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适当放缩在数列中的应用（上）
题一：已知an?2n?1,n?N*，求证：
题二：已知a,b为正数，且
an1a1a2????????n，n?N*. 23a2a3an?111??1，试证：对每一个n?N?，ab(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.
题三：设实数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn?1?an?1Sn(n?N*) （I）若a1,S2,?2a2成等比数列，求S2和a3； （II）求证：对k?3有0?ak?1?ak?
题四：已知数列{an}满足Sn?4 3nan (n∈N*)，Sn是{an}的前n项的和，a2=1． 2n3?1?（1）求Sn；（2）证明：??1???2.
2?2an?1?
题五：设数列?an?的前n项和为Sn，且 Sn?n2?4n?4．（1）求数列?an?的通项公式；（2）设bn?
题六：已知数列?an?满足a1?an1?Tn?1． ，数列的前项和为，求证：Tbn??nn2n4?n?1??2an?n?n?N?.（1）求a,a,a；1,an?1???234（2）2an?4n已知存在实数?，使??an??n?（3）记?为公差为?1的等差数列，求?的值；
a?n?n?23?1. 12bn?31n?22?n?N??，数列?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn??an?2第8讲 适当放缩在数列中的应用（下）
题一：已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a2?2,a8为a4和a16的等比中项.（1）求
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数列{an}的通项公式； （2）设bn?(
题二：已知数列的首项为a1?2，前n项和为Sn，且对任意的n?N，当n≥2时，an总是5
3Sn－4与2－Sn的等差中项（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?(n?1)an，Tn是
2数列{bn}的前项和，n?N求Tn；（Ⅲ）设cn?**2n)2,求证b1?b2?b3???bn?(n?N*)
an?an?1n?13an，P，n是数列{cn}的前项和，
4?2n?3n?1?ann?N*，试证明：Pn?
3． 2题三：设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当n?N?时,an?an?1. （Ⅰ）请给出
2222一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式a1?a2?a3???an?3 对于任意的n?N?都
a2a3a4an?12?成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）； （Ⅱ）若bn?(1?an)1，其中n?N，
an?1an?1且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：0?Bn?2.
?题四：已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1n?N（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；（Ⅱ）
??若数列?bn?满足414243?4nb?1b?1b?1b?1（Ⅲ）证明：?(an?1)bn，证明：?an?是等差数列；
1112??????n?N?? a2a3an?13
题五：已知数列{an}的首项a1?33an，2，?．，an?1?，n?1（Ⅰ）求{an}的通项公
52an?1式；（Ⅱ）证明：对任意的x?0，an≥11?2?2，?； ??x??，n?1，2n1?x(1?x)?3?n2（Ⅲ）证明：a1?a2???an?．
n?1
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题六：已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列{an?1??an}是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：当k为奇数时，1?1?4；
k?1akak?13（Ⅲ）求证：1?1???1?1(n?N*).
a1a2an2全国名校高考数学优质复习题汇编（附详解）专题突破
第7讲 适当放缩在数列中的应用（上）
ak2k?1111111?k?1??????题一：证明：
ak?12?122?2k?1?1?23?2k?2k?223?2k
?aa1a2n1?111?n1?1?n1??????n????2?????n????1?n??? a2a3an?123?222?23?2?23an1aa???1?2?????n，n?N*. 23a2a3an?1
题二：证明：由而(a?b)令
n1111ab??1得ab?a?b，?4，又(a?b)(?)?2??故ab?a?b?4，ababba0n1n?1rn?rrnn?Cna?Cnab???Cnab???Cnb，
1n?1rn?rrn?1f(n)?(a?b)n?an?bn，则f(n)=Cnab???Cnab???Cnabn?1，因为
in?i，倒序相加得Cn?Cn1rn?12f(n)=Cn(an?1b?abn?1)???Cn(an?rbr?arbn?r)???Cn(abn?1?an?1b)，
n2而an?1b?abn?1???an?rb?abrrn?r???abn?1?ab?2ab?2?4?2n?1，则
n?1nnn1rn?12f(n)=(Cn???Cn???Cn)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2)(arbn?r?an?rbr)?(2?2)?2n?1，所以f(n)?(2n?2)?2n，即对每一个n?N?，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.
题三：见详解
2?S2??2a1a2,2详解：（I）由题意?得S2??2S2，由S是等比中项知S2?0.因此S2??2.由
?S2?a2S1?a1a2,2
S2?a3?S3?a3S2解得a3?（II）由题设条件有SnS2?22??.
