2．（2014?成都模拟）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{
}的前n项和．
解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=． 故数列{an}的通项式为an=（Ⅱ）bn=故
=﹣
+
．
=﹣（1+2+…+n）=﹣）则．
﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．
+
+…+
，
）]=﹣
，
+…+=﹣2（﹣
=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
∴数列{}的前n项和为﹣
7．（2013?江西）正项数列{an}满足（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn．
﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，
解：（1）由正项数列{an}满足：
可有（an﹣2n）（an+1）=0 ∴an=2n． （2）∵an=2n，bn=∴bn=Tn=
数列{bn}的前n项和Tn为
．
=
， =
=
，
=
．
6．（2013?山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足
=1﹣
，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．
，
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1有：解有a1=1，d=2．
∴an=2n﹣1，n∈N*． （Ⅱ）由已知当n=1时，当n≥2时，∴
=
+=， =（1﹣
）﹣（1﹣
）=
，∴，n=1时符合．
+…+
=1﹣
，n∈N*，有：
，n∈N*
由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*．
∴bn=又Tn=+∴Tn=
+
，n∈N*． +
+…++…+
++，
， +…+
）﹣
=﹣
﹣
两式相减有：Tn=+（∴Tn=3﹣
．
28．（2010?山东）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3=7，a5+a7=26，
∴有
，
解有a1=3，d=2，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn=
=n2+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， ∴bn=∴Tn=
即数列{bn}的前n项和Tn=
25．（2008?四川）在数列{an}中，a1=1，
求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ）由条件有故数列（Ⅱ）由两式相减，有：（Ⅲ）由
∴Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=
．
，又n=1时，
，
，即，，∴
有
．
．
．
，
．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）令
，
．
=
=
=
=
=
，
，
构成首项为1，公式为的等比数列．∴
有
3．（2010?四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=
n﹣1*
（4﹣an）q（q≠0，n∈N），求数列{bn}的前n项和Sn．
解：（1）设{an}的公差为d，
由已知有
解有a1=3，d=﹣1 故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
﹣
（2）由（1）的解答有，bn=n?qn1，于是
﹣
Sn=1?q0+2?q1+3?q2+…+n?qn1． 若q≠1，将上式两边同乘以q，有 qSn=1?q1+2?q2+3?q3+…+n?qn． 上面两式相减，有
（q﹣1）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn1）=nqn﹣
﹣
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
∴，Sn=．
4．（2010?四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求
﹣
a3，a5；（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；（3）设cn=（an+1﹣an）qn1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．
解：（1）由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6 再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可有 a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8 即bn+1﹣bn=8 ∴{bn}是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列 则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2 另由已知（令m=1）可有
an=∴an+1﹣an=
﹣
﹣（n﹣1）2．
﹣2n+1=
﹣2n+1=2n
于是cn=2nqn1．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
﹣
当q≠1时，Sn=2?q0+4?q1+6?q2+…+2n?qn1． 两边同乘以q，可有
qSn=2?q1+4?q2+6?q3+…+2n?qn． 上述两式相减，有
（1﹣q）Sn=2（1+q+q2+…+qn1）﹣2nqn=2?
﹣
﹣2nqn=2?
∴Sn=2?
综上所述，Sn=．
16．（2009?湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=
解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 则依题意可知d＞0由a2+a7=16，
（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．
有，2a1+7d=16①
由a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55② 由①②联立方程求，有 d=2，a1=1/d=﹣2，a1=
（排除）
∴an=1+（n﹣1）?2=2n﹣1 （2）令cn=
，则有an=c1+c2+…+cn
an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减，有
an+1﹣an=cn+1，由（1）有a1=1，an+1﹣an=2 ∴cn+1=2，即cn=2（n≥2）， 即当n≥2时，
bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2 ∴bn=
于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2，
．
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