高考数学基础题题库(立体几何1--100)

高考数学基础题题库

上犹中学数学教研组收集整理

立体几何（1—100）

1、二面角??l??是直二面角，A??，B??，设直线AB与?、?所成的角分别为∠1和∠2，则

（A）∠1+∠2=900 （B）∠1+∠2≥900 （C）∠1+∠2≤900 （D）∠1+∠2＜900 解析：C

如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB与平面?,?所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

?2B???1A??ABO??2?ABO??1?90??2??1?90

2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的．．．一个图是

SPSPRQQQPPSSPPSPPRQRPQSSPRRPSQRSPQRPQQRRQPPSSRRPSQ

QSR

QSSQRRRSQR Q

（A） （B） （C） （D） D

解析： A项：PS底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形

B项： 如图

D'SC'C项：是个平行四边形 D项：是异面直线。

PA'B'RDC3. 有三个平面?，β，γ，下列命题中正确的是

AQB （A）若?，β，γ两两相交，则有三条交线 （B）若?⊥β，?⊥γ，则β∥γ

（C）若?⊥γ，β∩?=a，β∩γ=b，则a⊥b （D）若?∥β，β∩γ=?，则?∩γ=? D

解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。 B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

a???C项：如图

b

4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为

ABOPAPBAPBOB1ABADBCPOB1PD1C1B1 C

A1B1

A1B1

A1

A1

A1

D'A'B'C'解析：BC11?平面AB1?B1C1?PB,，如图：P点到定点B的距离与到定直

DAP线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。 5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是 C

CB（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条 解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。

A'D'B'C'6. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB?AC?0，AC?AD?0，

AB?AD?0，则△BCD是

DAC （A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定 C

B解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且a?b?c则，BD=CD=a2?b2B，aAbcc2?b2，BC=a2?c2如图则BD为最长边，根据余弦定理DC?cos?DCB?a?c22???22c?b222???222a?b22?22a?c?c?b?0??DCB最大角为锐

角。所以△BCD是锐角三角形。

7.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若a?b,a??,则b//?

②若a//?,???,则a??

（ ）

③a??,???,则a//? 其中正确的命题的个数是

A．0个

B．1个

④若a?b,a??,b??,则??? C．2个

D．3个

（ ）

B 解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或b??均有???， 故只有一个正确命题

8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 （ ） A．90° C．45°

B 解析：平移SC到S?B，运用余弦定理可算得BE?S?E?S?B?B．60° D．30°

2.

9. 对于平面M与平面N, 有下列条件: ①M、N都垂直于平面Q; ②M、N都平行于平面

Q; ③ M内不共线的三点到N的距离相等; ④ l, M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤

l, m是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是 （ ） A．1

B．2

C．3

D．4

ACB只有②、⑤能判定M//N，选B

10. 已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1 所成的角为

（A）450 （B）600 （C）900 （D）1200

C1A1B1C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1B⊥AC1，选C。

11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为 A.3π

B.

35π C.π 22 D.3π

解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证

12. 设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直

线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时，

A．乙是丙的充分而不必要条件 B．乙是丙的必要而不充分条件

C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 解析：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C）． 13. 已知直线m、n及平面?，其中m∥n，那么在平面?内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是 ．

解析：（1）成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、n在平面?的同一侧，且它们到?的距离相等，则平面?为所求，（4）成立，当m、n所在的平面与平面?垂直时，平面?内不存在到m、n距离相等的点

14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）

A．3

B．1或2

C．1或3

D．2或3

解析：C 如三棱柱的三个侧面。

15．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是

A．相交

B．异面

C．平行

（ ）

D． 异面或相交

解析：D 如正方体的棱长。

16．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为 A．

（ ）

? 6C．

B．

? 4? 2

? 3D．

解析：DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。

17．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

D'PSC'A'B'RDC解析：C A，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：

AQB

18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 （ ）

A．45° B．60°

C．90° D．120°

ACB解析：B 如图

★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： 面 解析：D

①AB与CD所在直线垂直； ③AB与MN所在直线成60°角；

②CD与EF所在直线平行 ④MN与EF所在直线异

其中正确命题的序号是 （ ） A．①③

B．①④

C．②③ D．③④

DEMB

FNAC

19．线段OA，OB，OC不共面，?AOB=?BOC=?COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则△ABC是

