12．（4分）（2016?河源校级一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是 8 ．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长． 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，
∴OC=OD=2，
∴四边形CODE是菱形， ∴DE=CEOC=OD=2，
∴四边形CODE的周长=2×4=8； 故答案为：8． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质；证明四边形是菱形是解决问题的关键． 13．（4分）（2016?河源校级一模）若直线y=2x+4与反比例函数的图象交于点P（a，2），则反比例函数的解析式为 y=
．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】计算题．
【分析】先利用一次函数解析式确定P点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式． 【解答】解：把P（a，2）代入y=2x+4得2a+4=2，解得a=﹣1， 所以P点坐标为（﹣1，2）， 设反比例函数解析式为y=， 把P（﹣1，2）代入得k=﹣1×2=﹣2， 所以反比例函数解析式为y=﹣． 故答案为y=
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
第11页（共33页）
14．（4分）（2015?开封二模）已知关于x的一元二次方程kx+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0． ． 【考点】根的判别式． 【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围．
2
【解答】解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1， ∴实数k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故答案为k＞﹣1且k≠0．
22
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义． 15．（4分）（2013?临夏州）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是 1，2，3 ． 【考点】一元一次不等式的整数解． 【专题】计算题．
【分析】先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解． 【解答】解：2x+9≥3（x+2）， 去括号得，2x+9≥3x+6， 移项得，2x﹣3x≥6﹣9， 合并同类项得，﹣x≥﹣3， 系数化为1得，x≤3，
故其正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键． 16．（4分）（2015?青海）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是
2
（结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题．
【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形． 【解答】解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°， ∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，
∴阴影部分的面积应为：S=故答案是：
．
=．
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【点评】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
33
17．（6分）（2013?娄底）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4xy﹣8xy）÷2xy，其中x=﹣1，
．
【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式除单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
2222
【解答】解：原式=x﹣y﹣2x+4y
22=﹣x+3y， 当x=﹣1，y=
时，原式=﹣1+1=0．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，多项式除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 18．（6分）（2015?平谷区一模）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 【考点】分式方程的应用． 【专题】工程问题；压轴题． 【分析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数﹣乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10列出方程． 【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
依题意得﹣=10，
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x=60． 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要验根． 19．（6分）（2016?河源校级一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=30°．
第13页（共33页）
（1）用直尺和圆规作AC边上的高线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出AC边上的高线BD后，求∠DBC的度数．
【考点】作图—复杂作图． 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据等边对等角可得∠C的度数，再计算出∠DBC的度数． 【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵AB=AC，∠CAB=30°，
∴∠B==75°，
∵DB⊥AC， ∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=180°﹣90°﹣75°=15°．
【点评】此题主要考查了作图，关键是正确作出AC边上的高线BD．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 20．（7分）（2013?珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：
）
第14页（共33页）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC中，利用三角函数即可求解． 【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD， ∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°， ∴∠B=∠BAD， ∴AD=BD=62（米）．
在直角△ACD中，AC=AD?sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．
答：小岛的高度约为53米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 21．（7分）（2006?泸州）如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB的延长线于点C．求∠ADC的度数及AC的长．
【考点】切线的性质． 【分析】可通过构建直角三角形来求解．连接OD，那么OD⊥CD，这时∠ADC=∠ADO+90°，我们不难发现∠ADO=∠A=30°，因此∠DC=120°；根据三角形的内角和，那么∠C=30°，直角三角形ODC中，有OD的长，∠C=30°，可求出OC的值，也就求出了AC的长． 【解答】解：（1）连接OD， ∵AO=OD，
∴∠ADO=∠DAO=30°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠CDO=90°，
∴∠ADC=∠ADO+∠CDO=30°+90°=120°；
（2）由（1）知∠COD=60°且OD=AO=AB=3cm， 在Rt△COD中，∠C=30°， ∴OC=2OD=6cm，
∴AC=AO+OC=3+6=9cm．
【点评】本题考查了切线的性质和解直角三角形，根据切线的性质准确的作出辅助线，得出∠ADC的度数是解题的关键．
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2016年广东省河源市中英文实验学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2013?本溪）A．3
B．﹣3 C．
的绝对值是（ ） D．
2．（3分）（2013?广州）在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格 3．（3分）（2016?河源校级一模）下列计算正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
，﹣1，0，，
，是无理数的有（ ）
4．（3分）（2016?河源校级一模）五个数中：﹣
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（3分）（2013?佛山）下列计算正确的是（ ）
3412347236334A．a?a=a B．（a）=a C．（ab）=ab D．a÷a=a（a≠0） 6．（3分）（2011?龙岗区三模）不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
7．（3分）（2016?河源校级一模）如图，在?ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 8．（3分）（2008?湘潭）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（ ）
