两个著名的超越数

两个著名的超越数

——“π”和“e”

无理数这个概念已经在九年义务教育的数学教科书中出现，我们已经对它有所了解。回顾我们的学习过程，虽然无理数的概念在八年级的教材中才看到，但我们遇到的第一个无理数却是圆周率π，尽管当时还不知道它是无理数。人们认识无理数的过程中，首先碰到的无理数是

2和5。为了知道无理数到底是什么样的数，花费了

数学家们的大量心血。开始时，人们以为无理数就是那些开不尽方的数，1794年，法国数学家勒让德猜测π可能不是有理系数方程的根，这就导致超越数从无理数中分裂出来：凡是能满足某个整数系数代数方程的实数叫代数数，如

3，5；不是代数数的实数叫做超越

数，如π，e。超越数必然是无理数，而无理数不一定是超越数。1744年瑞士数学家欧拉首先提出超越数的概念并给出了它的定义，10年后，法国数学家刘维尔在一篇论文中首先证明了超越数的存在。

虽然爱米特和林德曼证明了超越数的个数比代数数多得多，但在科学中最著名、最用得多的却只有圆周率π和自然对数的底e。

相对于自然对数的底e，圆周率π应该是我们的老朋友了，π在历史上有许多不同的名称，在国外曾叫鲁道夫数，在我国曾叫祖率、环率、圆率、周率等，1706年，英国数学家琼斯首先正式用π表示

圆周率，从此，人们就用π表示圆周率了。

最先给出π实用而准确的值3. 14的是公元前240年左右的希腊学者阿基米德；最先给出π小数点后四位准确值的是公元前150年左右的希腊人托勒密；最早算出π小数点后七位准确值的是我国公元480年左右的祖冲之；1610年，荷兰籍德国数学家鲁道夫花费了毕生精力把π算到小数点后35位，人们为了纪念他，就把π的近似值叫做鲁道夫数。鲁道夫逝世后，在他的墓碑上刻着36位π值。现在，利用计算机可以将π算到任意位。

π在科学中应用之广泛，在公式中出现之频繁，现已广为人知。π有时会出现在人们意想不到的地方。我们做一个实验：先在铺平

的纸上画一些距离4厘米且互相平行的线，再将长为2厘米的多枚小针随便地掷在纸上。掷完后，如果将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，你就会惊奇地发现：除得的商竟接近π！这就是著名的“布丰小针实验”。

证明π是超越数经历了漫长的岁月，最后与几何三大难题中的“化圆为方”问题同时解决。1761年，德国数学家兰伯特首先证明了π是无理数；1794年，勒德让在证明了π2是无理数的同时，首先猜测π可能是超越数，距离证明π是超越数只有一步之近却又有一步之遥。1882年，德国数学家林德曼给出了π是超越数的严格证明，

走这“一步之近”的距离人类用了88年！

e作为数学符号最先是欧拉使用的， 1727年欧拉在一篇论文中引进了符号e，现在是用无穷收敛级数来定义的：

e=1?1?1?1?????0!1!2!3!11????? (n?1)!n!后来，欧拉又用e作为对数的底，他还在1737年证明了e和e2

是无理数。人们确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣也是无法考证的是：这为什么恰好是欧拉名字的第一个字母的小写。1844年，法国数学家刘维尔最先猜测e是超越数，1873年，法国数学家爱米特首先证明e是超越数。

从定义e的无穷级数中，可以计算出它的前八位数是 e≈2. 7182818。

现在用电子计算机已算出e的几万位数字的近似值。

e也会出现在人们意想不到的地方。例如：“将一个数分成若干等份，使各等份的乘积最大，怎么分？”解决这个问题竟要用到e！具体分法是：使等分的各份尽量接近e。如：把10分成10÷e=3.7份，3. 7份不好分，分成4份，每份为10÷4=2.5，这时，2.54≈39最大，比分成的其他结果的乘积都要大！可以称得上“数学上最值得称道的发现之一”的“素数分布定理”中，也奇迹般地出现e。素数分布定理：从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等

于N的自然对数的倒数。N越大，这个规律越准确。这个定理是德国数学家高斯在15岁时发现的，但直到1896年才被法国数学家阿德马和大致同时的比利时数学家布散所证明。

为什么以e为底的对数叫自然对数呢？这是由于：反映自然界规律的函数关系，若是以指数形式或对数形式出现的，必定是而且只是以e为底的。所以，以e为底的对数叫自然对数和自然对数以e为底就不足为怪了。同时， e在自然科学中的作用，并不亚于π。如，原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或地球年龄时要用e，在用齐奥尔科夫斯基公式算火箭速度时也要用e，甚至算储蓄最优利息及生物增殖问题时用复利律，也要用e。

【附录】

一、【拉格朗日简介】

拉格朗日（1736年～1813年）法国数学家、物理学家、天文学家。当欧拉于1766年离开柏林去彼得堡时，腓特烈二世邀请拉格朗日接任柏林科学院物理数学研究所所长。在柏林的20年里，拉格朗日对于分析学、天体力学、常微分方程、数论和方程论等多个数学分支均有重要的贡献。这期间完成的《分析力学》是牛顿以后最伟大的经典力学著作，是用微积分建立力学体系的杰作。

1787年，拉格朗日接受法国国王路易十六的邀请，定居巴黎，

开始对它一生的研究成果进行总结。先后完成《解析函数论》和《函数演算讲义》两部分析学巨著。拉格朗日曾致力于微积分的严密化。他于1797年发表过一篇标题很长的文章：《包含着微积分学的主要原理，不用无穷小或正在消失的量或极限或流数等概念，而归结为有限量的代数分析艺术》，表明他试图建立一种否定牛顿方法的代数化微积分的意向，但是结果没有成功。

拉格朗日和欧拉等奠定了变分学的基础并由他创造了“变分法”这一术语。在数学分析中他贡献了拉格朗日定理、拉格朗日乘数法和拉格朗日插值多项式等。数论中证明了华林问题和威尔逊定理。在代数方面，拉格朗日引入对臵换的研究是阿贝尔、伽罗华在臵换群工作上的先导。拉格朗日在微分方程、分析力学、天体力学与天文学上都有重大贡献。

二、【梅文鼎简介】

梅文鼎（1633年～1721年）字定九，安徽宣城人，出身于知识分子家庭。少年时即喜爱天文和数学，学习非常勤奋。流传下来的著作以《梅氏历算丛书辑要》62卷最为完备。

梅文鼎善于吸收前人和外国的数学成果，他说：“技取其长，而理唯其是。”又说：“法有可采何论东西，理所当明何分新旧”，这是

一种比较正确的治学态度。又说：“古法方程，亦非西法所有，则专著论，以明古人之意，不可湮没。”从而唤起国人整理古典数学遗产的兴趣。

梅文鼎著作的特点是深入浅出。他的著作对于消化、吸收西方数学，挖掘古典数学遗产等方面起了较大的积极作用。

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