???? ， ， 12n12n则

c1?1?c2?2???cn?n两式相加得

(c1?d1)?1?(c2?d2)c2?2???(cn?dn)?n这表明

????(c1?d1,c2?d2,?,cn?dn)?

?0?0， d1?1?d2?2???dn?n?0。

，

是齐次线性方程组（1）的一个解，即?

???W。

性质2 齐次线性方程组（1）的任意一个解的倍数还是 方程组（1）的解。即如果??W,k?K，则k??W. 证明 设???c1,c2,?,cn???W，则

c1?1?c2?2???cn?n这表明

?0。

从而 (kc1)?1?(kc2)?2???(kcn)?n?0。

k??(kc1,kc2,?,kcn)?

是齐次线性方程组（1）的一个解，即k?

?W。

性质1、性质2表明，齐次线性方程组（1）的解集W是 Kn的一个子空间，称它为齐次线性方程组（1）的解空间。

如果方程组（1）只有零解，则W是零子空间。

如果方程组（1）有非零解，则W是非零子空间，从而W 有基，我们把解空间W的一个基称为齐次线性方程组（1） 的一个基础解系。即

1.基础解系的定义

定义1 齐次线性方程组（1）有非零解时，如果它的有限 多个解?1,?2,?,?t满足：

1°?1,?2,?,?t线性无关；

2°方程组（1）的每一个解都可以由?1,?2,?,?t线性表出， 则称?1,?2,?,?t是齐次线性方程组（1）的一个基础解系。

如果我们找到了齐次线性方程组（1）的一个基础解系

?1,?2,?,?t，那么方程组（1）的解集W为

W?{k1?1?k2?2???kt?t|?ki?K,i?1,2,?,t}，

称k1?1?k2?2???kt?t(k1,k2,?,kt?K)为齐次线性方程组（1） 的通解。

3.求基础解系的求法

再求J的行秩。由行列式

a10b2c20a10b1b20c1c2?a1b2c3?0c3

b1c10?0c3

可得

?a1??0??0???????b1,b2,0???????c??c??c??1??2??3?线性无关。

从而它们的转置，即行向量组

,c2, (a1,b1,c1),(b02), c(0,0,),线性无关，从而它们的延伸组即?1,?2,?3也线性无关。 由于?

以上表明：4?5的阶梯形矩阵

???J??????a1000b1b200c1c2c30d1d2d30e1??e2??e3?， ?0??4?0，因此?1,?2,?3是?1,?2,?3,?4的一个极大无关组，

从而J的行秩为3. 的列秩等于行秩，且等于J的非零行数目3. J的主元 a1,b2,c3所在的列?1,?2,?3正好是J的列向量组的一个极大线 正好是J的行向量 性无关组，主元a,b12,c3所在的行?1,?2,?3组的一个极大无关组。

一般地，有

定理1 阶梯形矩阵J的行秩等于列秩，它们都等于J的 非零行数目；并且J的主元所在的列构成列向量组的一个

极大无关组，主元所在的行构成行向量组的一个极大无 关组。

二．一般矩阵的秩的求法

方法一 用矩阵的初等行、列变换化成阶梯形

定理2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

定理3 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线 性无关性，从而初等行变换不改变矩阵的列秩。即 （1）设矩阵C经过初等行变换变成矩阵D，则C的列向量

组线性相关当且仅当D的列向量组线性相关； （2）设矩阵A经过初等行变换变成矩阵B，并且设B的第

j1,j2,?,jr列构成B的列向量组的一个极大无关组，则A

的列向量组的一个极大无关组；

的第

j1,j2,?,jr列构成A从而A的列秩等于B的列秩。

证明 （1）设矩阵C的列向量组是?1,?2,?,?n，D的列向 量组是?1,?2,?,?n，则齐次线性方程组

x1?1?x2?2???xn?n?0

的系数矩阵为C；齐次线性方程组

x1?1?x2?2???xn?n?0

的系数矩阵为D。由于C经过初等行变换变成矩阵D，因 此上面两个方程组同解。从而 ?1,?2,?,?n线性相关 ?x1?1?x?2?2??xn?n?0有非零解

?x1?1?x?2?2??xn?n?0有非零解

??1,?2,?,?n线性相关。

（2）当A经过一系列初等行变换变成矩阵B时，A的第 j1,j2,?,jr列组成的矩阵A1变成了B的第j1,j2,?,jr列组成的 矩阵B1。由已知条件，B1的列向量组线性无关，于是根 据（1）的结论得，A1的列向量组也线性无关。在A的其 余列中任取一列，譬如第l列。在上述初等变换下，A的 第