第1页（共33页）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2 9．（3分）（2012?毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4 10．（3分）（2016?河源校级一模）如图，点A的坐标为（﹣运动，当线段AB最短时点B的坐为（ ）
，0），点B在直线y=x上
A．（﹣
，﹣
） B．（﹣，﹣） C．（
，
）
D．（0，0）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2013?梅州）若∠α=42°，则∠α的余角的度数是 ． 12．（4分）（2016?河源校级一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是 ．
13．（4分）（2016?河源校级一模）若直线y=2x+4与反比例函数的图象交于点P（a，2），则反比例函数的解析式为 ．
2
14．（4分）（2015?开封二模）已知关于x的一元二次方程kx+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 15．（4分）（2013?临夏州）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是 ．
第2页（共33页）
16．（4分）（2015?青海）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留π）．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
33
17．（6分）（2013?娄底）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4xy﹣8xy）÷2xy，其中x=﹣1，
．
18．（6分）（2015?平谷区一模）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 19．（6分）（2016?河源校级一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=30°．
（1）用直尺和圆规作AC边上的高线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出AC边上的高线BD后，求∠DBC的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 20．（7分）（2013?珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：
）
21．（7分）（2006?泸州）如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB的延长线于点C．求∠ADC的度数及AC的长．
第3页（共33页）
22．（7分）（2013?天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值是 ； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
五．解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 23．（9分）（2016?河源校级一模）阅读下面的例题，并回答问题．
【例题】解一元二次不等式：x﹣2x﹣8＞0．
22222
解：对x﹣2x﹣8分解因式，得x﹣2x﹣8=（x﹣1）﹣9=（x﹣1）﹣3=（x+2）（x﹣4）， ∴（x+2）（x﹣4）＞0．由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得
①或
2
②
解①得x＞4；解②得x＜﹣2．
2
故x﹣2x﹣8＞0的解集是x＞4或x＜﹣2．
2
（1）直接写出x﹣9＞0的解是 ；
2
（2）仿照例题的解法解不等式：x+4x﹣21＜0； （3）求分式不等式：
≤0的解集．
24．（9分）（2012?天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
第4页（共33页）
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
2
25．（9分）（2013?梅州）如图，已知抛物线y=2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；
（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；
（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．
第5页（共33页）
2016年广东省河源市中英文实验学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2013?本溪）A．3
B．﹣3 C．
的绝对值是（ ） D．
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：|﹣|=． 故﹣的绝对值是．
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．（3分）（2013?广州）在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格 【考点】生活中的平移现象．
【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解．
【解答】解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N向下移动2格． 故选：D．
【点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位置． 3．（3分）（2016?河源校级一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法． 【专题】计算题．
第6页（共33页）
【分析】根据二次根式的性质进行化简，再根据结果进行计算，即可判断答案． 【解答】解：A、﹣=2﹣，故本选项错误； B、
=
=
，故本选项错误；
C、?==，故本选项正确； D、原式=3，故本选项错误； 故选C．
【点评】本题考查了对二次根式的性质、二次根式的加减、乘除等知识点的应用，关键是检查学生能否根据性质进行化简．
4．（3分）（2016?河源校级一模）五个数中：﹣
，﹣1，0，，
，是无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数有：，只有1个． 故选B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5．（3分）（2013?佛山）下列计算正确的是（ ）
3412347236334A．a?a=a B．（a）=a C．（ab）=ab D．a÷a=a（a≠0） 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质，利用排除法求解．
347
【解答】解：A、应为a?a=a，故本选项错误；
3412
B、应为（a）=a，故本选项错误； C、每个因式都分别乘方，正确；
D、应为a÷a=（a≠0），故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． 6．（3分）（2011?龙岗区三模）不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
34
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看两次摸到球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：易得共有3×3=9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
第7页（共33页）
故选B．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7．（3分）（2016?河源校级一模）如图，在?ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=BC=×8=4．
故选C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 8．（3分）（2008?湘潭）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2 【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE=1：8，得S△ADE：S△ABC=1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，
22
∴S△ADE：S△ABC=AE：AC，
第8页（共33页）
∵S△ADE：S四边形DBCE=1：8， ∴S△ADE：S△ABC=1：9， ∴AE：AC=1：3． 故选B．
【点评】此题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方． 9．（3分）（2012?毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【专题】计算题．
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可． 【解答】解：∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°， ∵DE垂直平分斜边AC， ∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°， ∴∠DCB=60°﹣30°=30°， ∵BD=1， ∴CD=2=AD， ∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中． 10．（3分）（2016?河源校级一模）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时点B的坐为（ ）
第9页（共33页）
A．（﹣
，﹣
） B．（﹣，﹣） C．（
，
）
D．（0，0）
【考点】一次函数综合题；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线． 【专题】计算题． 【分析】过A作AB⊥直线y=x于B，则此时AB最短，过B作BC⊥OA于C，推出∠AOB=45°，求出∠OAB=45°，得出等腰直角三角形AOB，得出C为OA中点，得出BC=OC=AC=OA，代入求出即可．
