2017考研数学一真题解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

?1?cosx?（1）若函数f(x)??。 ,x?0在x?0连续，则（ ）ax?b,x?0?1 21B. ab?? 2A. ab?C. ab?0 D. ab?2 【答案】A 【解析】 f(x)?f(0)，而 由连续的定义可得lim-f(x)?lim+x?0x?01(x)211?cosx12limf(x)?bb?，，因此可得，故选limf(x)?lim?lim?-+x?0x?0+x?0+x?02aaxax2a择A。 （2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（ ）。 A. f(1)?f(?1) B. f(1)?f(?1) C. |f(1)|?|f(?1) D. |f(1)|?|f(?1) 【答案】C 【解析】令F(x)?f(x)，则有F'(x)?2f(x)f'(x)，故F(x)单调递增，则F(1)?F(?1)，即[f(1)]?[f(?1)]，即|f(1)|?|f(?1)，故选择C。

222r（3）函数f(x,y,z)?xy?z在点(1,2,0)处沿向量n?(1,2,0)的方向导数为（ ）。

22A.12 B.6

C.4 D.2 【答案】D

【解析】gradf?{2xy,x2,2z}，因此代入(1,2,0)可得gradf，则有|(1,2,?0){4,1,0}?fu122?grad??{4,1,0}{,,}?2。 ?u|u|333（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）。

A. t0?10 B. 15?t0?20 C. t0?25 D. t0?25 【答案】C 【解析】从0到t0时刻，甲乙的位移分别为可知，

?t00v1(t)dt与?v2(t)dt，由定积分的几何意义

0t0?250(v2(t)?v1(t)dt?20?10?10，因此可知t0?25。

（5）设?为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（ ）。

TA. E???不可逆

TB. E???不可逆

C. E?2??T不可逆 D. E?2??T不可逆 【答案】A

【解析】因为??T的特征值为0（n-1重）和1，所以E???T的特征值为1（n-1重）和0，故E???T不可逆。

?200??210??100???????（6）已知矩阵A?021,B?020,C?020，则（ ）。 ??????????001???001???002??A.A与C相似，B与C相似 B. A与C相似，B与C不相似 C. A与C不相似，B与C相似 D. A与C不相似，B与C不相似 【答案】B 【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。 （7）设A，B为随机事件，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，且P(A|B)?P(A|B)的充分必要条件是（ ）。 A. P(B|A)?P(B|A) B. P(B|A)?P(B|A) C. P(B|A)?P(B|A) D. P(B|A)?P(B|A) 【答案】A 【解析】

由P(A|B)?P(A|B)得此选择A。

P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)，即P(AB)?P(A)P(B)，因??P(B)1?P(B)P(B)

1n（8）设X1,X2,LXn(n?2)来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi，则下列

ni?1结论中不正确的是（ ）。 A.

?(Xi?1nni??)2服从?2分布

B. 2?(Xi?1in?X1)2服从?2分布

C. ?(Xi?1n?X)服从?2分布 D. n(X??)2服从?2分布 【答案】B 【解析】Xi??~N(0,1)，故?(Xi?1ni??)2~?2(n)，Xn?X1~N(0,2)，因此

Xn?X122~N(0,，1故)(nXn?X121n)~?(1)，故B错误，由S?(Xi?X)2可得，?n?1i?12221(n?1)S??(Xi?X)2~?2(n?1)，X??~N(0,)，则有n(X??)~N(0,1)，因ni?1此n(X??)2~?2(1)。 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数f(x)?【答案】0 ??12462nn2n【解析】f(x)??1?x?x?x?L?(?x)?(?1)x，因此 ??21?xn?0n?0?1(3)，则f(0)=_________。 21?xf'''(x)??(?1)n2n(2n?1)(2n?2)x2n?3，代入可得f(3)(0)?0。

n?0（10）微分方程y''?2y'?3y?0的通解为y=_________。 【答案】e(c1cos2x?c2sin2x)

2【解析】由y''?2y'?3y?0，所以??2??3?0，因此???2i?1，因此通解为：

?x

e?x(c1cos2x?c2sin2x)。

（11）若曲线积分=_________。 【答案】－1 【解析】设P(x,y)?xdy?aydy22在区域D?{(x,y)|x?y?1}内与路径无关，则a22?Lx?y?1x?ay，因此可得： ,Q(x,y)?x2?y2?1x2?y2?1?P2xy?Q2axy?P?Q??2,??，根据，因此可得a??1。 22222?y(x?y?1)?x(x?y?1)?y?x（12）幂级数??n?1(?1)n?1nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)=_________。 【答案】1 (1?x)2【解析】???x1n?1n?1n?1n(?1)nx?[(?1)x]'?()'?。 ?2n?1n?11?x(1?x)?101???（13）设矩阵A?112，?1,?2,?3为线性无关的3维向量，则向量组A?1,A?2,A?3????011??的秩为_________。 【答案】2 【解析】因为(A?1,A?2,A?3)?A(?1,?2,?3)，而 ?101??101??101????011???011?，因此r(A)?2，所以向量组A??112A?1,A?2,A?3????????011????011????000??的秩2。