j1,j2,?,jr,l列组成的矩阵A2变成了B的第j1,j2,?,jr,l

列组成的矩阵B2。由已知条件得，B2的列向量组线性相 关，于是根据（1）的结论得，A2的列向量组也线性相关。 从而A的任何一列都可以由A的第j1,因此A的第

定理4 任何一个矩阵的行秩等于它的列秩。

证明：任取矩阵A设矩阵，把它A经过初等行变换化成阶 梯形矩阵J，则由定理2、定理1和定理3得

定义1 矩阵A的行秩与列秩统称为A的秩，记为rank(A)。

推论5 设矩阵A经过初等行变换化成阶梯形矩阵J，则

AAj2,?,jr列线性表出，

j1,j2,?,jr列构成A的列向量组的一个极大无关

组。从而A列秩?r?B的列秩。

的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩。

的秩等于J的非零行数目。设J的主元所在的列是第

j1,j2,?,jr列，则A的第j1,j2,?,jr列构成A的列向量组的 的行向量组 一个极大无关组，A的第的一个极大无关组。

例1 设向量组

j1,j2,?,jr行构成A

??1??4??2??0?????????5103???1???2???3???，?4???， ，，?3???2???1??4??????????294?5???????? 求这个向量组的秩和它的一个极大无关组。

解 本题相当于求下面矩阵的列秩，及列向量组的一个

极大无关组

??1?5??3???241?2920?140??3?4?。 ??5?为此，作初等行变换，把上述矩阵化成阶梯形矩阵

??1?5??3???241?2920?14??10???03??4???0???5??0422110101500??3?4? ??5???1?0???0??0410020510??10????0?5???54??0??0108??410020500???5??54?。 0??rank(?1,?2,?3,?4)?3, ?1,?2,?3是?1,?2,?3,?4的一个极大无关组。

k?)? 推论6 ran(AraA(n。k)

证明 rank(A?)=A?的行秩=A的列秩?rank(A)。

推论7 矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。

证明：注意，A经过初等列变换变成B，相当于A?经过 初等行变换变成B?。

既然矩阵的初等行变换与初等列变换都不改变矩阵的秩， 因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求的列向量组的 极大线性无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等 列变换，化成阶梯形矩阵。

求矩阵秩的方法二：行列式方法

定理8 任何一个非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的 最高阶数。

证明 设s?n矩阵A的秩为r。 第一步：证明存在不为零的r阶子式。

A的行向量组中有r个向量线性无关，设它们位于第i1,?,ir

行，并记这i1,?,ir行组成的矩阵为A1。此时A1的行秩为r， 从而A1的列秩也为r。于是A1有r列线性无关，不妨设它 们位于第

j1,?,jr列。A1的第

j1,?,jr列组成的子矩阵A2是

一个r阶的方阵，由于它的列向量组线性无关，所以|A2|?0。

即A有一个r阶子式不为零。

第二步：证明r阶以上的子式都为零。

设m?r，并且m?min{s,n}。任取A的一个m阶子式

?k1,A??l1,k2,l2,?,?,km??lm?。

j1 设A的列向量组的一个极大无关组为?第l,l12,?j2,?,?jr，则A的

,?,lm1列可以由?2j1,?j2,?,?jr线性表出。由于m?r，因

此A的第l,l

,?,lm列线性相关。由于

k2,l2,1?k1,A??l1,?,?,2km??lm?

的列向量组是A的第l,l于是

,?,lm列的缩短组，从而也线性相关。

?k1,k2,?,km?A??0? ， l,l,?,l2m??1即r阶以上的子式都为零。

推论9 一个n阶矩阵A的秩等于n当且仅当|A

推论10 设s?n矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶 子式所在的列（行）构成A的列（行）向量组的一个极大 线性无关组。

证明 设A的秩为r，则存在r阶子式

?i1,A?