S2?1?2?13?an?1?an?1Sn,故
Sna,Sn?n?1,从而对k?3有
Sn?1an?1?1Sn?1,an?1?1且an?1?全国名校高考数学优质复习题汇编（附详解）专题突破
ak?12Sk?1ak?1?Sk?2ak?1?1ak?1ak????2. ①
ak?1Sk?1?1ak?1?Sk?2?1ak?1?ak?1?1ak?1??1ak?1?1ak?1?因ak?12132?ak?1?1?(ak?1?)2??0且ak?1?0，由①得ak?0
242ak44?1要证ak?，由①只要证2?,
3ak?1?ak?1?13即证3ak?1因此ak222?4(ak?a?1),即(a?2)?0.此式明显成立. ?1k?1k?1?4(k?3). 3最后证ak?1?ak.若不然ak?12ak?2?ak, ak?ak?1又因ak?0,故ak2?1,即(a?1)?0.矛盾. k2ak?ak?1因此ak?1 题四：Sn?ak(k?3).
n?n?1? 2?nn?1an得Sn?1?an?1， 22n+1
?详解：（1）由题意Sn两式相减得2an?1??n?1?an?1?nan即（n-1）a
=nan，
所以（n+1）an+1=nan+2再相加得2nan+1=nan+nan+2即2an+1=an+an+2 所以数列{an}是等差数列 ∵a1=
12a1∴a1=0，又a2=1，则公差为1，∴an=n-1，
所以数列{an}的前n项的和为Snn?n?n?1?nan? 22?1?1?（2）??2an?1?? ?1?1333?1??①当n=1时：?1?，??2，不等式成立． ?222a2a2n?1?2?②当n≥2时：一方面 n全国名校高考数学优质复习题汇编（附详解）专题突破
1?13?011r?1?∵?1??C?C?????C?????1?n?? nnn???2n2n2?2n??2n?1n?n?1?????n?r?s1?11r?1?另一方面： Cn??????rnrr!2r2r?2n?r!2rnnr ?1?1???n??1?n?1?1112????2?1?????2， ∴?1???1??2????n?1222?2n????2???1?23?1?综合两方面∴??1???2.于是对于正整数n，都有 2?2an?1?3?1???1???2 2?2an?1? 题五：annnn?1,?1, ???2n?5,n?2.?1时，a1?S1?1．
当n详解：当n?2时，an?Sn?Sn?1
2?n2?4n?4??n?1??4?n?1??4 ?2n?5．
??
∵a1?1不适合上式,
∴ann?1,?1, ??2n?5,n?2.?
?1,n?1an??2（2）证明: ∵bn?n??．
2?2n?5,n?2??2n
当n当n?1时，T1?1, 21?112n?5?2?3???, ① 2222n11?112n?72n?5Tn?2?3?4????n?1． ② 22222n2?2时，Tn?①－②得:
112112n?5112n?5Tn??2?2(3???n)?n?1?(1?n?2)?n?1 2222222222n?1(n?2)，此式当n?1时也适合． 得Tn?1?2n2n?12n?1*(n??0(n?Ν*)，∴Tn?1． ∴Tn?1?N．∵)nn22
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1?13?011r?1?∵?1??C?C?????C?????1?n?? nnn???2n2n2?2n??2n?1n?n?1?????n?r?s1?11r?1?另一方面： Cn??????rnrr!2r2r?2n?r!2rnnr ?1?1???n??1?n?1?1112????2?1?????2， ∴?1???1??2????n?1222?2n????2???1?23?1?综合两方面∴??1???2.于是对于正整数n，都有 2?2an?1?3?1???1???2 2?2an?1? 题五：annnn?1,?1, ???2n?5,n?2.?1时，a1?S1?1．
当n详解：当n?2时，an?Sn?Sn?1
2?n2?4n?4??n?1??4?n?1??4 ?2n?5．
??
∵a1?1不适合上式,
∴ann?1,?1, ??2n?5,n?2.?
?1,n?1an??2（2）证明: ∵bn?n??．
2?2n?5,n?2??2n
当n当n?1时，T1?1, 21?112n?5?2?3???, ① 2222n11?112n?72n?5Tn?2?3?4????n?1． ② 22222n2?2时，Tn?①－②得:
112112n?5112n?5Tn??2?2(3???n)?n?1?(1?n?2)?n?1 2222222222n?1(n?2)，此式当n?1时也适合． 得Tn?1?2n2n?12n?1*(n??0(n?Ν*)，∴Tn?1． ∴Tn?1?N．∵)nn22
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