A．等边三角形 C．锐角三角形

（ ）

?B非等边的等腰三角形 D．钝角三角形

2

2

2

2

2

2

2

2

2

解析：B． 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x=1+3-3=7，y=1+2-2=3，z=2+3-6=7。 ∴ △ABC是不等边的等腰三角形，选（B）．

20．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是是?，

则?的取值范围是

A．[

?，l与a、l与b所成的角都3 （ ）

?5?6,6] B．[

??,] 32C．[

?5?3,6] D．[

??,] 62解析：D

解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值公垂线平行时，a取得最大值

?，当l与a、b的6?，故选（D）． 221.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的 竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建 筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所 示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的 影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） _______. 4．2米

?解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，

树影长BE=2.7?1.08?3.78米，树高AB=

CD1.21??,CE=1.08米，CECE0.91BE=4.2米。 0.9AD22．如图,正四面体

A?BCD（空间四边形的

四条边长及两对角线的长都相等）中,E,F分别是棱

BCE

AAD,BC的中点, 则

BFEDCEF和AC所成的角的大小是________.

解析：设各棱长为2，则EF=2，取AB的中点为M，cos?MFE??2.即??.

4223．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离

分别为3，4，7，则OP长 为_______.

解析：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ?OZ，PY?OY，PX?OX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16， 得 OX+OY+OZ=37，OP=37．

2

2

2

24．设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.

解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．

25. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线. 解析：假设EF和AD在同一平面?内，?（2分），则A，B，E，F??；??（4分）又A，E?AB，∴AB??，∴B??，??（6分）同理C????（8分）故A，B，C，D??，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．

26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD = a ，AC?BD =b，求EG?FH.

解析：四边形EFGH是平行四边形，????（4分）

EH22AEG2?FH2=2(EF2?FG2)=11(AC2?BD2)?(a2?2b) 2227. 如图，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90o，AC=b,BC=a,P是⊿ABC 所在平面外一点，PB⊥AB，M是PA的中点，AB⊥MC，求异面直MC与PB间的距离.

BDFCG

PMN解析：作MN//AB交PB于点N．（2分）∵PB⊥AB，∴PB⊥MN。（4分）又AB⊥MC，∴MN⊥MC．（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间

ABC

的距离， 则得MN=

112a?b2. AB=2228. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点.

（1）求异面直线CD1、EF所成的角； （2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.

（1）解析：∵在平行四边形BAD1C1中，E也是AC1的中点，∴EF//C1D，（2分）

C1D1∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（4分）又 B1A1ECDFAA1A=AB，长方体的侧面ABB1A1,CDD1C1都是正方形 ，∴D1C?CD1

∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分）

2（2）证：设AB=AA1=a, ∵D1F=a2?AD?BF,∴EF⊥BD1.（9分）

B

4由平行四边形BAD1C1，知E也是AC1的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）

B1C1D1A1ECDFA

B29. ⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC=

37，PA=，延长BP至D，使BD=7，E是BC

22D的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.

P解析：分别连接PE和CD，可证PE//CD，（2分）则∠PEA

即是AE和CD所成角．（4分）在Rt⊿PBE中，

EC73PB=，BE=1，∴PE=。在⊿AEP中，AE=3，22AB

39?44=1． cos?AEP?322?3?23?∴∠AEP=60o，即AE和CD所成角是60o．（7分）

∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分） 30. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱A1A,AB，BC，

CC1,C1D1,D1A1的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．

解析：∵EN//MF，∴EN与MF 共面?，（2分）又∵EF//MH，∴EF和MH共面?．（4分）∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）∴平面?与?重合，∴点H??。（8分）同理点G??．（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面． 31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 A．1条 D

解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条

直线时，有一条交线，故选D

32．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 A．4个

B．5个

2（ ） D．1条或2条

B．2条 C．3条

D．8个

（ ）

C．6个

解析：C 如四棱锥的四个侧面，C4?6个。

33.．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交

于点M，则 （ ）

A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上

C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上

解析：∵平面ABC∩平面ACD=AC，先证M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC

A

34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是

. 解析：6条

35. 已知：a??,b??,a?b?A,P?b,PQ//a.