【解答】解：过A作AB⊥直线y=x于B，则此时AB最短，过B作BC⊥OA于C， ∵直线y=x，
∴∠AOB=45°=∠OAB， ∴AB=OB， ∵BC⊥OA，
∴C为OA中点， ∵∠ABO=90°， ∴BC=OC=AC=OA=∴B（﹣故选A．
，﹣
）．
，
【点评】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线的性质，一次函数等知识点的
应用，主要考查学生能否找到符合条件的B点，题目比较典型，是一道具有代表性的题目．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2013?梅州）若∠α=42°，则∠α的余角的度数是 48° ． 【考点】余角和补角．
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠α=42°， ∴∠α的余角=90°﹣42°=48°． 故答案为：48°．
【点评】本题考查了余角，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．
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22．（7分）（2013?天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值是 32 ； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数． 【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可； （2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人）， m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；
（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次， ∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：（15+15）=15；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名． 故答案为：50，32． 【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
五．解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 23．（9分）（2016?河源校级一模）阅读下面的例题，并回答问题．
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【例题】解一元二次不等式：x﹣2x﹣8＞0．
22222
解：对x﹣2x﹣8分解因式，得x﹣2x﹣8=（x﹣1）﹣9=（x﹣1）﹣3=（x+2）（x﹣4）， ∴（x+2）（x﹣4）＞0．由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得
①或
2
②
解①得x＞4；解②得x＜﹣2．
2
故x﹣2x﹣8＞0的解集是x＞4或x＜﹣2．
2
（1）直接写出x﹣9＞0的解是 x＞3或x＜﹣3 ；
2
（2）仿照例题的解法解不等式：x+4x﹣21＜0； （3）求分式不等式：
≤0的解集．
【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】阅读型． 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用“十字相乘法”对不等式的左边进行因式分解； （3）需要分类讨论：
【解答】解：（1）由原不等式得 （x+3）（x﹣3）＞0 解得 x＞3或x＜﹣3．
故答案是：x＞3或x＜﹣3；
（2）解：x+4x﹣21=x+4x+4﹣25=（x+2）﹣5=（x+7）（x﹣3）， ∴（x+7）（x﹣3）＜0． 由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得解①得﹣7＜x＜3；②无解．
2
故x+4x﹣21＜0的解集是﹣7＜x＜3．
（3）解：由“两实数相除，同号得正，异号得负”且“分母不能为0”，可得或解①得故
②
；②无解．
的解集是
．
①
①或
②
2
2
2
2
或．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用．此题抓住题目中“两实数相乘，同号得正，异号得负”进行解题．
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24．（9分）（2012?天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，
然后利用相似三角形的对应边成比例与m=
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6， 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
，即可求得t的值．
∵OP=OB+BP，
222
即（2t）=6+t，
解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）． ∴点P的坐标为（，6）．
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP， ∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC， ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°， ∴∠OPB+∠QPC=90°， ∵∠BOP+∠OPB=90°， ∴∠BOP=∠CPQ． 又∵∠OBP=∠C=90°， ∴△OBP∽△PCQ，
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222
∴，
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m． ∴∴m=
．
（0＜t＜11）．
（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E， ∴∠PEA=∠QAC′=90°， ∴∠PC′E+∠EPC′=90°， ∵∠PC′E+∠QC′A=90°， ∴∠EPC′=∠QC′A， ∴△PC′E∽△C′QA， ∴
，
∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m， ∴AC′=
=
，
∴，
∴
2
，
2
∴3（6﹣m）=（3﹣m）（11﹣t）， ∵m=∴3（﹣t+∴∴
22
2
2
， t）=（3﹣t+
2
2
2
t﹣6）（11﹣t），
2
2
t（11﹣t）=（﹣t+t=﹣t+
2
2
t﹣3）（11﹣t），
t﹣3，
∴3t﹣22t+36=0， 解得：t1=点P的坐标为（
，t2=
，
，6）或（
，6）．
法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′， ∴OC′=PC′=PC=11﹣t， 过点P作PE⊥OA于点E， 则PE=BO=6，OE=BP=t， ∴EC′=11﹣2t，
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在Rt△PEC′中，PE+EC′=PC′，
222
即（11﹣t）=6+（11﹣2t）， 解得：t1=点P的坐标为（
，t2=
．
，6）或（
，6）．
222
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难
度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
25．（9分）（2013?梅州）如图，已知抛物线y=2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；
（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标； （3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）在二次函数的解析式y=2x﹣2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=﹣2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
2
（2）先将y=6代入y=2x﹣2，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当
2
P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐
2
标为4时，将y=4代入y=2x﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；
2
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（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可．
2
【解答】解：（1）∵y=2x﹣2，
2
∴当y=0时，2x﹣2=0，x=±1， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2， 又当x=0时，y=﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2， ∴S△ABC=AB?OC=×2×2=2；
（2）将y=6代入y=2x﹣2，
2
得2x﹣2=6，x=±2，
∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4． ∵平行四边形的面积为8， ∴MN边上的高为：8÷4=2， ∴P点纵坐标为6±2．
2
①当P点纵坐标为6+2=8时，2x﹣2=8，x=±， ∴点P的坐标为（，8）或（﹣，8）；
2
②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x﹣2=4，x=±， ∴点P的坐标为（，4）或（﹣，4）；
（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2）， ∴OB=1，OC=2．
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况： ①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ， 则
=
，即
=
，
2
