辽宁省五校2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题

2017-2018学年度上学期期末考试

高一年级数学试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M?{x|x?0},N?{x|(x?1)(x?3)?0}，则M?N?（ ） A．(?1,3) B．(?1,??) C．(0,3) D．[0,3) 2.倾斜角为60，在y轴上的截距为?1的直线方程是（ ）

A．3x?y?1?0 B．3x?y?1?0 C．3x?3y?1?0 D．3x?3y?1?0

3.函数f(x)?ax2?bx?8满足条件f(?1)?f(3)，则f(2)的值（ ） A．5 B．6 C．8 D．与a,b值有关

4.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A．32 B．48 C. 64 D．

??32 35.直线3x?3y?4与圆x2?y2?4的位置关系是（ ）

A．相交 B．相切 C.相离 D．位置关系不确定 6.下列命题中真命题的个数为（ ）

①平行于同一平面的两直线平形；②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直； A．0个 B．1个 C. 2个 D．3个

7.一个容器装有细沙acm，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，tmin后剩余的细沙量为y?ae?bt3(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min，

容器中的沙子只有开始时的八分之一.

A．8 B．16 C. 24 D．32

8.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体

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积为（ ）

A．5 B．

1315 C. 7 D． 229.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,?7)，则?ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A．10 B．46 C. 5 D．5

10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P?ABC为鳖臑，PA?平面ABC,PA?3,AB?4,AC?5，三棱锥P?ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）

A．17? B．25? C. 34? D．50?

11.已知函数f(x)(x?R)是奇函数且当x?(0,??)时是减函数，若f(1)?0，则函数

y?f(x2?2|x|)的零点共有（ ）

A．4个 B．5个 C. 6个 D．7个

12.已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥

A?BCD，则在折叠过程中，不能出现（ ）

A．BD?AC B．平面ABD?平面CBD C. VA?CBD?D．AB?CD

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若直线2x?my?2m?4?0与直线mx?2y?m?2?0平行，则实数m? ． 14.已知幂函数y?(m2?2m?2)xm22 3?4m的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整

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数m的值为 ．

15.已知圆C:(x?1)2?(y?3)2?1和两点A(0,m),B(0,?m)(m?0)，若圆C上存在点P，使得?APB?90，则实数m的取值范围为 ．

16.已知函数f(x)?|loga|x?1||(a?0,a?1)，若x1?x2?x3?x4，且

?f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)，则

1111???? ． x1x2x3x4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知三个集合A?{x?R|log3(x2?5x?9)?1},B?{x?R|2x2?4?1},

C?{x?R|x2?ax?a2?19?0}.

（1）求A?B；

（2）已知A?C??，B?C??，求实数a的取值范围.

18. 如图，四棱锥P?ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是?ABC?60的棱形，M为PC的中点.

?

（1）求证：PC?AD； （2）求VD?MAC.

x?x19. 设函数f(x)?(2k?1)a?a（a?0且a?1）是定义域为R的奇函数.

（1）求k的值； （2）若f(1)??值.

20. 已知两个定点A(?4,0),B(?1,0)，动点P满足|PA|?2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l:y?kx?4.

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5，不等式f(3x?t)?f(?2x?1)?0对x?[?1,1]恒成立，求实数t的最小6（1）求曲线E的轨迹方程；

（2）若l与曲线E交于不同的C,D两点，且?COD?90（O为坐标原点），求直线l的斜率； （3）若k??1,Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM,QN，切点为M,N，探2究：直线MN是否过定点.

21. 在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为棱形，?PAD??PAB,AC交BD于O.

（1）求证：平面PAC?平面PBD；

（2）延长BC至G，使BC?CG，连结PG,DG.试在棱PA上确定一点E，使PG//平面

BDE，并求此时

AE的值. EP22. 设函数f(x)?loga(x?3a)（a?0且a?1），当点P(x,y)是函数y?f(x)图象上的点时，点Q(x?2a,?y)是函数y?f(x)图象上的点. （1）写出函数y?f(x)的解析式；

（2）把y?f(x)的图象向左平移a个单位得到y?h(x)的图象，函数

F(x)??[a?h(x)]2?2a?h(x)，是否存在实数m,n(m?n)，使函数F(x)的定义域为(m,n)，

值域为(m,n).如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由；

（3）若当x?[a?2,a?3]时，恒有|f(x)?g(x)|?1，试确定a的取值范围.

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试卷答案

一、选择题

1-5:BACAB 6-10:CBCDC 11、12：DD 二、填空题

13. ?2 14. ?1 15. [1,3] 16. 2 三、解答题

17.解：（1）?A?{x?R|x2?5x?9?3}?{2,3}.