（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(分布函数，则EX=_________。 【答案】2 【解析】

x?4)，其中?(x)为标准正态2

f(x)?F'(x)?0.521e2?x2?2?0.5(x?4)22?221e2?x?42)?22(?12

?1?x21?0.5e?0.5e2?2??2因此可得EX?2。

三、解答题： 15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） dyd2y|x?0,2|x?0。 设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求dxdxxd2ydy'''|x?0?f1(1,1)，2|x?0?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1) 【答案】dxdx【解析】因为y?f(ex,cosx)，所以dydy?f1'ex?f2'sinx，因此|x?0?f1'(1,1) dxdxd2y''x''''x''?(f11e?f12sinx)ex?f1'ex?(f21e?f22sinx)sinx?f2'cosx 2dxd2y''''因此得：2|x?0?f11(1,1)?f1(1,1)?f2(1,1) dx （16）（本题满分10分） 求limkkln(1?) ?2n??nk?1n1 4n【答案】【解析】由定积分的定义可知， lim?11kkln(1?)?xln(1?x)dx，然后计算定积分， 2?0n??nk?1nn111x2?11212xln(1?x)dx?ln(1?x)d(x?1)?ln(1?x)|?(x?1)?dx 0?0??00221?x??111(x?1)dx? ?024（17）（本题满分10分）

已知函数y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值。 【答案】极大值为y(1)?1，极小值为y(?1)?0。

【解析】对x3?y3?3x?3y?2?0关于x求导得：3x2?3y2y'?3?3y'?0， 令y'?0得3x2?3，因此x??1，当x?1时，y?1，当x??1时，y?0。

对3x2?3y2y'?3?3y'?0关于x再次求导得：6x?6y(y')2?3y2y''?3y''?0，将y'?0代入可得6x?(3y2?3)y''?0 当x?1时，y?1时，代入可得y''??1，当x??1时，y?0时，代入可得y''?2，因此有函数的极大值为y(1)?1，极小值为y(?1)?0。

（18）（本题满分10分） 设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0，lim?x?0f(x)?0，证明： x（Ⅰ）方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根； （Ⅱ）方程f(x)f'(x)?(f'(x))?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。 【答案】 （Ⅰ）证：因为lim?x?02f(x)?0，由极限的局部保号性知，存在c?(0,?)，使得f(c)?0，x而f(1)?0，由零点存在定理可知，存在??(c,1)，使得f(?)?0。 （Ⅱ）构造函数F(x)?f(x)f'(x)，因此F(0)?f(0)f'(0)?0,F(?)?f(?)f'(?)?0， 因为lim?f(x)?0，所以f'(0)?0，由拉格朗日中值定理知，存在??(0,1)，使得x?0xf(1)?f(0)?f'(?)?0，所以f'(0)f'(?)?0，因此根据零点定理可知存在?1?(0,?)，

1?0使得f'(?1)?0，所以F(?1)?f(?1)f'(?1)?0，所以原方程至少有两个不同实根。 【解析】略

（19）（本题满分10分） 设薄片型物体S时圆锥面z?x2?y2被柱面z2?2x割下的有限部分，其上任一点的弧度

222为u(x,y,z)?9x?y?z，记圆锥与柱面的交线为C，

（Ⅰ）求C在xOy平面上的投影曲线的方程； （Ⅱ）求S的质量M。

?(x?1)2?y2?1【答案】（Ⅰ）?；（Ⅱ）64。

z?0?22??(x?1)2?y2?1?z?x?y【解析】（Ⅰ）C的方程为?，投影到xOy平面上为? 2?z?0??z?2x（Ⅱ）M??z2?z2222u(x,y,z)dS?9x?y?zdS，dS?1?()?()?2dxdy ?????x?y???因此有M?92???x?y222dxdy?18?2?d???22cos?0144?32rdr?cos?d??64。 ???322（20）（本题满分11分） 三阶行列式A?(?1,?2,?3)有3个不同的特征值，且?3??1?2?2， （Ⅰ）证明r(A)?2； （Ⅱ）如果???1??2??3，求方程组Ax??的通解。 【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）k(1,2,?1)?(1,1,1),k?R。 【解析】（Ⅰ）证：因为A有三个不同的特征值，所以A不是零矩阵，因此r(A)?1，若TTr(A)?1，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此r(A)?2，又根据?3??1?2?2，