?j1,i2,?,j2,?,ir???0。 jr??|0 。

于是这个r阶子式的列向量组线性无关，从而它的延伸组， 即A的第j,j12,?,jr列线性无关。由于A的列秩为r，因此A

的第j,j12,?,jr列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。

行的情形可类似证明。

例2 设s?n矩阵A为

?1?1?A?????1?aa2aa24?????as?a2s?2(n?1)?a????s(n?1)?a?an?1，

求A的秩和它的列向

其中s?n,a?0且当0?r?n时，ar量组的一个极大无关组。 解

A?1.

的前s列组成的s阶子式为范德蒙行列式

1D?1?1aa2aa24????aas?12(s?1)?as?a2s?as(s?1)。

由于当0?r?n时，ar 从而D?1，因此a,a2,?,as(s?n)两两互不相同。

?0，于是rank(A)?s。

又由于A的行数为s，因此rank(A)?s。从而rank(A)?s。

§3.6 线性方程组有解的充要条件

回顾：第一章解线性方程组，必须将增广矩阵彻底化

成阶梯形矩阵，只能做行变换；看是否出现“0等于非0”， 非0行数r与变元个数n比较，有点复杂。

第二章解线性方程组，只针对方程个数与未知量的个数相 等的情形，且当系数行列式等于0时，无法区分何时无解、 何时有无穷多个解。

本章用矩阵的秩给出线性方程组有解的充要条件。

定理1（线性方程组有解的判定定理）线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2,????????????? ?ax?ax???ax?b.s22snnn?s11

（1）

有解的充分必要条件是：它的系数矩阵

?a11a1?a21a2?A??????as1as22??2

???1?an2???， ?asn?na与它的增广矩阵

?a11?a21??A?????as1a12a22?as2????a1na2n?asnb1??b2??? ?bs?

?)。 有相同的秩，即rank(A)?rank(A如果用?1,?2,?,?n和?分别表示系数矩阵的列向量组和 常数向量，则上述充要条件相当于

rank{?1?,2?,?n,?rank}??{?,?n,?,。 ,12} 证明 线性方程组（1）有解 ?x1?1?x2?2???xn?n??有解

?????1,?2,?,?n?

???1,?2,?,?n,?????1,?2,?,?n? ???1,?2,?,?n????1,?2,?,?n,??

（注意：??1,?2,?,?n（注意：??1,?2,?,?n?)。 ?rank(A)?rank(A????1,?2,?,?n,??） ）

?dim??1,?2,?,?n??dim??1,?2,?,?n,??

????1,?2,?,?n,???rank{?1,?2,?,?n}?rank{?1,?2,?,?n,?}

这里给出的用矩阵的秩判断线性方程组是否有解的方法， 比第一章给出的方法要好。首先，求矩阵的秩有多种方法， 不一定要象第一章那样化成阶梯型矩阵。其次，有时不用 求出系数矩阵的秩和增广矩阵的秩，也能比较它们的秩是 否相等。注意：系数矩阵A是增广矩阵?A的子矩阵，且?A只 比A多一零，所以总有

rank(A)?rank(?A)?rank(A)?1。

?)?rank(A)。 A)?rank(A)，那么就有rank(A 如果还能够证明rank(?

例1 判断下述复数域上的线性方程组是否有解？

?x1??mx2??2mx3??3mx4?b1?m?12(m?1)3(m?1)x??x??x??x4?b2?123 ?m?22(m?2)3(m?2)x??x??x??x4?b323?1 （2）

其中???1?3i2,m是正整数。

解。 系数矩阵：

?1?A??1?1????m???2mm?1m?22(m?1)2(m?2)?3(m?1)???， 3(m?2)????3m增广矩阵：

?1?m?m?1?A??1??1?m?2????2m???3m2(m?1)2(m?2)3(m?1)3(m?2)b1??b2? b3??它们有一个共同的3阶子式

1???m???,?2m 由于???1?3i11m?1m?22(m?1)2(m?2).

2，因此?mm?1,?m?2两两互不相同，从而上述

A)?3。 范德蒙行列式不等于0. 因此rank(A)?3，rank(??又A,?A都只有3行，因此rank(A)?3，rank(A)?3。 A)?3，于是线性方程组有解。 所以 rank(A)?rank(?

当线性方程组（1）有解时，还能用系数矩阵的秩去判断 方程组什么时候有唯一解，什么时候有无穷多个解。从而

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