求证:PQ??..(12分)

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法. 解析：∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面?,?直线a??,点P??.

?p?b,b??,?p??

又?a????与?重合?PQ??

36. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分） 本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点 ∴过A、B、C有一个平面?

又?AB???P,且AB??

?点P既在?内又在?内,设????l,则p?l.

?P,Q,R三点共线.同理可证:Q?l,R?l

37. 已知：平面??平面??a,b??,b?a?A,c??且c//a,

求证：b、c是异面直线

解析：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交 (1)若b//c.?a//c,?a//b这与a?b?A矛盾(2)若b,c相交于B,则B??,又a?b?A,?A?? ?AB??,即b??这与b???A矛盾?b,c是异面直线.38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=3，求AD与BC所成角的大小

（本题考查中位线法求异面二直线所成角） 解析：取BD中点M，连结EM、MF，则

11AD?1,MF//BC且MF?BC?1,22EM2?MF2?EF21?1?31

在?MEF中,?EF?3,由余弦定理得cos?EMF????2?EM?MF22??EMF?120?EM//AD,且EM??异面直线AD,BC所成角的大小为60?39. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)

（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MC∩BG=0 则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.

3?MC2?MA2?AC2?(a)2(设正方体的棱长为a)2

BC?a?cos?BOC?19?sin?BOC?459

而CM与D1N所成角的正弦值为45

940. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。

（1）求证：MN是AB和PC的公垂线

（2）求异面二直线AB和PC之间的距离

解析：（1）连结AN，BN，∵△APC与△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点 ∴AN=BN

又∵M是AB的中点，∴MN⊥AB 同理可证MN⊥PC

又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N ∴MN是AB和PC的公垂线。

（2）在等腰在角形ANB中，?AN?BN?3a,AB?a,?MN?AN2?(1AB)2?2a

222即异面二直线AB和PC之间的距离为

2a. 241空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ]

A．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个

C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.

42. 下列命题中正确的个数是 [ ]

①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。

43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。

解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行 解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。

45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。

46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。

47. 画出满足下列条件的图形。

(1)α∩β=1，a α，b β，a∩b=A

(2)α∩β=a，b β，b∥a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙

48.经过平面?外两点A，B和平面?垂直的平面有几个？ 解析：一个或无数多个。

当A，B不垂直于平面?时，只有一个。 当A，B垂直于平面?时，有无数多个。

49. 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB＝122，CD＝4 2，且四边形EFGH的面积为12 3，求AB和CD所成的角.

解析： 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.

∵ EFGH是平行四边形，HG＝

1 AB＝62， 2HDHE＝

1 ，CD＝23， 2AGCFBE∴ SEFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123.

∴ sin∠EHG＝

2,故∠EHG＝45°. 2

∴ AB和CD所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=

2 AD，求异面直线AD和BC所成的角。2AEGBCFD（如图）

解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、

11CD中点，故EG∥BC且EG= BC，FG∥AD，且FG=AD，由异

22面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线

1AD、BC所成角，即∠EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=AD，

2又EF=AD，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM与CN所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE 为AM与CN所成的角。

∵N为AD的中点, NE∥AM省 ∴NE=

1AM且E为MD的中点。 2 设正四面体的棱长为1， 则NC= 在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2=

13133·= 且ME=MD= 22244317+= 16416CN2?NE2?CE2?∴cos∠CNE=

2?CN?NE(3237)?()2?4416??2,

3332??44 又∵∠CNE ∈(0,

?) 22. 3∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为

注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，

AFBE1??。求异面直线AB与CD所成的角。 FDEC3解析：在BD上取一点G，使得

BG1?，连结EG、FG GD3CEBAFGD 在ΔBCD中，

BEBG?，故EG//CD，并且ECGDEGBE1??， CDBC4 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且