解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2，
②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB， 则
=
，即
=．
．
，
解得DQ=
综上所述，线段QD的长为2m﹣2或
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【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，三角形、平行四边形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，但难度不大，注意要分情况讨论求解．
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参与本试卷答题和审题的老师有：gbl210；HJJ；zjx111；zhjh；wdxwwzy；lanchong；137-hui；wd1899；mmll852；算术；HLing；wdzyzmsy@126.com；gsls；CJX；dbz1018；sks；sd2011；MMCH；nhx600；zcx（排名不分先后） 菁优网
2016年4月7日
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考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）
2．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562． ②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如
等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
3．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． mnm+n
a?a=a （m，n是正整数）
mnpm+n+p
（2）推广：a?a?a=a （m，n，p都是正整数）
352222
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如2与2，（ab）3与（ab）
23
4，（x﹣y）与（x﹣y）等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学校整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数）这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
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4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． mnmn
（a）=a（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）=ab（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
6．二次根式的性质与化简
2
（1）二次根式的基本性质：①a≥0； a≥0（双重非负性）．②（a）=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a?b ab=ab
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
7．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：a?b=a?b（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质a?b=a?b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（﹣4）×（﹣9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
8．二次根式的加减法
n
nn
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（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b﹣4ac）判断方程的根的情况．
22
一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与△=b﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．
10．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间 等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
11．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
12．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答．
13．坐标与图形性质
2
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1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=
在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
在同一直角坐标系中有2个交
①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=
在同一直角坐标系中有0个交
点．
16．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
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17．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
21．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
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22．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
23．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可一用来判定直角三角形．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
222
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
222
（3）勾股定理公式a+b=c 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．
2222
（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE=BC．
26．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等．
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（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
27．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
28．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
29．切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
30．扇形面积的计算
2
（1）圆面积公式：S=πr
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形=
πR或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
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2
（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
31．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．生活中的平移现象 1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
34．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
35．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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36．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
37．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
38．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． （3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少． ④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
39．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
40．中位数 （1）中位数：
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将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
41．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
42．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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