《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线的倾斜角与斜率、直

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[知识能否忆起]

一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

y2－y1y1－y2

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.

x2－x1x1－x2二、直线方程的形式及适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 几何条件 过点(x0，y0)，斜率为k 斜率为k，纵截距为b 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0) 方 程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A，B不全为0) 局限性 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不包括垂直于坐标轴的直线 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 截距式 一般式 [小题能否全取]

1．(教材习题改编)直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．150°

D．120°

3

，α∈[0，π)得α＝150°. 3

解析：选C 由k＝tan α＝－

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3

2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )

4A．3x＋4y－14＝0 C．4x＋3y－14＝0

B．3x－4y＋14＝0 D．4x－3y＋14＝0

3

解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.

4

3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1

B．4 D．1或4

C．1或3

4－m

解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.

m＋2

4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________． 5－3a－3解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.

6－45－4

由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4

5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________． 3

解析：由已知得直线l的斜率为k＝－. 23

所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，

2即3x＋2y－1＝0. 答案：3x＋2y－1＝0

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．

典题导入

3π

[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y

4

直线的倾斜角与斜率 《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法

＝( )

A．－1 C．0

B．－3 D．2

(2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是________． 3π2y＋1－?－3?2y＋4[自主解答] (1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3.

424－2(2)由题知k＝－

3333

cos θ，故k∈?－，?，结合正切函数的图象，当k∈?0，?时，33??33??

π5π3

0，?，当k∈?－，0?时，直线倾斜角α∈?，π?，故直线的倾斜角的范围直线倾斜角α∈??6??6??3?π5π

0，?∪?，π?. 是??6??6?

π5π

0，?∪?，π? [答案] (1)B (2)??6??6?

由题悟法

1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．

以题试法

π

1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by

4＋c＝0的倾斜角为( )

A．45° C．120°

B．60° D．135°

π?π

解析：选D 由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f??2?，即－b4＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.

2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )

1?A.??2，＋∞?

B．(－∞，－2] 1

－2，? D.?2??

1?C．(－∞，－2]∪??2，＋∞?

解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.

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1

∵kPA＝－2，kPB＝，

21

∴－2≤k≤. 2

直 线 方 程

典题导入

[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________． (2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．

[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.

则所求直线方程为x－2y－1＝0.

1－0(2)由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x

1－3－1)，即2x－y－1＝0.

[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0

由题悟法

求直线方程的方法主要有以下两种：

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；

(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

以题试法

3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 7??1?因为线段AB，AC中点坐标分别为??2，1?，?－2，－2?，

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1x＋y＋22

所以这条直线的方程为＝，

711＋2＋22

xy

整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.

131368

y＋4x－1

(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即

3＋42－1xy

一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.

11117

典题导入

[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．

[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上． x＋x

??2＝3，

由题意知?

y＋y??2＝0，

BB

直线方程的综合应用

则点B(6－x，－y)，

??2x－y－2＝0，

解方程组?

??6－x?＋?－y?＋3＝0，?

?得?16

y＝?3，

11x＝，

3

16－03则k＝＝8.

11－33

故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)， 点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，

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??y＝k?x－3?，由?解得?2x－y－2＝0，?

?

?4k?y＝k－2.

xA＝

A

3k－2

，k－2

??y＝k?x－3?，由?解得?x＋y＋3＝0，?

??

?－6k??y＝k＋1.xB＝

B

3k－3

，k＋1

∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA＋yB＝0，即

－6k＋＝0， k－2k＋14k

∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8. 若k＝0，则xA＝1，xB＝－3， xA＋xB1－3此时＝≠3，∴k＝0舍去，

22故所求的直线方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0.

由题悟法

解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．

以题试法

4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 1

2－，0?，B(0，1－2k)， A??k?

11

2－? △AOB的面积S＝(1－2k)??k?2

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1?－1??≥1(4＋4)＝4. ＝?4＋?－4k?＋?k??22?

11

当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．

k21

故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

2(2)∵|MA|＝ ∴|MA|·|MB|＝

1

＋1，|MB|＝k24＋4k2，

1k2＋2＋2≥2×2＝4，

k

12

2＋1·4＋4k＝2 k

1

当且仅当k2＝2，即k＝－1时取等号，

k故直线方程为x＋y－3＝0.