FGDF3??， ABAD4 故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得

ED1A1DAOC1B1CB cos∠

EG2?GF2?EF232?52?721???，故∠FGE=120°。 FGE=

2?EG?GF2?3?52 另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所

成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。

53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．

解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF=

11a2?b2，AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB=

2211212a2?b2?c2，BE=b?c，由余弦定224D1A1O1C1B1FCAOGBOF=

理得

cos∠

1211(a?b2)?(a2?b2?c2)?(b2?c2)44OB=4=122?a?b2?a2?b2?c24a2?b2(a?b)(a?b?c22222)D

解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。

解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1

中，AE=a2?b2，AC1=a2?b2?c2，C1E=4a2?c2由余弦定理，得

cos∠EAC1=

(a2?b2)?(a2?b2?c2)?(4a2?c2)2?a?b?a?b?c22222=

b2?a2(a?b)(a?b?c22222)＜0

所以∠EAC1为钝角．

根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为

a2?b2(a?b)(a?b?c)22222

54. 已知AO是平面?的斜线，A是斜足，OB垂直?，B为垂足，则 直线AB是斜线在平面?内的射影，设AC是?内的任一条直线，

O解析：设AO与AB所成角为?1，AB与AC所成角为?2，AO与AC所成角为?，则有cos??cos?1?cos?2。 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC= ∠ACB=90，AC?2,BC?3,SB?该题的1,2问）

由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影， 设异面直线SC与AB所成角为?， 则 cos??cos?SCA?cos?BAC， 由AC?2,BC?3,SB?ACBS?A'BC'AC（略去了29，求异面直线SC与AB所成角的大小。

29 得AB?17,SA?23,SC?2

∴ cos?SCA?12 ， cos?BAC?， 217∴ cos??1717， 即异面直线SC与AB所成角为 arccos。 171755. 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

B1C1BD1A1?C1CB??C1CD??BCD?60，证明 C1C?BD。

（略去了该题的2，3问）

C?ADH解析： 设C1在平面ABCD内射影为H，则CH为C1C在平面ABCD内的射影，

∴ cos?C1CD?cos?C1CH?cos?DCH，

∴ cos?C1CB?cos?C1CH?cos?BCH，

由题意 ?C1CD??C1CB， ∴cos?DCH?cos?BCH。

又 ∵?DCH,?BCH?[0,?)

∴?DCH??BCH， 从而CH为?DCB的平分线， 又四边形ABCD是菱形， ∴CH?BD ∴C1C与BD所成角为90， 即C1C?BD

56.. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点， 求异面直线AE与CF所成角的大小。 解析： 连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC， ∴ EF为AE在平面BFC内的射影， 设AE与CF所成角为?，

∴ cos??cos?AEF?cos?CFE，

BECAFD?设正四面体的棱长为a，则AE?CF?BF?3a ， 2显然 EF⊥BC， ∴ EF?2a ， 2∴ cos?AEF?EF6EF6??， cos?AFE?， AE3CF3O1B1A1C22∴ cos??， 即AE∴与CF所成角为 arccos。

3357. 三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，

AOB?O1OB?60?,?AOB?90?，且OB?OO1?2,OA?3，求异面直线A1B与AO1所成

角的大小，（略去了该题的1问）

解析： 在平面BO1内作BC?OO1于C ，连A1C，

∴ l⊥平面ABC ∵ AC?平面ABC ∴ l⊥AC

100. 已知：如图，P是∠BAC所在平面外一点，PD⊥AB，D为垂足，PE⊥AC，E为垂足，在平面BAC内过D作DF⊥AB，过E作EF⊥AC，使得EF∩DF＝F．连结PF，求证：PF⊥平面BAC．

证明：∵PD⊥AB，DF⊥AB，PD?DF＝D ∴AB⊥平面PDF ∵PF?平面PDF ∴ AB⊥PF 同理，AC⊥PF

∵ PF⊥AB，PF⊥AC，BA?AC＝A ∴ PF⊥平面BAC

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