B?{x?R|x2?4?0}?{2,?2}

A?B?{2}

（2）?A?C??，B?C??，

?2?C,?2?C,3?C

?C?{x?R|x2?ax?a2?19?0}

??a2?2a?15?0?a2?2a?15?0 ??a2?3a?10?0??3?a?5即???5?a?3解得?3?a??2. ??a?5或a??2所以实数a的取值范围是[?3,?2).

18.解：（1）取AD中点O连接OP,OC,AC， 依题意可知?PAD,?ACD均为正三角形，

?OC?AD,OP?AD

又OC?OP?O,OC?平面POC,OP?平面POC

?AD?平面POC

又PC?平面POC

?PC?AD

（2）由（1）可知OP?AD，又平面PAD?平面ABCD

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平面PAD?平面ABCD?AD,OP?平面PAD

?PO?平面ABCD

即OP为三棱锥P?ACD的高

又?PAD是边长为2的正三角形，?PO?3 由V1P?ACD?3S?ACD?PO 又?ADC?34?22?3,?VP?ADC?1 又M为PC的中点

?V11D?MAC?VM?ADC?2VP?ADC?2.

19.解：（1）?f(x)是定义在R上的奇函数，

?f(?x)??f(x)对于任意的实数x恒成立，

即(2k?2)(ax?a?x)?0对于任意的实数x恒成立，

?k?1.

（2）由（1）知f(x)?ax?a?x，因为f(1)??56，所以a?1a??56， 解得a?23或a??32（舍去），故f(x)?(2x3x3)?(2)

任取x1,x2且x1?x2，则

f(x2x132322331)?f(x2)?()?(2)x1?[(3)x2?(2)x2]?[(3)x1?(3)x2]?[(2)x1?(2)x23]由指数函数的单调性知，(2)x1?(23)x2,(32)x1?(3x2)23

?f(x1)?f(x2)

故函数f(x)是R上的减函数

?f(3x?t)?f(?2x?1)?0，由函数f(x)为奇函数且单调递减，知?f(3x?t)?f(2x?1),3x?t?2x?1，

即t?x?1在[?1,1]上恒成立 则t?2，即实数t的最小值是2.

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20.解：（1）设点P坐标为(x,y)

2222由|PA|?2|PB|，得：(x?4)?y?2(x?1)?y

整理得：曲线的E轨迹方程为x2?y2?4 （2）依题意d?|4|1?k2?2

?k??7

（3）由题意可知：O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设Q(t,其方程为x(x?t)?y(y?1t?4)， 21tt?4)?0，即：x2?tx?y2?(?4)y?0 22又M,N在曲线E:x2?y2?4上，

tlMN?tx?(?4)y?4?0

2y1??y?x??0?x?即(x?)t?4(y?1)?0，由?得?22，

2??y?1?0??y??11?直线MN过定点(,?1).

221.解：（1）??PAD??PAB,AD?AB

??PAD??PAB，得PB?PD，

?O为BD中点，?PO?BD，

?底面ABCD为菱形，?AC?BD,?AC?PO?O,?BD?平面PAC，

?BD?平面PBD，?平面PAC?平面PBD.

（2）连接AG交BD于M，在?PAG中，过M作ME//PG交PA于E，连接ED和EB，

?PG?平面BDE,ME?平面BDE,?PG//平面BDE

?AD//BG,BG?2AD,?ADM~?BGM??PG//ME,?AMAD1??， GMBG2EAMA1AE1??，即?. EPMG2EP222.（1）解：设点Q的坐标为(x?,y?)， 则x??x?2a,y???y，即x?x??2a,y??y?.

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?点P(x,y)在函数y?loga(x?3a)图象上， ??y??loga(x??2a?3a)，即y??loga?g(x)?loga1 x?a1 x??a（2）F(x)??x2?2x(x?0)，

?F(x)?(??,1],?(m,n)?(??,1]，故n?1

?F(m)?m，即m、n为F(x)?x的两相异的非负的实数 ?F(x)在(m,n)上单调递增，?F(n)?n?即?x?2x?x，解得m?0,n?1 （3）函数f(x)?g(x)?loga(x?3a)?loga21 x?a由题意x?[a?2,a?3]，则(a?2)?3a??2a?2?0， 又a?0，且a?1,?0?a?1

|f(x)?g(x)|?|loga(x?3a)?loga1|?|loga(x2?4ax?3a2)| x?a?|f(x)?g(x)|?1??1?loga(x2?4ax?3a2)?1，

又r(x)?x?4ax?3a对称轴为x?2a

22?0?a?1?a?2?2a，则r(x)?x2?4ax?3a2在[a?2,a?3]上为增函数，

?函数u(x)?loga(x2?4ax?3a2)在[a?2,a?3]上为减函数，

从而[u(x)]max?u(a?2)?loga(4?4a).[u(x)]min?u(a?3)?loga(9?6a) 又0?a?1，则??loga(9?6a)??1

?loga(4?4a)?1?0?a?9?57. 12 - 8 -

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