1．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( ) A．(1，－2) C．(－1,2)

B．(1,2) D．(－1，－2)

解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．

2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A．2x＋11y＋38＝0 C．2x－11y－38＝0

B．2x＋11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0

解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋C|

，解得C＝16(舍去)或C＝－38.

22＋1123．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )

A．(3,0)

B．(－3,0) D．(0,3)

|0＋11＋16|22＋112＝

C．(0，－3)

解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.

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又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)， 整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．

4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )

A．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0

B．ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0

解析：选A 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将acac

方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.

bbbb

5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) 11

A．y＝－x＋

33C．y＝3x－3

1

B．y＝－x＋1

31

D．y＝x＋1

3

1

解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个

3111

单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.

333

6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )

A．－2 C．3

B．－7 D．1

1＋m?

?2，0?代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.

解析：选C 线段AB的中点?

7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．

2

解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3

k21＜1－＜3，解得k＜－1或k＞. k2

1?答案：(－∞，－1)∪??2，＋∞?

8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．

33

解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为

22xy

＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1. aa

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综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0. 答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0

9．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得 (x＋2)m－(x＋y－1)＝0，

???x＋2＝0，?x＝－2，则?得? ???x＋y－1＝0，?y＝3.

答案：(－2,3)

10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程． xy

解：设所求直线方程为＋＝1，

ab

?－a＋b＝1，

由已知可得?1

?2|a||b|＝1，

22

???a＝－1，?a＝2，解得?或?

???b＝－2?b＝1.

故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈?－

?

3?－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围．

3?

解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 1

当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．

m＋1π

(2)①当m＝－1时，α＝；

2②当m≠－1时，m＋1∈?－

?

3?

，0∪(0，3 ]， 3?

13

∴k＝∈(－∞，－3 ]∪?，＋∞?，

?3?m＋1ππ??π2π?∴α∈??6，2?∪?2，3?.

π2π?综合①②知，直线AB的倾斜角α∈??6，3?.

12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点

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1

P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，

2求直线AB的方程．

解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－

3

， 3

3x. 3

所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－设A(m，m)，B(－3n，n)， 所以AB的中点C?

?m－3nm＋n?

?， ，22??

1

由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得

2

?

?m－0n－0

?m－1＝－3n－1，m＋n1m－3n

＝·，222

解得m＝3，所以A(3， 3)．

3＋3又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，

23－1

3

3＋3

所以lAB：y＝(x－1)，

2

即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.

1．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )

ππ?A.??6，3? ππ?C.??3，2?

ππ?

B.??6，2? ππ?D.??6，2?

?y＝kx－3，

解析：选B 由?

?2x＋3y－6＝0，

3?2＋3??x＝

?2＋3k，解得?

6k－23y＝??2＋3k.

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??x＞0，3∵两直线交点在第一象限，∴?解得k＞.

3?y＞0，?

ππ?∴直线l的倾斜角的范围是??6，2?.

2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．

解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直2－1线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1－21，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.

答案：x－y＋1＝0

3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．

法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，

∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，

解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．

(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

??k≥0，

要使直线l不经过第四象限，则?

??1＋2k≥0，

解得k的取值范围是[0，＋∞)．

1＋2k?1＋2k?

(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A?－，0?，kk??

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B(0,1＋2k)．

1＋2k又－<0且1＋2k>0，∴k>0.

k111＋2k故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)

22k111

4k＋＋4?≥(4＋4)＝4， ＝?k?22?

11

当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．

k2

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )

A．x＋3y－5＝0 C．x－3y＋5＝0

B．x＋3y－15＝0 D．x－3y＋15＝0

解析：选B ∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，

11

∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.

33

2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．

2a－?1＋a?a－1解析：k＝tan α＝＝. 3－?1－a?a＋2a－1

∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，

a＋2故－2＜a＜1. 答案：(－2,1)

3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

xy

解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，

ab

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32

∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.

ab32∴1＝＋≥2

ab

6，即ab≥24. ab

132

∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，

2ab△ABO的面积最小，最小值为12. xy

此时直线l的方程为＋＝1.

64即2x＋3y－12＝0.

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