所以r(A)?2，因此r(A)?2。 （Ⅱ）因为r(A)?2，所以Ax?0的基础解系中只有一个解向量，又?3??1?2?2，即?1?2?2??3?0，因此基础解系的一个解向量为(1,2,?1)T。因为???1??2??3，故

Ax??的特解为(1,1,1)T，因此Ax??的通解为k(1,2,?1)T?(1,1,1)T,k?R。

（21）（本题满分11分）

222设f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换x?Qy下的标准型为

2，求a的值及一个正交矩阵Q。 ?1y12??2y2?3??3?3【答案】a?2，正交矩阵Q????3?3??3?【解析】 2?20226??6?6?? 3?6??6???21?4???二次型对应的矩阵为A??1?11?，因为标准型为?1y12??2y22，所以A?0，从??41a?????2而a?4?6，即a?2，代入得?E?A??14?1?0，解得??0,?3,6；

??2?14??1?1??2?14???11?1?????0?12当??0时，0E?A???11?1，化简得???，对应的特征向量为

?4?1?2??000?????k1?1,2,1?； T??5?14???1?2?1?????11?，对应的特征向量为当???3时，?3E?A???1?2?1?，化简得?0?4?1?5??000?????k2?1,?1,1?； T?4?14???17?1?????010当??6时，6E?A???17?1，化简得???，对应的特征向量为

?4?14??000?????k3??1,0,?1；

T

?3??3?3从而正交矩阵Q????3?3??3?（22）（本题满分11分）

2?20226??6?6??。 3?6??6??设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分布为P(X?0)?P(X?2)?1，Y的概率密2?2y,0?y?1度为f(y)?? 0,其他?（Ⅰ）求P{Y?EY}； （Ⅱ）求Z?X?Y的概率密度。 【答案】 （Ⅰ）4 911FY(z)?FY(z?1) 22??1（Ⅱ）FZ?z??【解析】 （Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：EY?222?4?3P?Y?EY??P?Y????f(y)dy??32ydy? 03???9????yf(y)dy??2y2dy?02，则3（Ⅱ）先求Z的分布函数，由分布函数的定义可知：FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z?。由于X为离散型随机变量，则由全概率公式可知 FZ?z??P?X?Y?z??P?X?0?P?X?Y?z|X?0??P?X?1?P?X?Y?z|X?1?11P?Y?z??P?Y?z?1?2211?FY(z)?FY(z?1)22?（其中FY?z?为Y的分布函数：FY?z??P?Y?z?） （23）（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果X1,X2,L,Xn相互独立，且均服从正态分布N(?,?2)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi?|Xi??|,(i?1,2,L,n)，利用Z1,Z2,L,Zn估计? （Ⅰ）求Z1的概率密度；

（Ⅱ）利用一阶矩求?的矩估计量； （Ⅲ）求?的最大似然估计量。 【答案】 z?2?22?e,z?0?（Ⅰ）f(z)?F'?z???2?? ?0,z?0?2（Ⅱ）??^?12n?Zi?i?1n?2Z 1n2（Ⅲ）??Zi ?ni?1^【解析】 （Ⅰ）因为Xi~N(?,?2)，所以Yi?Xi??~N(0,?2)，对应的概率密度为

fY?y??1e2???y22?2，设Zi的分布函数为F?z?，对应的概率密度为f(z)； 当z?0时，F(z)?0； 当z?0时，F?z??P?Zi?z??PYi?z?P??z?Yi?z??z?2?2e2?,z?0?的概率密度为f(z)?F'?z???2??； ?0,z?0?2???z?z1e2???y22?2dy；则Zi（Ⅱ）因为EZi?^???0z2e2???z22?2dz??2?EZi，从而?的矩估计量为，所以??22????12n?Zi?i?1n?2Z；

（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为L?z1,z2,……，zn,???n?i?1n?1?2?，取对数得：e2?2Zi2?dlnL(?)n?1Zi2?Zi2?dlnL(?)?????0，，所以，令lnL???ln?ln????3?2???d???d?22?i?1?i?1???^1n21n2得??Zi，所以?的最大似然估计量为??Zi。 ??ni?1ni?1

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